Метод Кастильяноса - Castiglianos method

Метод Кастильяно, названный в честь Карло Альберто Кастильяно, - метод определения перемещений линейно-упругий система, основанная на частные производные из энергия. Он известен своими двумя теоремами. Базовую концепцию можно легко понять, вспомнив, что изменение энергии равно вызывающей силе, умноженной на результирующее смещение. Следовательно, вызывающая сила равна изменению энергии, деленному на результирующее смещение. В качестве альтернативы результирующее смещение равно изменению энергии, деленному на вызывающую силу. Необходимы частные производные, чтобы связать вызывающие силы и результирующие смещения с изменением энергии.

• Первая теорема Кастильяно - для сил в упругой конструкции

Метод Кастильяно для вычисления сил - это приложение его первой теоремы, которая гласит:

Если энергию деформации упругой конструкции можно выразить как функцию обобщенного смещения q_я то частная производная энергии деформации по обобщенному перемещению дает обобщенную силу Q_я.

В форме уравнения

${\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial q_{i}}}}$

где U - энергия деформации.

Если кривая силы-смещения нелинейна, то вместо энергии деформации необходимо использовать дополнительную энергию деформации. ^[1]

• Вторая теорема Кастильяно - для перемещений в линейно-упругой конструкции.

Метод Кастильяно для вычисления перемещений - это приложение его второй теоремы, которая гласит:

Если энергию деформации линейно упругой конструкции можно выразить как функцию обобщенной силы Q_я то частная производная энергии деформации по обобщенной силе дает обобщенное перемещение q_я в направлении Q_я.

Как указано выше, это также можно выразить как:

${\displaystyle q_{i}={\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial Q_{i}}}.}$

Примеры

Для тонкой прямой консольной балки с нагрузкой P на конце смещение ${\displaystyle \delta }$ в конце можно найти по второй теореме Кастильяно:

${\displaystyle \delta ={\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial P}}}$

${\displaystyle \delta ={\frac {\partial }{\partial P}}\int _{0}^{L}{{\frac {M^{2}(x)}{2EI}}dx}={\frac {\partial }{\partial P}}\int _{0}^{L}{{\frac {(Px)^{2}}{2EI}}dx}}$

где E - модуль Юнга, I - второй момент площади поперечного сечения, а M (x) = P x - выражение для внутреннего момента в точке на расстоянии x от конца, поэтому:

${\displaystyle =\int _{0}^{L}{{\frac {Px^{2}}{EI}}dx}}$

${\displaystyle ={\frac {PL^{3}}{3EI}}.}$

Результатом является стандартная формула для консольных балок при концевых нагрузках.

внешняя ссылка

• Карло Альберто Кастильяно
• Метод Кастильяно: несколько примеров(на немецком)

Рекомендации

1. История сопротивления материалов, Стивен П. Тимошенко, 1993, Dover Publications, Нью-Йорк.