Линейная эластичность - Linear elasticity

Линейная эластичность представляет собой математическую модель того, как твердые объекты деформируются и подвергаются внутреннему напряжению из-за заданных условий нагружения. Это упрощение более общего нелинейная теория упругости и филиал механика сплошной среды.

Фундаментальные "линеаризирующие" допущения линейной эластичности: бесконечно малые деформации или "маленький" деформации (или деформации) и линейные отношения между компонентами стресс и напряжение. Кроме того, линейная упругость действительна только для напряженных состояний, которые не вызывают уступающий.

Эти предположения приемлемы для многих инженерных материалов и сценариев инженерного проектирования. Поэтому линейная эластичность широко используется в структурный анализ и инженерное проектирование, часто с помощью анализ методом конечных элементов.

Математическая формулировка

Уравнения линейной упругости краевая задача основаны на трех тензор уравнения в частных производных для баланс количества движения и шесть бесконечно малая деформация -смещение связи. Система дифференциальных уравнений дополняется набором линейный алгебраический учредительные отношения.

Прямая тензорная форма

В прямом тензор В форме, которая не зависит от выбора системы координат, эти основные уравнения следующие:^[1]

• Уравнение движения, что является выражением Второй закон Ньютона:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}}$

• Деформация-смещение уравнения:

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]\,\!}$

• Материальные уравнения. Для эластичных материалов Закон Гука представляет поведение материала и связывает неизвестные напряжения и деформации. Общее уравнение для закона Гука имеет вид

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }},}$

куда ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ это Тензор напряжений Коши, ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ это бесконечно малая деформация тензор, ${\displaystyle \mathbf {u} }$ это вектор смещения, ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ четвертого порядка тензор жесткости, ${\displaystyle \mathbf {F} }$ - объемная сила на единицу объема, ${\displaystyle \rho }$ - массовая плотность, ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ представляет оператор набла, ${\displaystyle (\bullet )^{\mathrm {T} }}$ представляет транспонировать, ${\displaystyle {\ddot {(\bullet )}}}$ представляет вторую производную по времени, а ${\displaystyle {\mathsf {A}}:{\mathsf {B}}=A_{ij}B_{ij}}$ - скалярное произведение двух тензоров второго порядка (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам).

Декартова форма координат

Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.

Выражается в компонентах по отношению к прямоугольному Декартова координата В системе решающими уравнениями линейной упругости являются:^[1]

• Уравнение движения:

${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\,\!}$

Инженерная нотация

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}}}\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\,\!}$

где ${\displaystyle {(\bullet )}_{,j}}$ нижний индекс - это сокращение для ${\displaystyle \partial {(\bullet )}/\partial x_{j}}$ и ${\displaystyle \partial _{tt}}$ указывает ${\displaystyle \partial ^{2}/\partial t^{2}}$, ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,\!}$ Коши стресс тензор, ${\displaystyle F_{i}\,\!}$ силы тела, ${\displaystyle \rho \,\!}$ - массовая плотность, а ${\displaystyle u_{i}\,\!}$ это смещение.

Это 3 независимый уравнения с 6 независимыми неизвестными (напряжениями).

• Деформация-смещение уравнения:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})\,\!}$

Инженерная нотация
${\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\,\!}$	${\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\,\!}$
${\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\,\!}$	${\displaystyle \gamma _{yz}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\,\!}$
${\displaystyle \epsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\,\!}$	${\displaystyle \gamma _{zx}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\,\!}$

куда ${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!}$ это напряжение. Это 6 независимых уравнений, связывающих деформации и смещения с 9 независимыми неизвестными (деформации и смещения).

• Материальные уравнения. Уравнение закона Гука:

${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\!}$

куда ${\displaystyle C_{ijkl}}$ - тензор жесткости. Это 6 независимых уравнений, связывающих напряжения и деформации. Требование симметрии тензоров напряжений и деформаций приводит к равенству многих упругих постоянных, уменьшая количество различных элементов до 21^[2] ${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}=C_{jikl}=C_{ijlk}}$.

Упругостатическая краевая задача для изотропно-однородной среды представляет собой систему из 15 независимых уравнений и равного числа неизвестных (3 уравнения равновесия, 6 уравнений деформации-смещения и 6 определяющих уравнений). Задав граничные условия, краевая задача полностью определена. Для решения системы можно использовать два подхода в соответствии с граничными условиями краевой задачи: формулировка смещения, а формулировка напряжения.

Цилиндрическая форма координат

В цилиндрических координатах (${\displaystyle r,\theta ,z}$) уравнения движения имеют вид^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}(\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta })+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial z}}+{\cfrac {2}{r}}\sigma _{r\theta }+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}\sigma _{rz}+F_{z}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$

Соотношения деформация-перемещение:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}~;~~\varepsilon _{\theta \theta }={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)~;~~\varepsilon _{zz}={\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)~;~~\varepsilon _{\theta z}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)~;~~\varepsilon _{zr}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$

и определяющие соотношения такие же, как в декартовых координатах, за исключением того, что индексы ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$ теперь стоять за ${\displaystyle r}$,${\displaystyle \theta }$,${\displaystyle z}$, соответственно.

Сферическая координатная форма

В сферических координатах (${\displaystyle r,\theta ,\phi }$) уравнения движения имеют вид^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi }+\sigma _{r\theta }\cot \theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi })+F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$

Сферические координаты (р, θ, φ) как обычно используется в физика: радиальное расстояние р, полярный угол θ (тета ) и азимутальный угол φ (фи ). Символ ρ (ро ) часто используется вместо р.

Тензор деформации в сферических координатах имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}}$

(An) изотропные (in) однородные среды

В изотропный среды, тензор жесткости показывает соотношение между напряжениями (результирующими внутренними напряжениями) и деформациями (результирующими деформациями). Для изотропной среды тензор жесткости не имеет предпочтительного направления: приложенная сила будет давать одинаковые смещения (относительно направления силы) независимо от направления приложения силы. В изотропном случае тензор жесткости можно записать:

${\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-\textstyle {\frac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})\,\!}$^{[нужна цитата ]}

куда ${\displaystyle \delta _{ij}\,\!}$ это Дельта Кронекера, K это объемный модуль (или несжимаемость), и ${\displaystyle \mu \,\!}$ это модуль сдвига (или жесткости), два модули упругости. Если среда неоднородна, изотропная модель разумна, если среда либо кусочно-постоянная, либо слабо неоднородная; в сильно неоднородной гладкой модели необходимо учитывать анизотропию. Если среда однородный, то модули упругости не будут зависеть от положения в среде. Материальное уравнение теперь можно записать как:

${\displaystyle \sigma _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu (\varepsilon _{ij}-\textstyle {\frac {1}{3}}\delta _{ij}\varepsilon _{kk}).\,\!}$

Это выражение разделяет напряжение на скалярную часть слева, которая может быть связана со скалярным давлением, и бесследную часть справа, которая может быть связана с поперечными силами. Более простое выражение:^[3]

${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}\,\!}$^[4]

где λ - Первый параметр Ламе. Поскольку определяющее уравнение представляет собой просто набор линейных уравнений, деформация может быть выражена как функция напряжений как:^[5]

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{9K}}\delta _{ij}\sigma _{kk}+{\frac {1}{2\mu }}\left(\sigma _{ij}-\textstyle {\frac {1}{3}}\delta _{ij}\sigma _{kk}\right)\,\!}$

что опять же, скалярная часть слева и бесследная часть сдвига справа. Проще:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]\,\!}$

куда ${\displaystyle \nu \,\!}$ является Коэффициент Пуассона и ${\displaystyle E\,\!}$ является Модуль для младших.

Эластостатика

Эластостатика - это исследование линейной упругости в условиях равновесия, в котором все силы, действующие на упругое тело, в сумме равны нулю, а смещения не являются функцией времени. В уравнения равновесия тогда

${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0.\,\!}$

Технические обозначения (тау - это напряжение сдвига )

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0\,\!}$

В этом разделе будет обсуждаться только изотропный однородный случай.

Формулировка смещения

В этом случае перемещения задаются всюду на границе. При таком подходе деформации и напряжения исключаются из формулировки, оставляя смещения в качестве неизвестных, которые необходимо решить в основных уравнениях. Во-первых, уравнения деформации-смещения подставляются в основные уравнения (закон Гука), устраняя деформации. как неизвестные:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{ij}&=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}\\&=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+\mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right).\\\end{aligned}}\,\!}$

Дифференцируя (при условии ${\displaystyle \lambda \,\!}$ и ${\displaystyle \mu \,\!}$ пространственно однородны) дает:

${\displaystyle \sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).\,\!}$

Подстановка в уравнение равновесия дает:

${\displaystyle \lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)+F_{i}=0\,\!}$

или (замена двойных (фиктивных) (= суммирование) индексов k, k на j, j и замена индексов, ij на, ji после, в силу Теорема Шварца )

${\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ji}+F_{i}=0\,\!}$

куда ${\displaystyle \lambda \,\!}$ и ${\displaystyle \mu \,\!}$ находятся Параметры Ламе Таким образом, остаются неизвестными только смещения, отсюда и название этой формулировки. Полученные таким образом основные уравнения называются уравнения упругости, частный случай Уравнения Навье-Коши приведен ниже.

Вывод уравнений Навье-Коши в технических обозначениях

Во-первых, ${\displaystyle x\,\!}$-направление будет считаться.Подставляя уравнения деформации-смещения в уравнение равновесия в ${\displaystyle x\,\!}$-направление у нас ${\displaystyle \sigma _{x}=2\mu \varepsilon _{x}+\lambda (\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z})=2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)\,\!}$ ${\displaystyle \tau _{xy}=\mu \gamma _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)\,\!}$ ${\displaystyle \tau _{xz}=\mu \gamma _{zx}=\mu \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)\,\!}$ Затем подставляя эти уравнения в уравнение равновесия в ${\displaystyle x\,\!}$-направление у нас есть ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)+F_{x}=0\,\!}$ Используя предположение, что ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \lambda }$ постоянны, мы можем переставить и получить: ${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{x}=0\,\!}$ Следуя той же процедуре для ${\displaystyle y\,\!}$-направление и ${\displaystyle z\,\!}$-направление у нас есть ${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{y}=0\,\!}$ ${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{z}=0\,\!}$ Эти последние 3 уравнения представляют собой уравнения Навье-Коши, которые также можно выразить в векторной записи как ${\displaystyle (\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {F} =0\,\!}$

После того, как поле смещения вычислено, смещения могут быть заменены уравнениями деформации-смещения для решения деформаций, которые позже используются в определяющих уравнениях для определения напряжений.

Бигармоническое уравнение

Уравнение упругости можно записать:

${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}.\,\!}$

Принимая расхождение обеих частей уравнения упругости и предполагая, что объемные силы имеют нулевую дивергенцию (однородную в области) (${\displaystyle F_{i,i}=0\,\!}$) у нас есть

${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+\beta ^{2}u_{i,imm}=0.\,\!}$

Отмечая, что суммированные индексы не обязательно совпадают, и что частные производные коммутируют, два дифференциальных члена считаются одинаковыми, и мы имеем:

${\displaystyle \alpha ^{2}u_{j,iij}=0\,\!}$

из чего заключаем, что:

${\displaystyle u_{j,iij}=0.\,\!}$

Принимая Лапласиан обеих частей уравнения упругости, и предполагая вдобавок ${\displaystyle F_{i,kk}=0\,\!}$, у нас есть

${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,kkij}+\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0.\,\!}$

В уравнении дивергенции первый член слева равен нулю (примечание: опять же, суммированные индексы не обязательно совпадают), и мы имеем:

${\displaystyle \beta ^{2}u_{i,kkmm}=0\,\!}$

из чего заключаем, что:

${\displaystyle u_{i,kkmm}=0\,\!}$

или в безкоординатной записи ${\displaystyle \nabla ^{4}\mathbf {u} =0\,\!}$ что просто бигармоническое уравнение в ${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$.

Формулировка стресса

В этом случае поверхностные тяги задаются всюду на границе поверхности. В этом подходе деформации и смещения устраняются, оставляя напряжения в качестве неизвестных, которые необходимо решить в основных уравнениях. После того, как поле напряжений найдено, деформации затем находятся с использованием определяющих уравнений.

Необходимо определить шесть независимых компонентов тензора напряжений, но в формулировке смещения необходимо определить только три компонента вектора смещения. Это означает, что есть некоторые ограничения, которые необходимо наложить на тензор напряжений, чтобы уменьшить количество степеней свободы до трех. Используя определяющие уравнения, эти ограничения выводятся непосредственно из соответствующих ограничений, которые должны выполняться для тензора деформации, который также имеет шесть независимых компонентов. Ограничения на тензор деформации выводятся непосредственно из определения тензора деформации как функции векторного поля смещения, что означает, что эти ограничения не вводят никаких новых концепций или информации. Наиболее легко понять ограничения на тензор деформации. Если упругая среда визуализируется как набор бесконечно малых кубиков в недеформированном состоянии, то после того, как среда деформируется, произвольный тензор деформации должен давать ситуацию, в которой искаженные кубы все еще подходят друг к другу без перекрытия. Другими словами, для данной деформации должно существовать непрерывное векторное поле (смещение), из которого может быть получен этот тензор деформации. Ограничения на тензор деформации, которые требуются, чтобы гарантировать, что это так, были обнаружены Сен-Венаном и называются "Уравнения совместимости Сен-Венана ". Это 81 уравнение, 6 из которых являются независимыми нетривиальными уравнениями, которые связывают различные компоненты деформации. Они выражаются в индексных обозначениях как:

${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0.\,\!}$

Инженерная нотация

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\,\!}$

Затем деформации в этом уравнении выражаются через напряжения с использованием определяющих уравнений, что дает соответствующие ограничения на тензор напряжений. Эти ограничения на тензор напряжений известны как Бельтрами-Мичелл уравнения совместимости:

${\displaystyle \sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}+F_{i,j}+F_{j,i}+{\frac {\nu }{1-\nu }}\delta _{i,j}F_{k,k}=0.\,\!}$

В особой ситуации, когда объемная сила однородна, приведенные выше уравнения сводятся к

${\displaystyle (1+\nu )\sigma _{ij,kk}+\sigma _{kk,ij}=0.\,\!}$^[6]

Необходимым, но недостаточным условием совместимости в этой ситуации является ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{4}{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {0}}}$ или же ${\displaystyle \sigma _{ij,kk\ell \ell }=0}$.^[1]

Эти ограничения вместе с уравнением равновесия (или уравнением движения для эластодинамики) позволяют вычислить поле тензора напряжений. После того, как поле напряжений было вычислено из этих уравнений, деформации могут быть получены из определяющих уравнений, а поле смещения - из уравнений деформации-смещения.

Альтернативный способ решения - выразить тензор напряжений через функции стресса которые автоматически дают решение уравнения равновесия. Тогда функции напряжения подчиняются единственному дифференциальному уравнению, которое соответствует уравнениям совместимости.

Решения для эластостатических случаев

Решение Томсона - точечная сила в бесконечной изотропной среде

Наиболее важное решение уравнения Навье-Коши или уравнения упругости - это решение силы, действующей в точке в бесконечной изотропной среде. Это решение было найдено Уильям Томсон (позже лорд Кельвин) в 1848 г. (Thomson 1848). Это решение является аналогом Закон Кулона в электростатика. Вывод дан у Ландау и Лифшица.[7]:§8 Определение ${\displaystyle a=1-2\nu \,\!}$ ${\displaystyle b=2(1-\nu )=a+1\,\!}$ куда ${\displaystyle \nu \,\!}$ - коэффициент Пуассона, решение может быть выражено как ${\displaystyle u_{i}=G_{ik}F_{k}\,\!}$ куда ${\displaystyle F_{k}\,\!}$ - вектор силы, приложенный к точке, и ${\displaystyle G_{ik}\,\!}$ это тензор Функция Грина что может быть написано в Декартовы координаты в качестве: ${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}\left[\left(1-{\frac {1}{2b}}\right)\delta _{ik}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x_{i}x_{k}}{r^{2}}}\right]\,\!}$ Его также можно компактно записать как: ${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}\left[{\frac {\delta _{ik}}{r}}-{\frac {1}{2b}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\right]\,\!}$ и это может быть явно записано как: ${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xy}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {yx}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {y^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {yz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {zx}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {zy}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}\,\!}$ В цилиндрических координатах (${\displaystyle \rho ,\phi ,z\,\!}$) его можно записать как: ${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}&0&{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho z}{r^{2}}}\\0&1-{\frac {1}{2b}}&0\\{\frac {1}{2b}}{\frac {z\rho }{r^{2}}}&0&1-{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}\,\!}$ где r - общее расстояние до точки. Особенно полезно записать смещение в цилиндрических координатах для точечной силы ${\displaystyle F_{z}\,\!}$ направлена ​​по оси z. Определение ${\displaystyle {\hat {\mathbf {\rho } }}\,\!}$ и ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$ как единичные векторы в ${\displaystyle \rho \,\!}$ и ${\displaystyle z\,\!}$ направления соответственно дает: ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {F_{z}}{4\pi \mu r}}\left[{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho z}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {\rho } }}+\left(1-{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {z} }}\right]\,\!}$ Можно видеть, что есть составляющая смещения в направлении силы, которая уменьшается, как и в случае потенциала в электростатике, как 1 / r при больших r. Также имеется дополнительная ρ-направленная компонента.

Решение Буссинеска-Черрути - точечная сила в начале бесконечного изотропного полупространства

Другое полезное решение - это точечная сила, действующая на поверхность бесконечного полупространства. Он был получен Буссинеском[8] для нормальной силы и Черрути для касательной силы, а вывод дан в Ландау и Лифшице.[7]:§8 В этом случае решение снова записывается в виде тензора Грина, стремящегося к нулю на бесконечности, и составляющая тензора напряжений, нормальная к поверхности, обращается в нуль. Это решение может быть записано в декартовых координатах как [примечание: a = (1-2ν) и b = 2 (1-ν), ν == коэффициент Пуассона]: ${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}{\begin{bmatrix}{\frac {b}{r}}+{\frac {x^{2}}{r^{3}}}-{\frac {ax^{2}}{r(r+z)^{2}}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\frac {xy}{r^{3}}}-{\frac {axy}{r(r+z)^{2}}}&{\frac {xz}{r^{3}}}-{\frac {ax}{r(r+z)}}\\{\frac {yx}{r^{3}}}-{\frac {ayx}{r(r+z)^{2}}}&{\frac {b}{r}}+{\frac {y^{2}}{r^{3}}}-{\frac {ay^{2}}{r(r+z)^{2}}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\frac {yz}{r^{3}}}-{\frac {ay}{r(r+z)}}\\{\frac {zx}{r^{3}}}-{\frac {ax}{r(r+z)}}&{\frac {zy}{r^{3}}}-{\frac {ay}{r(r+z)}}&{\frac {b}{r}}+{\frac {z^{2}}{r^{3}}}\end{bmatrix}}\,\!}$

Другие решения:

• Точечная сила внутри бесконечного изотропного полупространства.^[9]
• Точечная сила на поверхности изотропного полупространства.^[6]
• Контакт двух упругих тел: решение Герца (см. Код Matlab ).^[10] Также страницу на Контактная механика.

Эластодинамика с учетом перемещений

Эластодинамика - это изучение упругие волны и включает линейную эластичность с изменением во времени. An упругая волна это тип механическая волна который распространяется в эластичном или вязкоупругий материалы. Эластичность материала обеспечивает восстановление сила волны. Когда они происходят в земной шар в результате землетрясение или другое возмущение, упругие волны обычно называют сейсмические волны.

Уравнение количества движения - это просто уравнение равновесия с дополнительным инерционным членом:

${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \,{\ddot {u}}_{i}=\rho \,\partial _{tt}u_{i}.\,\!}$

Если материал подчиняется анизотропному закону Гука (с однородным по всему материалу тензором жесткости), мы получаем уравнение смещения эластодинамики:

${\displaystyle \left(C_{ijkl}u_{(k},_{l)}\right),_{j}+F_{i}=\rho {\ddot {u}}_{i}.\,\!}$

Если материал изотропный и однородный, можно получить Уравнение Навье-Коши:

${\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ij}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\quad \mathrm {or} \quad \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +(\mu +\lambda )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {F} =\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}.\,\!}$

Уравнение эластодинамической волны также можно выразить как

${\displaystyle (\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ])\,u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}\,\!}$

куда

${\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}\,\!}$

это акустический дифференциальный оператор, и ${\displaystyle \delta _{kl}\,\!}$ является Дельта Кронекера.

В изотропный среды тензор жесткости имеет вид

${\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\frac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})\,\!}$

куда${\displaystyle K\,\!}$ это объемный модуль (или несжимаемость), и${\displaystyle \mu \,\!}$ это модуль сдвига (или жесткости), два модули упругости. Если материал однороден (т. Е. Тензор жесткости постоянен по всему материалу), акустический оператор принимает следующий вид:

${\displaystyle A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})\,\!}$

За плоские волны, указанный выше дифференциальный оператор становится акустический алгебраический оператор:

${\displaystyle A_{ij}[\mathbf {k} ]=\alpha ^{2}k_{i}k_{j}+\beta ^{2}(k_{m}k_{m}\delta _{ij}-k_{i}k_{j})\,\!}$

куда

${\displaystyle \alpha ^{2}=\left(K+{\frac {4}{3}}\mu \right)/\rho \qquad \beta ^{2}=\mu /\rho \,\!}$

являются собственные значения из ${\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,\!}$ с собственные векторы ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}\,\!}$ параллельно и ортогонально направлению распространения ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}$, соответственно. Связанные волны называются продольный и срезать упругие волны. В сейсмологической литературе соответствующие плоские волны называются P-волнами и S-волнами (см. Сейсмическая волна ).

Упругодинамика с точки зрения напряжений

Исключение смещений и деформаций из основных уравнений приводит к Уравнение Игначака эластодинамики^[11]

${\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-S_{ijkl}{\ddot {\sigma }}_{kl}+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.\,\!}$

В случае локальной изотропии это сводится к

${\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-{\frac {1}{2\mu }}\left({\ddot {\sigma }}_{ij}-{\frac {\lambda }{3\lambda +2\mu }}{\ddot {\sigma }}_{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.\,\!}$

Основные характеристики этой формулы включают: (1) избегает градиентов податливости, но вводит градиенты массовой плотности; (2) выводится из вариационного принципа; (3) это полезно для решения начально-краевых задач тяги, (4) позволяет тензорную классификацию упругих волн, (5) предлагает диапазон приложений в задачах распространения упругих волн; (6) можно распространить на динамику классических или микрополярных твердых тел с взаимодействующими полями различных типов (термоупругими, насыщенными флюидом пористыми, пьезоэлектроупругими ...), а также нелинейными средами.

Анизотропные однородные среды

Основная статья: Закон Гука

Для анизотропных сред тензор жесткости ${\displaystyle C_{ijkl}\,\!}$ сложнее. Симметрия тензора напряжений ${\displaystyle \sigma _{ij}\,\!}$ означает, что существует не более 6 различных элементов стресса. Точно так же существует не более 6 различных элементов тензора деформации ${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$ . Отсюда тензор жесткости четвертого порядка ${\displaystyle C_{ijkl}\,\!}$ можно записать в виде матрицы ${\displaystyle C_{\alpha \beta }\,\!}$ (тензор второго порядка). Обозначение Фойгта - стандартное отображение для тензорных индексов,

${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}\,\!}$

В этих обозначениях матрицу упругости для любой линейно упругой среды можно записать в виде:

${\displaystyle C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.\,\!}$

Как показано, матрица ${\displaystyle C_{\alpha \beta }\,\!}$ является симметричным, это результат существования функции плотности энергии деформации, которая удовлетворяет ${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij}}}}$. Следовательно, существует не более 21 различных элементов ${\displaystyle C_{\alpha \beta }\,\!}$.

Изотропный частный случай имеет 2 независимых элемента:

${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0\\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.\,\!}$

В простейшем анизотропном случае кубической симметрии есть 3 независимых элемента:

${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.\,\!}$

Случай поперечная изотропия, также называемая полярной анизотропией (с одной осью (3-осью) симметрии), имеет 5 независимых элементов:

${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.\,\!}$

Когда поперечная изотропия мала (т.е. близка к изотропии), альтернативная параметризация, использующая Параметры Томсена, удобна для формул для волновых скоростей.

Корпус ортотропии (симметрии кирпича) имеет 9 независимых элементов:

${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.\,\!}$

Эластодинамика

Уравнение упругодинамической волны для анизотропных сред можно представить в виде

${\displaystyle (\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ])\,u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}\,\!}$

куда

${\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}\,\!}$

это акустический дифференциальный оператор, и ${\displaystyle \delta _{kl}\,\!}$ является Дельта Кронекера.

Плоские волны и уравнение Кристоффеля

А плоская волна имеет форму

${\displaystyle \mathbf {u} [\mathbf {x} ,\,t]=U[\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega \,t]\,{\hat {\mathbf {u} }}\,\!}$

с ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}\,\!}$ единичной длины и является решением волнового уравнения с нулевым воздействием, если и только если${\displaystyle \omega ^{2}\,\!}$ и ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}\,\!}$ составляют пару собственное значение / собственный векторакустический алгебраический оператор

${\displaystyle A_{kl}[\mathbf {k} ]={\frac {1}{\rho }}\,k_{i}\,C_{iklj}\,k_{j}.\,\!}$

Этот условие распространения (также известный как Уравнение Кристоффеля) можно записать как

${\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,{\hat {\mathbf {u} }}=c^{2}\,{\hat {\mathbf {u} }}\,\!}$

куда${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {k} /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}\,\!}$обозначает направление распространения и ${\displaystyle c=\omega /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}\,\!}$ - фазовая скорость.

Смотрите также

• Метод Кастильяно
• Теорема Клапейрона (эластичность)
• Контактная механика
• Деформация
• Эластичность (физика)
• ГРАДЕЛА
• Закон Гука
• Теория бесконечно малых деформаций
• Решение Michell
• Пластичность (физика)
• Проблема Синьорини
• Пружинная система
• Стресс (механика)
• Стресс-функции

Рекомендации

1. Слотер, W. S., (2002), Линеаризованная теория упругости, Бирхаузер.
2. Беленький; Салаев (1988). «Деформационные эффекты в слоистых кристаллах». Успехи физических наук.. 155: 89. Дои:10.3367 / UFNr.0155.198805c.0089.
3. Аки, Кейити; Ричардс, Пол Г. (2002). Количественная сейсмология (2-е изд.). Саусалито, Калифорния: Научные книги университета.
4. Механика сплошной среды для инженеров 2001 Mase, Eq. 5.12-2
5. Зоммерфельд, Арнольд (1964). Механика деформируемых тел.. Нью-Йорк: Academic Press.
6. Tribonet (16.02.2017). «Упругая деформация». Трибология. Получено 2017-02-16.
7. Ландау, Л.; Лифшиц, Э. (1986). Теория упругости (3-е изд.). Оксфорд, Англия: Баттерворт Хайнеманн. ISBN  0-7506-2633-X.
8. Буссинеск, Жозеф (1885). Применение потенциалов в исследовании равновесия и движения твердых веществ. Париж, Франция: Готье-Виллар.
9. Миндлин, Р.Д. (1936). «Сила в точке внутри полубесконечного твердого тела». Физика. 7 (5): 195–202. Bibcode:1936Физи ... 7..195М. Дои:10.1063/1.1745385.
10. Герц, Генрих (1882 г.). «Контакт между твердыми упругими телами». Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 92.
11. Остоя-Старжевский, М., (2018), Уравнение Игначака эластодинамики, Математика и механика твердого тела. Дои:10.1177/1081286518757284