Теорема рядов Римана - Riemann series theorem

В математика, то Теорема рядов Римана (также называемый Теорема Римана о перестановке), названный в честь немецкого математика 19 века Бернхард Риманн, говорит, что если бесконечная серия реальных чисел условно сходящийся, то его члены можно расположить в виде перестановка так что новый ряд сходится к произвольному действительному числу, или расходится.

Например, ряд 1-1 + 1/2 - 1/2 + 1/3 - 1/3 + ... сходится к 0 (для достаточно большого числа членов частичная сумма становится сколь угодно близкой к 0) ; но замена всех членов их абсолютными значениями дает 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ..., что в сумме дает бесконечность. Таким образом, исходный ряд условно сходится, и его можно перестроить (взяв первые два положительных члена, за которыми следует первый отрицательный член, затем следующие два положительных члена, а затем следующий отрицательный член и т. Д.), Чтобы получить сходящийся ряд. на другую сумму: 1 + 1/2 - 1 + 1/3 + 1/4 - 1/2 + ... = пер 2. В более общем смысле, используя эту процедуру с п положительные, за которыми следуют q отрицаний дает сумму ln (п/q). Другие перестановки дают другие конечные суммы или не сходятся ни к какой сумме.

Определения

Серия ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится если существует значение ${\displaystyle \ell }$ так что последовательность частичных сумм

${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\ldots ),\quad S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k},}$

сходится к ${\displaystyle \ell }$. То есть для любого ε > 0 существует целое число N так что если п ≥ N, тогда

${\displaystyle \left\vert S_{n}-\ell \right\vert \leq \epsilon .}$

Серия сходится условно если сериал ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится, но ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert }$ расходится.

Перестановка - это просто биекция от набор из положительные целые числа себе. Это означает, что если ${\displaystyle \sigma }$ перестановка, то для любого положительного целого числа ${\displaystyle b,}$ существует ровно одно положительное целое число ${\displaystyle a}$ такой, что ${\displaystyle \sigma (a)=b.}$ В частности, если ${\displaystyle x\neq y}$, тогда ${\displaystyle \sigma (x)\neq \sigma (y)}$.

Формулировка теоремы

Предположим, что ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ это последовательность действительные числа, и это ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ условно сходится. Позволять ${\displaystyle M}$ быть реальным числом. Тогда существует перестановка ${\displaystyle \sigma }$ такой, что

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=M.}$

Также существует перестановка ${\displaystyle \sigma }$ такой, что

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\infty .}$

Сумму также можно переставить так, чтобы она расходилась на ${\displaystyle -\infty }$ или не приблизиться к какому-либо пределу, конечному или бесконечному.

Переменный гармонический ряд

Изменение суммы

В переменный гармонический ряд является классическим примером условно сходящегося ряда:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$

сходится, а

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}}$

это обычный гармонический ряд, который расходится. Хотя в стандартном представлении чередующийся гармонический ряд сходится к ln (2), его члены могут быть расположены так, чтобы сходиться к любому числу или даже расходиться. Один из примеров этого заключается в следующем. Начните с серии, написанной в обычном порядке,

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots }$

и переставляем термины:

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots }$

где шаблон: первые два члена равны 1 и −1/2, сумма которых равна 1/2. Следующий член - -1/4. Следующие два члена - 1/3 и -1/6, сумма которых равна 1/6. Следующий член - -1/8. Следующие два члена - 1/5 и -1/10, сумма которых равна 1/10. В общем, сумма состоит из блоков по три:

${\displaystyle {\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{4k}},\quad k=1,2,\dots .}$

Это действительно перестановка чередующегося гармонического ряда: каждое нечетное целое число встречается один раз положительно, а четные целые числа встречаются каждый раз отрицательно (половина из них кратна 4, другая половина - дважды нечетным целым числам). С

${\displaystyle {\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}={\frac {1}{2(2k-1)}},}$

на самом деле эту серию можно записать:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+\cdots +{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{2(2k)}}+\cdots }$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2)}$

что составляет половину обычной суммы.

Получение произвольной суммы

Эффективный способ восстановить и обобщить результат предыдущего раздела - использовать тот факт, что

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over n}=\gamma +\ln n+o(1),}$

куда γ это Константа Эйлера – Маскерони, а где обозначение o (1) обозначает количество, которое зависит от текущей переменной (здесь переменнаяп) таким образом, что эта величина стремится к 0, когда переменная стремится к бесконечности.

Отсюда следует, что сумма q даже условия удовлетворяют

${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 6}+\cdots +{1 \over 2q}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln q+o(1),}$

и, взяв разницу, можно увидеть, что сумма п странные условия удовлетворяет

${\displaystyle {1}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+\cdots +{1 \over 2p-1}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln p+\ln 2+o(1).}$

Предположим, что два натуральных числа а и б даны, и что перестановка переменного гармонического ряда образуется путем взятия по порядку а положительные члены из переменного гармонического ряда, за которыми следуют б отрицательные члены и повторение этого шаблона на бесконечности (сама чередующаяся серия соответствует а = б = 1, пример в предыдущем разделе соответствует а = 1, б = 2):

${\displaystyle {1}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over 2a-1}-{1 \over 2}-{1 \over 4}-\cdots -{1 \over 2b}+{1 \over 2a+1}+\cdots +{1 \over 4a-1}-{1 \over 2b+2}-\cdots }$

Тогда частичная сумма порядка (а+б)п из этой переставленной серии содержит п = а п положительные странные условия и q = б п отрицательные четные члены, следовательно

${\displaystyle S_{(a+b)n}={1 \over 2}\ln p+\ln 2-{1 \over 2}\ln q+o(1)={1 \over 2}\ln(a/b)+\ln 2+o(1).}$

Отсюда следует, что сумма этого переставленного ряда равна

${\displaystyle {1 \over 2}\ln(a/b)+\ln 2=\ln {\bigl (}2{\sqrt {a/b}}{\bigr )}.}$

Предположим теперь, что, в более общем смысле, переставленный ряд чередующихся гармонических рядов организован таким образом, что отношение п_п / q_п между количеством положительных и отрицательных членов в частичной сумме порядка п стремится к положительному пределу р. Тогда сумма такой перестановки будет

${\displaystyle \ln {\bigl (}2{\sqrt {r}}{\bigr )},}$

и это объясняет, что любое действительное число Икс можно получить как сумму переставленного ряда переменного гармонического ряда: достаточно сформировать перестановку, для которой предел р равно палец^2Икс /  4.

Доказательство

Существование перестановки, которая сводится к любой положительной реальной M

Для простоты в этом доказательстве сначала предполагается, что а_п ≠ 0 за каждый п. Общий случай требует простой модификации, приведенной ниже. Напомним, что условно сходящийся ряд действительных членов имеет как бесконечно много отрицательных, так и бесконечно много положительных членов. Сначала определите две величины: ${\displaystyle a_{n}^{+}}$ и ${\displaystyle a_{n}^{-}}$ к:

${\displaystyle a_{n}^{+}={\frac {a_{n}+|a_{n}|}{2}},\quad a_{n}^{-}={\frac {a_{n}-|a_{n}|}{2}}.}$

То есть сериал ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{+}}$ включает все а_п положительный, со всеми отрицательными членами заменены нулями, а ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{-}}$ включает все а_п отрицательный, при этом все положительные члены заменяются нулями. С ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ условно сходится, расходятся и положительный, и отрицательный ряды. Позволять M быть положительным действительным числом. Возьмите по порядку достаточно положительных терминов ${\displaystyle a_{n}^{+}}$ так что их сумма превышаетM. Предположим, нам требуется п сроки - тогда верно следующее утверждение:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p-1}a_{n}^{+}\leq M<\sum _{n=1}^{p}a_{n}^{+}.}$

Это возможно для любого M > 0, поскольку частичные суммы ${\displaystyle a_{n}^{+}}$ как правило ${\displaystyle +\infty }$. Отбросив нулевые члены, можно написать

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p}a_{n}^{+}=a_{\sigma (1)}+\cdots +a_{\sigma (m_{1})},\quad a_{\sigma (j)}>0,\ \ \sigma (1)<\ldots <\sigma (m_{1})=p.}$

Теперь мы добавляем достаточно отрицательных терминов ${\displaystyle a_{n}^{-}}$, сказать q из них, так что итоговая сумма меньше чем M. Это всегда возможно, потому что частичные суммы ${\displaystyle a_{n}^{-}}$ как правило ${\displaystyle -\infty }$. Теперь у нас есть:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q}a_{n}^{-}<M\leq \sum _{n=1}^{p}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q-1}a_{n}^{-}.}$

Опять же, можно написать

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q}a_{n}^{-}=a_{\sigma (1)}+\cdots +a_{\sigma (m_{1})}+a_{\sigma (m_{1}+1)}+\cdots +a_{\sigma (n_{1})},}$

с

${\displaystyle \sigma (m_{1}+1)<\ldots <\sigma (n_{1})=q.}$

Карта σ инъективен, а 1 принадлежит диапазону σ, либо как изображение 1 (если а₁ > 0), или как изображение м ₁ + 1 (если а₁ <0). Теперь повторите процесс добавления положительных членов, достаточных для превышенияM, начиная с п = п + 1, а затем добавив отрицательных терминов ровно столько, чтобы их было меньшеM, начиная с п = q + 1. Продлевать σ инъективно, чтобы охватить все термины, выбранные на данный момент, и отметить, что а₂ должны быть выбраны сейчас или раньше, поэтому 2 принадлежит диапазону этого расширения. У процесса будет бесконечно много таких "изменения направления". В итоге получается перестановка ∑ а_σ (п). После первого изменения направления каждая частичная сумма ∑ а_σ (п) отличается от M не более чем по абсолютной величине ${\displaystyle a_{p_{j}}^{+}}$ или же ${\displaystyle |a_{q_{j}}^{-}|}$ термина, появившегося при последнем изменении направления. Но ∑ а_п сходится, так как п стремится к бесконечности, каждый из а_п, ${\displaystyle a_{p_{j}}^{+}}$ и ${\displaystyle a_{q_{j}}^{-}}$ переходят в 0. Таким образом, частичные суммы ∑ а_σ (п) как правило M, поэтому верно следующее:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=M.}$

Тот же метод можно использовать, чтобы показать сходимость к M отрицательный или нулевой.

Теперь можно дать формальное индуктивное определение перестановки σ, что в целом работает. Для каждого целого числа k ≥ 0, конечное множество А_k целых и действительных чисел S_k определены. Для каждого k > 0 индукция определяет значение σ(k), набор А_k состоит из значений σ(j) за j ≤ k и S_k - частичная сумма преобразованного ряда. Определение следующее:

• За k = 0, индукция начинается с А₀ пустой и S₀ = 0.
• Для каждого k ≥ 0 возможны два случая: если S_k ≤ M, тогда σ(k+1) - наименьшее целое число п ≥ 1 такое, что п не в А_k и а_п ≥ 0; если S_k > M, тогда σ(k+1) - наименьшее целое число п ≥ 1 такое, что п не в А_k и а_п <0. В обоих случаях устанавливается

${\displaystyle A_{k+1}=A_{k}\cup \{\sigma (k+1)\}\,;\quad S_{k+1}=S_{k}+a_{\sigma (k+1)}.}$

Используя приведенные выше рассуждения, можно доказать, что σ является перестановкой целых чисел и что переставленный ряд сходится к данному действительному числуM.

Существование уходящей в бесконечность перестановки

Позволять ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ - условно сходящийся ряд. Следующее - доказательство того, что существует перестройка этого ряда, которая стремится к ${\displaystyle \infty }$ (аналогичный аргумент можно использовать, чтобы показать, что ${\displaystyle -\infty }$ также может быть достигнуто).

Позволять ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3}<\cdots }$ последовательность индексов такая, что каждый ${\displaystyle a_{p_{i}}}$ положительно, и определим ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<\cdots }$ быть такими индексами, что каждый ${\displaystyle a_{n_{i}}}$ отрицательно (опять же при условии, что ${\displaystyle a_{i}}$ никогда не равно 0). Каждое натуральное число появится ровно в одной из последовательностей ${\displaystyle (p_{i})}$ и ${\displaystyle (n_{i}).}$

Позволять ${\displaystyle b_{1}}$ наименьшее натуральное число такое, что

${\displaystyle \sum _{i=1}^{b_{1}}a_{p_{i}}\geq |a_{n_{1}}|+1.}$

Такое значение должно существовать, поскольку ${\displaystyle (a_{p_{i}}),}$ подпоследовательность положительных членов ${\displaystyle (a_{i}),}$ расходится. Аналогично пусть ${\displaystyle b_{2}}$ наименьшее натуральное число такое, что:

${\displaystyle \sum _{i=b_{1}+1}^{b_{2}}a_{p_{i}}\geq |a_{n_{2}}|+1,}$

и так далее. Это приводит к перестановке

${\displaystyle (\sigma (1),\sigma (2),\sigma (3),\ldots )=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{b_{1}},n_{1},p_{b_{1}+1},p_{b_{1}+2},\ldots ,p_{b_{2}},n_{2},\ldots ).}$

И переставленная серия, ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)},}$ затем расходится к ${\displaystyle \infty }$.

По пути ${\displaystyle b_{i}}$ были выбраны, следует, что сумма первых ${\displaystyle b_{1}+1}$ члены переставленного ряда равны по крайней мере 1, и что никакая частичная сумма в этой группе не меньше 0. Аналогично, сумма следующего ${\displaystyle b_{2}-b_{1}+1}$ также не меньше 1, и никакая частичная сумма в этой группе тоже не меньше 0. В дальнейшем этого достаточно, чтобы доказать, что эта преобразованная сумма действительно стремится к ${\displaystyle \infty .}$

Существование перегруппировки, не подходящей ни к какому пределу, конечному или бесконечному

Фактически, если ${\displaystyle {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}}$ условно сходится, то происходит его перестановка так, что частичные суммы переставленного ряда образуют плотное подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} }$.^{[нужна цитата ]}

Обобщения

Теорема Серпинского

В теореме Римана перестановка, используемая для преобразования условно сходящегося ряда для получения заданного значения в ${\displaystyle \mathbf {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$ может иметь сколь угодно много нефиксированных точек, т.е. все индексы членов ряда могут быть переставлены. Можно спросить, можно ли переставить только индексы в меньшем наборе так, чтобы условно сходящийся ряд сходился к произвольно выбранному действительному числу или расходился до бесконечности (положительной или отрицательной). Ответ на этот вопрос положительный: Серпинский доказал, что достаточно переставить только некоторые строго положительные или только некоторые строго отрицательные термины.^[1][2][3]

Этот вопрос также был исследован с использованием понятия идеалы: например, Вильчинский доказал, что достаточно переставить только индексы в идеале множеств с нулевой асимптотической плотностью.^[4] Филипов и Шука доказали, что другие идеалы также обладают этим свойством.^[5]

Теорема Стейница

Учитывая сходящийся ряд ∑ а_п из сложные числа, при рассмотрении множества возможных сумм для всех серий может возникнуть несколько случаев. ∑ а_σ (п) полученный путем перестановки (перестановки) членов этого ряда:

• сериал ∑ а_п могут безоговорочно сходиться; тогда все переставленные ряды сходятся и имеют одинаковую сумму: набор сумм переставленных рядов сводится к одной точке;
• сериал ∑ а_п может не сойтись безоговорочно; если S обозначает набор сумм тех переставленных рядов, которые сходятся, то либо множество S это линия L в комплексной плоскостиC, формы

${\displaystyle L=\{a+tb:t\in \mathbf {R} \},\quad a,b\in \mathbf {C} ,\ b\neq 0,}$

или набор S вся комплексная плоскостьC.

В более общем смысле, учитывая сходящуюся серию векторов в конечномерном вещественном векторное пространство E, набор сумм сходящихся переставленных рядов представляет собой аффинное подпространство изE.

Смотрите также

• Перестановки и безусловная сходимость

Рекомендации

1. Серпинский, Вацлав (1910). "Contribution à la théorie des séries divergentes". Комп. Ренд. Soc. Sci. Варсовье. 3: 89–93.
2. Серпинский, Вацлав (1910). "Remarque sur la theorème de Riemann relatif aux séries semi-convergentes". Практика Мат. Физ. XXI: 17–20.
3. Серпинский, Вацлав (1911). "Sur une propriété des séries qui ne sont pas absolument convergentes". Бык. Междунар. Акад. Наука: Cracovie A. 149-158.
4. Вильчинский, Владислав (2007). «О теореме Римана о расстройстве». Слуп. Пр. Мат.-физ.. 4: 79–82.
5. Филипув, Рафал; Сука, Петр (февраль 2010 г.). «Перестановка условно сходящихся рядов на малом множестве». Журнал математического анализа и приложений. 362 (1): 64–71. Дои:10.1016 / j.jmaa.2009.07.029.

• Апостол, Том (1975). Исчисление, Том 1: Исчисление с одной переменной, с введением в линейную алгебру.
• Банащик, Войцех (1991). "Глава 3.10. Теорема Леви – Стейница. ". Аддитивные подгруппы топологических векторных пространств. Конспект лекций по математике. 1466. Берлин: Springer-Verlag. С. 93–109. ISBN  3-540-53917-4. МИСТЕР  1119302.
• Кадец, В. М .; Кадец, М.И. (1991). »Глава 1.1 Теорема Римана, Глава 6 Теорема Штейница и B-выпуклость ». Перестановки рядов в банаховых пространствах. Переводы математических монографий. 86 (Перевод Гарольда Макфадена с русскоязычного (Тарту) изд. 1988 г.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. iv + 123. ISBN  0-8218-4546-2. МИСТЕР  1108619.
• Кадец Михаил И .; Кадец, Владимир М. (1997). »Глава 1.1 Теорема Римана, Глава 2.1 Теорема Стейница о суммах ряда, Глава 7 Теорема Стейница и B-выпуклость ». Ряды в банаховых пространствах: условная и безусловная сходимость. Теория операторов: достижения и приложения. 94. Перевод Андрея Якоба с русского языка. Базель: Birkhäuser Verlag. С. viii + 156. ISBN  3-7643-5401-1. МИСТЕР  1442255.
• Вайсштейн, Эрик (2005). Теорема о рядах Римана.. Проверено 16 мая 2005 года.