Модуль для младших - Youngs modulus

Модуль Юнга - это наклон линейной части кривая напряжения-деформации

Модуль для младших ${\displaystyle E}$, то Модуль Юнга или модуль упругости при растяжении, это механическое свойство, которое измеряет растяжение жесткость из твердый материал. Он количественно определяет взаимосвязь между растяжением стресс ${\displaystyle \sigma }$ (сила на единицу площади) и осевой напряжение ${\displaystyle \varepsilon }$ (пропорциональная деформация) в линейная эластичность области материала и определяется по формуле:^[1]

${\displaystyle E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}}$

Модули Юнга обычно настолько велики, что выражаются не в паскали но в гигапаскалях (ГПа).

Хотя модуль Юнга назван в честь британского ученого 19 века Томас Янг, концепция была разработана в 1727 г. Леонард Эйлер. Первые эксперименты, в которых использовалась концепция модуля Юнга в его нынешнем виде, были выполнены итальянским ученым. Джордано Риккати в 1782 году, на 25 лет раньше, чем работа Янга.^[2] Термин модуль происходит от латинского корневого термина способ что значит мера.

Определение

Линейная эластичность

Основная статья: Линейная эластичность

Твердый материал подвергнется упругая деформация когда к нему прилагается небольшая нагрузка при сжатии или растяжении. Упругая деформация обратима (материал возвращается к исходной форме после снятия нагрузки).

При близких к нулю напряжениях и деформациях кривая напряжения – деформации имеет вид линейный, а связь между напряжением и деформацией описывается формулой Закон Гука в котором говорится, что напряжение пропорционально деформации. Коэффициент пропорциональности - это модуль Юнга. Чем выше модуль, тем большее напряжение требуется для создания такой же степени деформации; идеализированный жесткое тело имел бы бесконечный модуль Юнга. И наоборот, очень мягкий материал, такой как жидкость, будет деформироваться без силы и иметь нулевой модуль Юнга.

Не многие материалы являются линейными и эластичными за пределами небольшой деформации.^{[нужна цитата ]}

Примечание

Не следует путать жесткость материала с этими свойствами:

• Сила: максимальное напряжение, которое может выдержать материал при нахождении в режиме упругой (обратимой) деформации;
• Геометрическая жесткость: общая характеристика тела, которая зависит от его формы, а не только от локальных свойств материала; например, Двутавровая балка имеет более высокую жесткость на изгиб, чем стержень из того же материала при данной массе на длину;
• Твердость: относительное сопротивление поверхности материала проникновению более твердым телом;
• Стойкость: количество энергии, которое материал может поглотить до разрушения.

использование

Модуль Юнга позволяет рассчитать изменение размера стержня из изотропный эластичный материал под действием растягивающих или сжимающих нагрузок. Например, он предсказывает, насколько образец материала расширяется при растяжении или укорачивается при сжатии. Модуль Юнга напрямую применяется к случаям одноосного напряжения, то есть напряжения растяжения или сжатия в одном направлении и отсутствия напряжения в других направлениях. Модуль Юнга также используется для прогнозирования прогиба, который произойдет в статически определен луч когда нагрузка приложена к точке между опорами балки.

Другие расчеты упругости обычно требуют использования одного дополнительного свойства упругости, например модуль сдвига грамм, объемный модуль K, и Коэффициент Пуассона ν. Любых двух из этих параметров достаточно, чтобы полностью описать эластичность изотропного материала. Для однородных изотропных материалов простые отношения существуют между упругими константами, которые позволяют вычислить их все, если известны две:

${\displaystyle E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu ).\,}$

Линейное против нелинейного

Модуль Юнга представляет собой коэффициент пропорциональности в Закон Гука, связывающий напряжение и деформацию. Однако закон Гука действителен только при допущении эластичный и линейный отклик. Любой настоящий материал со временем разрушится и сломается при растяжении на очень большом расстоянии или с очень большой силой; однако все твердые материалы демонстрируют почти гуковское поведение при достаточно малых деформациях или напряжениях. Если диапазон, в котором действует закон Гука, достаточно велик по сравнению с типичным напряжением, которое ожидается приложить к материалу, материал называется линейным. В противном случае (если применяемое типичное напряжение выходит за пределы линейного диапазона) материал называется нелинейным.

Стали, углеродное волокно и стекло среди прочих обычно считаются линейными материалами, в то время как другие материалы, такие как резинка и почвы нелинейны. Однако это не абсолютная классификация: если к нелинейному материалу приложены очень небольшие напряжения или деформации, отклик будет линейным, но если к линейному материалу приложены очень высокие напряжения или деформации, линейная теория не будет довольно. Например, как следует из линейной теории обратимость, было бы абсурдно использовать линейную теорию для описания разрушения стального моста под высокой нагрузкой; Хотя сталь является линейным материалом для большинства применений, в таких случаях катастрофический отказ не наблюдается.

В механика твердого тела, наклон кривая напряжение – деформация в любой момент называется касательный модуль. Экспериментально это можно определить из склон кривой напряжения-деформации, созданной во время испытания на растяжение проводится на выборке материала.

Направленные материалы

Модуль Юнга не всегда одинаков для всех ориентаций материала. Большинство металлов и керамики, как и многие другие материалы, являются изотропный, а их механические свойства одинаковы во всех ориентациях. Однако металлы и керамика можно обрабатывать определенными примесями, а металлы можно обрабатывать механически, чтобы сделать их зернистую структуру направленной. Эти материалы затем становятся анизотропный, а модуль Юнга будет меняться в зависимости от направления вектора силы.^[3] Анизотропия также наблюдается во многих композитах. Например, углеродное волокно имеет гораздо более высокий модуль Юнга (намного более жесткий), когда сила нагружается параллельно волокнам (вдоль волокон). Другие такие материалы включают дерево и железобетон. Инженеры могут использовать это явление направленности в своих интересах при создании конструкций.

Температурная зависимость

Модуль Юнга металлов изменяется в зависимости от температуры и может быть реализован за счет изменения межатомных связей атомов, и, следовательно, его изменение, как обнаружено, зависит от изменения работы выхода металла. Хотя классически это изменение предсказывается путем подгонки и без четкого базового механизма (например, формулы Вочмана), модель Рахеми-Ли^[4] демонстрирует, как изменение работы выхода электрона приводит к изменению модуля Юнга металлов, и предсказывает это изменение с помощью вычисляемых параметров, используя обобщение потенциала Леннарда-Джонса на твердые тела. Как правило, с повышением температуры модуль Юнга уменьшается на величину${\displaystyle E(T)=\beta (\varphi (T))^{6}}$Где работа выхода электрона зависит от температуры как ${\displaystyle \varphi (T)=\varphi _{0}-\gamma {\frac {(k_{B}T)^{2}}{\varphi _{0}}}}$ и ${\displaystyle \gamma }$ - это вычисляемое свойство материала, которое зависит от кристаллической структуры (например, BCC, FCC и т. д.). ${\displaystyle \varphi _{0}}$ - работа выхода электрона при T = 0 и ${\displaystyle \beta }$ постоянно на протяжении всего изменения.

Расчет

Модуль для младших E, можно рассчитать, разделив растягивающее напряжение,${\displaystyle \sigma (\varepsilon )}$, посредством инженерная деформация растяжения, ${\displaystyle \varepsilon }$, в упругой (начальной, линейной) части физического кривая напряжение – деформация:

${\displaystyle E\equiv {\frac {\sigma (\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {F/A}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A\,\Delta L}}}$

куда

E модуль Юнга (модуль упругости)

F сила, действующая на объект под напряжением;

А - фактическая площадь поперечного сечения, которая равна площади поперечного сечения, перпендикулярного приложенной силе;

ΔL - величина, на которую изменяется длина объекта (ΔL положительный, если материал растянут, и отрицательный, если материал сжимается);

L₀ - исходная длина объекта.

Сила со стороны растянутого или сжатого материала

Модуль Юнга материала можно использовать для расчета силы, которую он оказывает при определенной деформации.

${\displaystyle F={\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}}$

куда F сила, прилагаемая материалом при сжатии или растяжении ${\displaystyle \Delta L}$.

Закон Гука для натянутой проволоки можно вывести по этой формуле:

${\displaystyle F=\left({\frac {EA}{L_{0}}}\right)\,\Delta L=kx\,}$

где это происходит в насыщенности

${\displaystyle k\equiv {\frac {EA}{L_{0}}}\,}$ и ${\displaystyle x\equiv \Delta L.\,}$

Но учтите, что упругость витых пружин происходит от модуль сдвига, а не модуль Юнга.

Упругая потенциальная энергия

В упругая потенциальная энергия хранится в линейно-упругом материале, дается интегралом закона Гука:

${\displaystyle U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}.}$

теперь, объясняя интенсивные переменные:

${\displaystyle U_{e}=\int {\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}\,d\Delta L={\frac {EA}{L_{0}}}\int \Delta L\,d\Delta L={\frac {EA\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}}}}$

Это означает, что плотность упругой потенциальной энергии (т. Е. На единицу объема) определяется как:

${\displaystyle {\frac {U_{e}}{AL_{0}}}={\frac {E\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}^{2}}}}$

или, простыми обозначениями, для линейно-упругого материала:${\displaystyle u_{e}(\varepsilon )=\int {E\,\varepsilon }\,d\varepsilon ={\frac {1}{2}}E{\varepsilon }^{2}}$, поскольку деформация определяется ${\displaystyle \varepsilon \equiv {\frac {\Delta L}{L_{0}}}}$.

В нелинейном упругом материале модуль Юнга является функцией деформации, поэтому вторая эквивалентность больше не выполняется, и упругая энергия не является квадратичной функцией деформации:

${\displaystyle u_{e}(\varepsilon )=\int E(\varepsilon )\,\varepsilon \,d\varepsilon \neq {\frac {1}{2}}E\varepsilon ^{2}}$

Приблизительные значения

Влияние добавок выбранных стеклянных компонентов на модуль Юнга определенного базового стекла

Модуль Юнга может несколько отличаться из-за различий в составе образцов и методах испытаний. Скорость деформации имеет наибольшее влияние на собираемые данные, особенно в полимерах. Значения здесь приблизительные и предназначены только для относительного сравнения.

Приблизительный модуль Юнга для различных материалов

Материал	ГПа	Mpsi
Резинка (небольшое напряжение)	0.01–0.1[5]	1.45–14.5×10^−3
Полиэтилен низкой плотности[6]	0.11–0.86	1.6–6.5×10^−2
Диатомовый панцири (во многом кремниевая кислота )[7]	0.35–2.77	0.05–0.4
PTFE (Тефлон)	0.5[5]	0.075
HDPE	0.8	0.116
Капсиды бактериофагов[8]	1–3	0.15–0.435
Полипропилен	1.5–2[5]	0.22–0.29
Поликарбонат	2–2.4	0.29-0.36
Полиэтилентерефталат (ДОМАШНИЙ ПИТОМЕЦ)	2–2.7[5]	0.29–0.39
Нейлон	2–4	0.29–0.58
Полистирол, твердый	3–3.5[5]	0.44–0.51
Полистирол, мыло[9]	0.0025–0.007	0.00036–0.00102
Древесноволокнистые плиты средней плотности (МДФ)[10]	4	0.58
Дерево (вдоль волокон)	11[5]	1.60
Человеческий кортикальный Кость[11]	14	2.03
Матрица из полиэстера, армированного стекловолокном[12]	17.2	2.49
Ароматические пептидные нанотрубки[13][14]	19–27	2.76–3.92
Высокая сила конкретный	30[5]	4.35
Молекулярные кристаллы аминокислот[15]	21–44	3.04–6.38
Пластик, армированный углеродным волокном (50/50 волокна / матрица, двухосная ткань)	30–50[16]	4.35–7.25
Конопля волокно[17]	35	5.08
Магний металл (Мг)	45[5]	6.53
Стекло (см. диаграмму)[уточнить ]	50–90[5]	7.25–13.1
Лен волокно[18]	58	8.41
Алюминий	69[5]	10
Перламутр (перламутр, в основном карбонат кальция)[19]	70	10.2
Арамид[20]	70.5–112.4	10.2–16.3
Эмаль зубов (во многом фосфат кальция )[21]	83	12
Крапива волокно[22]	87	12.6
Бронза	96–120[5]	13.9–17.4
Латунь	100–125[5]	14.5–18.1
Титан (Ti)	110.3	16[5]
Титановые сплавы	105–120[5]	15–17.5
Медь (Cu)	117	17
Пластик, армированный углеродным волокном (70/30 волокна / матрица, однонаправленное, вдоль волокна)[23]	181	26.3
Кремний Монокристалл, разные направления[24][25]	130–185	18.9–26.8
Кованое железо	190–210[5]	27.6–30.5
Стали (ASTM-A36)	200[5]	30
поликристаллический Иттрий-железный гранат (ЖИГ)[26]	193	28
монокристалл Иттрий-железный гранат (ЖИГ)[27]	200	29
Кобальт-хром (CoCr)[28]	220–258	29
Ароматические пептидные наносферы[29]	230–275	33.4–40
Бериллий (Быть)[30]	287	41.6
Молибден (Пн)	329–330[5][31][32]	47.7–47.9
Вольфрам (Вт)	400–410[5]	58–59
Карбид кремния (SiC)	450[5]	65
Карбид вольфрама (ТУАЛЕТ)	450–650[5]	65–94
Осмий (Операционные системы)	525–562[33]	76.1–81.5
Одностенные углеродные нанотрубки	1,000+[34][35]	150+
Графен (С)	1050[36]	152
Алмаз (С)	1050–1210[37]	152–175
Карбин (С)[38]	32100[39]	4,660

Смотрите также

• Жесткость на изгиб
• Прогиб
• Деформация
• Модуль упругости при изгибе
• Закон Гука
• Техника импульсного возбуждения
• Список свойств материалов
• Доходность (инженерная)

Рекомендации

1. Ястшебский Д. (1959). Природа и свойства инженерных материалов (Изд. Wiley International). John Wiley & Sons, Inc.
2. Рациональная механика гибких или упругих тел, 1638–1788 гг.: Введение в оперу Леонарди Эйлера «Омния», т. X и XI, Seriei Secundae. Орелл Фуссли.
3. Городцов, В.А .; Лисовенко, Д.С. (2019). «Экстремальные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона гексагональных кристаллов». Механика материалов. 134: 1–8. Дои:10.1016 / j.mechmat.2019.03.017.
4. Рахеми, Реза; Ли, Дунъян (апрель 2015 г.). «Изменение работы выхода электрона с температурой и его влияние на модуль Юнга металлов». Scripta Materialia. 99 (2015): 41–44. arXiv:1503.08250. Bibcode:2015arXiv150308250R. Дои:10.1016 / j.scriptamat.2014.11.022. S2CID  118420968.
5. «Упругие свойства и модуль Юнга для некоторых материалов». Engineering ToolBox. Получено 6 января, 2012.
6. «Обзор материалов для литого полиэтилена низкой плотности (LDPE)». Matweb. Архивировано из оригинал 1 января 2011 г.. Получено 7 февраля, 2013.
7. Субхаш Г., Яо С., Беллинджер Б., Гретц М.Р. (2005). «Исследование механических свойств панцирей диатомовых водорослей методом наноиндентирования». Журнал нанонауки и нанотехнологий. 5 (1): 50–6. Дои:10.1166 / jnn.2005.006. PMID  15762160.
8. Ивановска И.Л., де Пабло П.Дж., Сгалари Дж., МакКинтош ФК, Карраскоса Дж. Л., Шмидт К. Ф., Вуите Дж. Дж. (2004). «Капсиды бактериофагов: прочные нанооболочки со сложными эластичными свойствами». Proc Natl Acad Sci USA. 101 (20): 7600–5. Bibcode:2004ПНАС..101.7600И. Дои:10.1073 / pnas.0308198101. ЧВК  419652. PMID  15133147.
9. «Технические данные Styrodur» (PDF). BASF. Получено 15 марта, 2016.
10. "Свойства материала древесноволокнистых плит средней плотности (МДФ) :: MakeItFrom.com". Получено 4 февраля, 2016.
11. Ро, JY (1993). «Модуль Юнга губчатого и кортикального костного материала: ультразвуковые и микротензионные измерения». Журнал биомеханики. 26 (2): 111–119. Дои:10.1016 / 0021-9290 (93) 90042-д. PMID  8429054.
12. «Композитная полиэфирная матрица, армированная стекловолокном (стекловолокно)». [SubsTech] (17 мая 2008 г.). Проверено 30 марта 2011.
13. Кол, Н .; и другие. (8 июня 2005 г.). «Самособирающиеся пептидные нанотрубки представляют собой уникально жесткие биоинспирированные супрамолекулярные структуры». Нано буквы. 5 (7): 1343–1346. Bibcode:2005NanoL ... 5,1 343 К. Дои:10.1021 / nl0505896. PMID  16178235.
14. Niu, L .; и другие. (6 июня 2007 г.). «Использование модели изгибающейся балки для оценки эластичности дифенилаланиновых нанотрубок». Langmuir. 23 (14): 7443–7446. Дои:10.1021 / la7010106. PMID  17550276.
15. Азури, I .; и другие. (9 ноября 2015 г.). «Необычно большие модули Юнга молекулярных кристаллов аминокислот». Энгью. Chem. Int. Эд. 54 (46): 13566–13570. Дои:10.1002 / anie.201505813. PMID  26373817. S2CID  13717077.
16. «Разработка и производство композитов (BEng) - MATS 324». Архивировано из оригинал 9 ноября 2016 г.. Получено 8 ноября, 2016.
17. Nabi Saheb, D .; Джог, JP. (1999). «Полимерные композиты из натуральных волокон: обзор». Достижения в полимерной технологии. 18 (4): 351–363. Дои:10.1002 / (SICI) 1098-2329 (199924) 18: 4 <351 :: AID-ADV6> 3.0.CO; 2-X.
18. Бодрос, Э. (2002). «Анализ поведения льняных волокон при растяжении и анализ увеличения жесткости при растяжении». Составная часть A. 33 (7): 939–948. Дои:10.1016 / S1359-835X (02) 00040-4.
19. А. П. Джексон, Дж. Ф. В. Винсент и Р. М. Тернер (1988). «Механический дизайн перламутра». Труды Королевского общества B. 234 (1277): 415–440. Bibcode:1988RSPSB.234..415J. Дои:10.1098 / rspb.1988.0056. S2CID  135544277.
20. DuPont (2001). «Техническое руководство по кевлару»: 9.
21. М. Стейнс, В. Х. Робинсон и Дж. А. А. Худ (1981). «Сферическое вдавливание зубной эмали». Журнал материаловедения. 16 (9): 2551–2556. Bibcode:1981JMatS..16.2551S. Дои:10.1007 / bf01113595. S2CID  137704231.
22. Bodros, E .; Бейли, К. (15 мая 2008 г.). «Изучение свойств растяжения волокон крапивы двудомной (Urtica dioica)». Письма о материалах. 62 (14): 2143–2145. CiteSeerX  10.1.1.299.6908. Дои:10.1016 / j.matlet.2007.11.034.
23. Композит с эпоксидной матрицей, армированный 70% углеродными волокнами [SubsTech]. Substech.com (2006-11-06). Проверено 30 марта 2011.
24. «Физические свойства кремния (Si)». База данных Института Иоффе. Проверено 27 мая 2011.
25. E.J. Бойд; и другие. (Февраль 2012 г.). «Измерение анизотропии модуля Юнга в монокристаллическом кремнии». Журнал микроэлектромеханических систем. 21 (1): 243–249. Дои:10.1109 / JMEMS.2011.2174415. S2CID  39025763.
26. Chou, H.M .; Кейс, Э. Д. (ноябрь 1988 г.). «Определение некоторых механических свойств поликристаллического железо-иттриевого граната (ЖИГ) неразрушающими методами». Журнал материаловедения Letters. 7 (11): 1217–1220. Дои:10.1007 / BF00722341. S2CID  135957639.
27. "ЖИГ свойства" (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 20 июля 2003 г.. Получено 20 июля, 2003.
28. «Свойства кобальт-хромовых сплавов - Heraeus Kulzer cara». Архивировано из оригинал 1 июля 2015 г.. Получено 4 февраля, 2016.
29. Адлер-Абрамович, Л .; и другие. (17 декабря 2010 г.). «Самособирающиеся органические наноструктуры с металлической жесткостью». Angewandte Chemie International Edition. 49 (51): 9939–9942. Дои:10.1002 / anie.201002037. PMID  20878815.
30. Фоли, Джеймс С.; и другие. (2010). «Обзор современных исследований и производственной практики порошковой металлургии». В Marquis, Фернан Д.С. (ред.). Порошковые материалы: современные исследования и производственная практика III. Хобокен, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons, Inc. стр. 263. Дои:10.1002 / 9781118984239.ch32. ISBN  9781118984239.
31. «Молибден: физические свойства». веб-элементы. Получено 27 января, 2015.
32. «Молибден, Мо» (PDF). Glemco. Архивировано из оригинал (PDF) 23 сентября 2010 г.. Получено 27 января, 2014.
33. Д.К. Пэнди; Singh, D .; Yadawa, P.K .; и другие. (2009). «Ультразвуковое исследование осмия и рутения» (PDF). Платиновые металлы Rev. 53 (4): 91–97. Дои:10.1595 / 147106709X430927. Получено 4 ноября, 2014.
34. Л. Форро; и другие. «Электронные и механические свойства углеродных нанотрубок» (PDF).
35. Ю. Х. Ян; Li, W. Z .; и другие. (2011). «Радиальная упругость однослойной углеродной нанотрубки, измеренная методом атомно-силовой микроскопии». Письма по прикладной физике. 98 (4): 041901. Bibcode:2011ApPhL..98d1901Y. Дои:10.1063/1.3546170.
36. Фанг Лю; Пинбин Мин и Цзюй Ли. «Ab initio расчет идеальной прочности и фононной неустойчивости графена при растяжении» (PDF).
37. Копье и Дисмукс (1994). Синтетический алмаз - новые технологии в области сердечно-сосудистых заболеваний. Wiley, N.Y., стр. 315. ISBN  978-0-471-53589-8.
38. Овано, Нэнси (20 августа 2013 г.). «Карбин прочнее любого известного материала». Phys.org.
39. Лю, Минцзе; Артюхов, Василий I; Ли, Хункён; Сюй, Фангбо; Якобсон, Борис I (2013). «Карбин из первых принципов: цепочка атомов углерода, наностержень или наноропа?». САУ Нано. 7 (11): 10075–10082. arXiv:1308.2258. Дои:10.1021 / nn404177r. PMID  24093753. S2CID  23650957.

дальнейшее чтение

• ASTM E 111, «Стандартный метод испытаний модуля Юнга, модуля упругости и хорды»
• В Справочник ASM (различные тома) содержит модуль Юнга для различных материалов и информацию по расчетам. Онлайн-версия (требуется подписка)

внешняя ссылка

• Matweb: бесплатная база данных инженерных свойств для более чем 115 000 материалов
• Модуль Юнга для групп материалов и их стоимость.

Формулы преобразования
Однородные изотропные линейные упругие материалы обладают своими упругими свойствами, однозначно определяемыми любыми двумя модулями из них; таким образом, для любых двух любых других модулей упругости можно рассчитать по этим формулам.
	${\displaystyle K=\,}$	${\displaystyle E=\,}$	${\displaystyle \lambda =\,}$	${\displaystyle G=\,}$	${\displaystyle \nu =\,}$	${\displaystyle M=\,}$	Примечания
${\displaystyle (K,\,E)}$			${\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}$
${\displaystyle (K,\,\lambda )}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle 3K-2\lambda \,}$
${\displaystyle (K,\,G)}$		${\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}$	${\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$	${\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}$
${\displaystyle (K,\,\nu )}$		${\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}$
${\displaystyle (K,\,M)}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3(M-K)}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{3K+M}}}$
${\displaystyle (E,\,\lambda )}$	${\displaystyle {\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}}$			${\displaystyle {\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +R}{2}}}$	${\displaystyle R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}$
${\displaystyle (E,\,G)}$	${\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}$		${\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}$	${\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}$
${\displaystyle (E,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$
${\displaystyle (E,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {3M-E+S}{6}}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-E+S}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3M+E-S}{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-M+S}{4M}}}$		${\displaystyle S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}}$ Есть два верных решения. Знак плюс ведет к ${\displaystyle \nu \geq 0}$. Знак минус ведет к ${\displaystyle \nu \leq 0}$.
${\displaystyle (\lambda ,\,G)}$	${\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}$			${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}$	${\displaystyle \lambda +2G\,}$
${\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}$	Не может использоваться, когда ${\displaystyle \nu =0\Leftrightarrow \lambda =0}$
${\displaystyle (\lambda ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M+2\lambda }{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-\lambda }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}}$
${\displaystyle (G,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle 2G(1+\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}$			${\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}$
${\displaystyle (G,\,M)}$	${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}$	${\displaystyle M-2G\,}$		${\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}$
${\displaystyle (\nu ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M\nu }{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}}$