Лемма Бореля - Borels lemma

В математика, Лемма Бореля, названный в честь Эмиль Борель, - важный результат, используемый в теории асимптотические разложения и уравнения в частных производных.

Заявление

Предполагать U является открытый набор в Евклидово пространство р^п, и предположим, что ж₀, ж₁ ... это последовательность из гладкий функции на U.

Если я любой открытый интервал в р содержащий 0 (возможно я = р), то существует гладкая функция F(т, Икс) определены на я×U, так что

${\displaystyle \displaystyle {\left({\frac {\partial ^{k}}{\partial t^{k}}}F\right)(0,x)=f_{k}(x),}}$

за k ≥ 0 и Икс в U.

Доказательство

Доказательства леммы Бореля можно найти во многих учебниках по анализу, включая Голубицкий и Гийемен (1974) и Хёрмандер (1990), из которого взято следующее доказательство.

Отметим, что достаточно доказать результат для небольшого интервала я = (−ε, ε), так как если ψ (т) является гладким функция удара с компактным носителем в (−ε, ε), равным тождественно 1 вблизи 0, то ψ (т) ⋅ F(т, Икс) дает решение на р × U. Аналогично с помощью гладкого разделение единства на р^п подчиненный покрытию открытыми шарами с центрами в δ⋅Z^п, можно предположить, что все ж_м иметь компактную опору в фиксированном замкнутом шаре C. Для каждого м, позволять

${\displaystyle \displaystyle {F_{m}(t,x)={t^{m} \over m!}\cdot \psi \left({t \over \varepsilon _{m}}\right)\cdot f_{m}(x),}}$

где ε_м выбирается достаточно малым, чтобы

${\displaystyle \displaystyle {\|\partial ^{\alpha }F_{m}\|_{\infty }\leq 2^{-m}}}$

для | α | < м. Из этих оценок следует, что каждая сумма

${\displaystyle \displaystyle {\sum _{m\geq 0}\partial ^{\alpha }F_{m}}}$

сходится равномерно и, следовательно,

${\displaystyle \displaystyle {F=\sum _{m\geq 0}F_{m}}}$

является гладкой функцией с

${\displaystyle \displaystyle {\partial ^{\alpha }F=\sum _{m\geq 0}\partial ^{\alpha }F_{m}.}}$

По конструкции

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{t}^{m}F(t,x)|_{t=0}=f_{m}(x).}}$

Примечание: Можно использовать точно такую ​​же конструкцию без вспомогательного пространства. U, чтобы получить гладкую функцию на интервале я для которого производные в 0 образуют произвольную последовательность.

Смотрите также

• Неаналитические гладкие функции.

Рекомендации

• Эрдейи, А. (1956), Асимптотические разложения, Dover Publications, стр. 22–25, ISBN  0486603180
• Голубицкий, М.; Гийемен, В. (1974), Устойчивые отображения и их особенности, Тексты для выпускников по математике, 14, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90072-1
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных, I. Теория распределений и анализ Фурье. (2-е изд.), Springer-Verlag, p. 16, ISBN  3-540-52343-X

В статье использован материал леммы Бореля о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.