В математика , то бигармоническое уравнение четвертого порядка уравнение в частных производных который возникает в областях механика сплошной среды , включая линейная эластичность теория и решение Стокса потоки . В частности, он используется при моделировании тонких структур, которые реагируют эластично внешним силам.
Обозначение Написано как
∇ 4 φ = 0 { displaystyle nabla ^ {4} varphi = 0} или же
∇ 2 ∇ 2 φ = 0 { displaystyle nabla ^ {2} nabla ^ {2} varphi = 0} или же
Δ 2 φ = 0 { Displaystyle Delta ^ {2} varphi = 0} куда ∇ 4 { displaystyle nabla ^ {4}} дель оператор и квадрат Лапласиан оператор ∇ 2 { displaystyle nabla ^ {2}} Δ { displaystyle Delta} бигармонический оператор или билаплацианский оператор . В Декартовы координаты , это можно записать в п { displaystyle n}
∇ 4 φ = ∑ я = 1 п ∑ j = 1 п ∂ я ∂ я ∂ j ∂ j φ = ( ∑ я = 1 п ∂ я ∂ я ) ( ∑ j = 1 п ∂ j ∂ j ) φ . { displaystyle nabla ^ {4} varphi = sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} partial _ {i} partial _ {i} partial _ {j} partial _ {j} varphi = left ( sum _ {i = 1} ^ {n} partial _ {i} partial _ {i} right) left ( sum _ { j = 1} ^ {n} partial _ {j} partial _ {j} right) varphi.} Поскольку формула здесь содержит сумму индексов, многие математики предпочитают обозначение Δ 2 { displaystyle Delta ^ {2}} ∇ 4 { displaystyle nabla ^ {4}}
Например, в трехмерном Декартовы координаты бигармоническое уравнение имеет вид
∂ 4 φ ∂ Икс 4 + ∂ 4 φ ∂ у 4 + ∂ 4 φ ∂ z 4 + 2 ∂ 4 φ ∂ Икс 2 ∂ у 2 + 2 ∂ 4 φ ∂ у 2 ∂ z 2 + 2 ∂ 4 φ ∂ Икс 2 ∂ z 2 = 0. { displaystyle { partial ^ {4} varphi over partial x ^ {4}} + { partial ^ {4} varphi over partial y ^ {4}} + { partial ^ {4} varphi over partial z ^ {4}} + 2 { partial ^ {4} varphi over partial x ^ {2} partial y ^ {2}} + 2 { partial ^ {4} varphi over partial y ^ {2} partial z ^ {2}} + 2 { partial ^ {4} varphi over partial x ^ {2} partial z ^ {2}} = 0.} Другой пример: в п -размерный Реальное координатное пространство без происхождения ( р п ∖ 0 ) { displaystyle left ( mathbb {R} ^ {n} setminus mathbf {0} right)}
∇ 4 ( 1 р ) = 3 ( 15 − 8 п + п 2 ) р 5 { displaystyle nabla ^ {4} left ({1 over r} right) = {3 (15-8n + n ^ {2}) over r ^ {5}}} куда
р = Икс 1 2 + Икс 2 2 + ⋯ + Икс п 2 . { displaystyle r = { sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2}}}.} что показывает, что для п = 3 и п = 5 Только, 1 р { displaystyle { frac {1} {r}}}
Решение бигармонического уравнения называется бигармоническая функция . Любой гармоническая функция является бигармоническим, но обратное не всегда верно.
В двухмерном полярные координаты , бигармоническое уравнение имеет вид
1 р ∂ ∂ р ( р ∂ ∂ р ( 1 р ∂ ∂ р ( р ∂ φ ∂ р ) ) ) + 2 р 2 ∂ 4 φ ∂ θ 2 ∂ р 2 + 1 р 4 ∂ 4 φ ∂ θ 4 − 2 р 3 ∂ 3 φ ∂ θ 2 ∂ р + 4 р 4 ∂ 2 φ ∂ θ 2 = 0 { displaystyle { frac {1} {r}} { frac { partial} { partial r}} left (r { frac { partial} { partial r}} left ({ frac { 1} {r}} { frac { partial} { partial r}} left (r { frac { partial varphi} { partial r}} right) right) right) + { frac {2} {r ^ {2}}} { frac { partial ^ {4} varphi} { partial theta ^ {2} partial r ^ {2}}} + { frac {1} {r ^ {4}}} { frac { partial ^ {4} varphi} { partial theta ^ {4}}} - { frac {2} {r ^ {3}}} { frac { partial ^ {3} varphi} { partial theta ^ {2} partial r}} + { frac {4} {r ^ {4}}} { frac { partial ^ {2} varphi} { partial theta ^ {2}}} = 0} которое может быть решено разделением переменных. В результате Решение Michell .
2-мерное пространство Общее решение двумерного случая:
Икс v ( Икс , у ) − у ты ( Икс , у ) + ш ( Икс , у ) { Displaystyle xv (x, y) -yu (x, y) + w (x, y)} куда ты ( Икс , у ) { Displaystyle и (х, у)} v ( Икс , у ) { Displaystyle v (х, у)} ш ( Икс , у ) { Displaystyle ш (х, у)} гармонические функции и v ( Икс , у ) { Displaystyle v (х, у)} гармоническое сопряжение из ты ( Икс , у ) { Displaystyle и (х, у)}
Как только гармонические функции в 2-х переменных тесно связаны со сложными аналитические функции , то есть бигармонические функции от 2 переменных. Общий вид бигармонической функции от двух переменных также можно записать как
Я ( z ¯ ж ( z ) + грамм ( z ) ) { displaystyle operatorname {Im} ({ bar {z}} f (z) + g (z))} куда ж ( z ) { displaystyle f (z)} грамм ( z ) { displaystyle g (z)} аналитические функции .
Смотрите также Рекомендации
Эрик Вайсштейн, CRC Краткая энциклопедия математики , CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2. С. И. Хайек, Передовые математические методы в науке и технике , Марсель Деккер, 2000. ISBN 0-8247-0466-5. Дж. П. Ден Хартог (1 июля 1987 г.). Повышенная прочность материалов . Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65407-9 внешняя ссылка 
