Теория пучка Тимошенко-Эренфеста - Timoshenko-Ehrenfest beam theory

Ориентация линии перпендикулярно средней плоскости толстой книги при изгибе.

В Теория пучка Тимошенко-Эренфеста был разработан Стивен Тимошенко и Поль Эренфест^[1][2][3] в начале 20 века.^[4][5] Модель учитывает деформация сдвига и ротационные изгиб эффекты, что делает его подходящим для описания поведения толстых балок, многослойные композитные балки, или балки, подверженные высокомучастота возбуждение, когда длина волны приближается к толщине балки. Полученное уравнение имеет 4-й порядок, но, в отличие от Теория пучка Эйлера – Бернулли, также присутствует частная производная второго порядка. Физически учет дополнительных механизмов деформации эффективно снижает жесткость балки, в результате чего увеличивается прогиб под статической нагрузкой и более низкий прогнозируемый. собственные частоты для заданного набора граничных условий. Последний эффект более заметен для более высоких частот, когда длина волны становится короче (в принципе, сравнимой с высотой балки или короче), и, таким образом, расстояние между противоположными поперечными силами уменьшается.

Эффект инерции вращения был введен Брессом.^[6] и Рэлей^[7].

Если модуль сдвига Материал балки приближается к бесконечности - и, таким образом, балка становится жесткой при сдвиге - и если пренебречь эффектами инерции вращения, теория балки Тимошенко сходится к теории обычной балки.

Квазистатический пучок Тимошенко

Деформация балки Тимошенко (синий) по сравнению с деформацией балки Эйлера-Бернулли (красный).

Деформация балки Тимошенко. Нормаль вращается на величину ${displaystyle heta _{x}=varphi (x)}$ что не равно ${displaystyle dw/dx}$.

В статический В теории балки Тимошенко без осевых эффектов предполагается, что смещения балки определяются выражением

${displaystyle u_{x}(x,y,z)=-z~varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x,y)=w(x)}$

куда ${displaystyle (x,y,z)}$ координаты точки в балке, ${displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$ - компоненты вектора смещения в трех координатных направлениях, ${displaystyle varphi }$ - угол поворота нормали к средней поверхности луча, а ${displaystyle w}$ это смещение средней поверхности в ${displaystyle z}$-направление.

Управляющие уравнения представляют собой следующую связанную систему обыкновенные дифференциальные уравнения:

${displaystyle {egin{aligned}&{frac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} x^{2}}}left(EI{frac {mathrm {d} varphi }{mathrm {d} x}}ight)=q(x)&{frac {mathrm {d} w}{mathrm {d} x}}=varphi -{frac {1}{kappa AG}}{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}left(EI{frac {mathrm {d} varphi }{mathrm {d} x}}ight).end{aligned}}}$

Теория балок Тимошенко для статического случая эквивалентна теории Теория Эйлера-Бернулли когда последним членом пренебрегают, приближение, которое действительно, когда

${displaystyle {frac {EI}{kappa L^{2}AG}}ll 1}$

куда

• ${displaystyle L}$ - длина балки.
• ${displaystyle A}$ - площадь поперечного сечения.
• ${displaystyle E}$ это модуль упругости.
• ${displaystyle G}$ это модуль сдвига.
• ${displaystyle I}$ это второй момент площади.
• ${displaystyle kappa }$, называемый коэффициентом сдвига Тимошенко, зависит от геометрии. Обычно, ${displaystyle kappa =5/6}$ для прямоугольного сечения.
• ${displaystyle q(x)}$ - распределенная нагрузка (сила на длину).

Объединение двух уравнений дает для однородной балки постоянного поперечного сечения

${displaystyle EI~{cfrac {mathrm {d} ^{4}w}{mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{cfrac {EI}{kappa AG}}~{cfrac {mathrm {d} ^{2}q}{mathrm {d} x^{2}}}}$

Изгибающий момент ${displaystyle M_{xx}}$ и сила сдвига ${displaystyle Q_{x}}$ в балке связаны с перемещением ${displaystyle w}$ и вращение ${displaystyle varphi }$. Эти соотношения для линейной упругой балки Тимошенко следующие:

${displaystyle M_{xx}=-EI~{frac {partial varphi }{partial x}}quad { ext{and}}quad Q_{x}=kappa ~AG~left(-varphi +{frac {partial w}{partial x}}ight),.}$

Вывод уравнений квазистатической балки Тимошенко.

Из кинематических предположений для балки Тимошенко смещения балки определяются выражением ${displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z)=w(x,t)}$ Тогда из соотношений деформация-перемещение для малых деформаций ненулевые деформации, основанные на предположениях Тимошенко, равны ${displaystyle varepsilon _{xx}={frac {partial u_{x}}{partial x}}=-z~{frac {partial varphi }{partial x}}~;~~varepsilon _{xz}={frac {1}{2}}left({frac {partial u_{x}}{partial z}}+{frac {partial u_{z}}{partial x}}ight)={frac {1}{2}}left(-varphi +{frac {partial w}{partial x}}ight)}$ Поскольку фактическая деформация сдвига в балке непостоянна по поперечному сечению, мы вводим поправочный коэффициент ${displaystyle kappa }$ такой, что ${displaystyle varepsilon _{xz}={frac {1}{2}}~kappa ~left(-varphi +{frac {partial w}{partial x}}ight)}$ Изменение внутренней энергии пучка равно ${displaystyle delta U=int _{L}int _{A}(sigma _{xx}delta varepsilon _{xx}+2sigma _{xz}delta varepsilon _{xz})~mathrm {d} A~mathrm {d} L=int _{L}int _{A}left[-z~sigma _{xx}{frac {partial (delta varphi )}{partial x}}+sigma _{xz}~kappa left(-delta varphi +{frac {partial (delta w)}{partial x}}ight)ight]~mathrm {d} A~mathrm {d} L}$ Определять ${displaystyle M_{xx}:=int _{A}z~sigma _{xx}~mathrm {d} A~;~~Q_{x}:=kappa ~int _{A}sigma _{xz}~mathrm {d} A}$ потом ${displaystyle delta U=int _{L}left[-M_{xx}{frac {partial (delta varphi )}{partial x}}+Q_{x}left(-delta varphi +{frac {partial (delta w)}{partial x}}ight)ight]~mathrm {d} L}$ Интегрирование по частям с учетом того, что из-за граничных условий отклонения равны нулю на концах балки, приводит к ${displaystyle delta U=int _{L}left[left({frac {partial M_{xx}}{partial x}}-Q_{x}ight)~delta varphi -{frac {partial Q_{x}}{partial x}}~delta wight]~mathrm {d} L}$ Изменение внешней работы на балке под действием поперечной нагрузки ${displaystyle q(x,t)}$ на единицу длины составляет ${displaystyle delta W=int _{L}q~delta w~mathrm {d} L}$ Тогда для квазистатического пучка принцип виртуальной работы дает ${displaystyle delta U=delta Wimplies int _{L}left[left({frac {partial M_{xx}}{partial x}}-Q_{x}ight)~delta varphi -left({frac {partial Q_{x}}{partial x}}+qight)~delta wight]~mathrm {d} L=0}$ Основными уравнениями для балки являются, согласно основной теореме вариационного исчисления, ${displaystyle {frac {partial M_{xx}}{partial x}}-Q_{x}=0~;~~{frac {partial Q_{x}}{partial x}}+q=0}$ Для линейной упругой балки ${displaystyle {egin{aligned}M_{xx}&=int _{A}z~sigma _{xx}~mathrm {d} A=int _{A}z~E~varepsilon _{xx}~mathrm {d} A=-int _{A}z^{2}~E~{frac {partial varphi }{partial x}}~mathrm {d} A=-EI~{frac {partial varphi }{partial x}}Q_{x}&=int _{A}sigma _{xz}~mathrm {d} A=int _{A}2G~varepsilon _{xz}~mathrm {d} A=int _{A}kappa ~G~left(-varphi +{frac {partial w}{partial x}}ight)~mathrm {d} A=kappa ~AG~left(-varphi +{frac {partial w}{partial x}}ight)end{aligned}}}$ Следовательно, основные уравнения для балки могут быть выражены как ${displaystyle {egin{aligned}{frac {partial }{partial x}}left(EI{frac {partial varphi }{partial x}}ight)+kappa AG~left({frac {partial w}{partial x}}-varphi ight)&=0{frac {partial }{partial x}}left[kappa AGleft({frac {partial w}{partial x}}-varphi ight)ight]+q&=0end{aligned}}}$ Объединение двух уравнений вместе дает ${displaystyle {egin{aligned}&{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}left(EI{frac {partial varphi }{partial x}}ight)=q&{frac {partial w}{partial x}}=varphi -{cfrac {1}{kappa AG}}~{frac {partial }{partial x}}left(EI{frac {partial varphi }{partial x}}ight)end{aligned}}}$

Граничные условия

Два уравнения, описывающие деформацию балки Тимошенко, необходимо дополнить граничные условия если они должны быть решены. Для решения задачи требуются четыре граничных условия. хорошо поставленный. Типичные граничные условия:

• Балки с простой опорой: Смещение ${displaystyle w}$ равен нулю в местах расположения двух опор. В изгибающий момент ${displaystyle M_{xx}}$ наносится на балку, также необходимо указать. Вращение ${displaystyle varphi }$ и поперечная поперечная сила ${displaystyle Q_{x}}$ не указаны.
• Зажимные балки: Смещение ${displaystyle w}$ и вращение ${displaystyle varphi }$ заданы равными нулю на зажатом конце. Если один конец свободен, сила сдвига ${displaystyle Q_{x}}$ и изгибающий момент ${displaystyle M_{xx}}$ должны быть указаны в этом конце.

Пример: консольная балка

Консольная балка Тимошенко под точечной нагрузкой на свободном конце

Для консольная балка, одна граница зажата, а другая свободна. Давайте использовать правая система координат где ${displaystyle x}$ направление положительное вправо, а ${displaystyle z}$ направление положительное вверх. Следуя обычному соглашению, мы предполагаем, что положительные силы действуют в положительных направлениях ${displaystyle x}$ и ${displaystyle z}$ оси и положительные моменты действуют по часовой стрелке. Мы также предполагаем, что знаковое соглашение результирующие напряжения (${displaystyle M_{xx}}$ и ${displaystyle Q_{x}}$) такова, что положительные изгибающие моменты сжимают материал в нижней части балки (нижняя ${displaystyle z}$ координаты) и положительные поперечные силы вращают балку против часовой стрелки.

Предположим, что зажатый конец находится на ${displaystyle x=L}$ и свободный конец в ${displaystyle x=0}$. Если точечная нагрузка ${displaystyle P}$ наносится на свободный конец в положительном ${displaystyle z}$ направление, а диаграмма свободного тела луча дает нам

${displaystyle -Px-M_{xx}=0implies M_{xx}=-Px}$

и

${displaystyle P+Q_{x}=0implies Q_{x}=-P,.}$

Следовательно, из выражений для изгибающего момента и поперечной силы имеем

${displaystyle Px=EI,{frac {dvarphi }{dx}}qquad { ext{and}}qquad -P=kappa AGleft(-varphi +{frac {dw}{dx}}ight),.}$

Интегрирование первого уравнения и применение граничного условия ${displaystyle varphi =0}$ в ${displaystyle x=L}$, приводит к

${displaystyle varphi (x)=-{frac {P}{2EI}},(L^{2}-x^{2}),.}$

Тогда второе уравнение можно записать как

${displaystyle {frac {dw}{dx}}=-{frac {P}{kappa AG}}-{frac {P}{2EI}},(L^{2}-x^{2}),.}$

Интегрирование и применение граничного условия ${displaystyle w=0}$ в ${displaystyle x=L}$ дает

${displaystyle w(x)={frac {P(L-x)}{kappa AG}}-{frac {Px}{2EI}},left(L^{2}-{frac {x^{2}}{3}}ight)+{frac {PL^{3}}{3EI}},.}$

Осевое напряжение определяется выражением

${displaystyle sigma _{xx}(x,z)=E,varepsilon _{xx}=-E,z,{frac {dvarphi }{dx}}=-{frac {Pxz}{I}}={frac {M_{xx}z}{I}},.}$

Динамическая балка Тимошенко

В теории балок Тимошенко без осевых эффектов предполагается, что смещения балки определяются выражением

${displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

куда ${displaystyle (x,y,z)}$ координаты точки в балке, ${displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$ - компоненты вектора смещения в трех координатных направлениях, ${displaystyle varphi }$ - угол поворота нормали к средней поверхности балки, а ${displaystyle w}$ это смещение средней поверхности в ${displaystyle z}$-направление.

Исходя из сделанного выше предположения, теория балок Тимошенко с учетом колебаний может быть описана связанными линейными уравнения в частных производных:^[8]

${displaystyle ho A{frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}-q(x,t)={frac {partial }{partial x}}left[kappa AGleft({frac {partial w}{partial x}}-varphi ight)ight]}$

${displaystyle ho I{frac {partial ^{2}varphi }{partial t^{2}}}={frac {partial }{partial x}}left(EI{frac {partial varphi }{partial x}}ight)+kappa AGleft({frac {partial w}{partial x}}-varphi ight)}$

где зависимые переменные ${displaystyle w(x,t)}$, поступательное смещение балки и ${displaystyle varphi (x,t)}$, угловое перемещение. Обратите внимание, что в отличие от Эйлер-Бернулли Согласно теории угловое отклонение - это еще одна переменная, которая не аппроксимируется крутизной отклонения. Также,

• ${displaystyle ho }$ это плотность материала балки (но не линейная плотность ).
• ${displaystyle A}$ - площадь поперечного сечения.
• ${displaystyle E}$ это модуль упругости.
• ${displaystyle G}$ это модуль сдвига.
• ${displaystyle I}$ это второй момент площади.
• ${displaystyle kappa }$, называемый коэффициентом сдвига Тимошенко, зависит от геометрии. Обычно, ${displaystyle kappa =5/6}$ для прямоугольного сечения.
• ${displaystyle q(x,t)}$ - распределенная нагрузка (сила на длину).
• ${displaystyle m:=ho A}$
• ${displaystyle J:=ho I}$

Эти параметры не обязательно являются постоянными.

Для линейно-упругой, изотропной, однородной балки постоянного поперечного сечения эти два уравнения можно объединить, чтобы получить^[9][10]

${displaystyle EI~{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{4}}}+m~{cfrac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}-left(J+{cfrac {EIm}{kappa AG}}ight){cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{2}~partial t^{2}}}+{cfrac {mJ}{kappa AG}}~{cfrac {partial ^{4}w}{partial t^{4}}}=q(x,t)+{cfrac {J}{kappa AG}}~{cfrac {partial ^{2}q}{partial t^{2}}}-{cfrac {EI}{kappa AG}}~{cfrac {partial ^{2}q}{partial x^{2}}}}$

Вывод комбинированного уравнения балки Тимошенко.

Уравнения изгиба однородной балки Тимошенко постоянного сечения: ${displaystyle {egin{aligned}(1)&&quad m~{frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}&=kappa AG~left({frac {partial ^{2}w}{partial x^{2}}}-{frac {partial varphi }{partial x}}ight)+q(x,t)~;~~m:=ho A(2)&&quad J~{frac {partial ^{2}varphi }{partial t^{2}}}&=EI~{frac {partial ^{2}varphi }{partial x^{2}}}+kappa AG~left({frac {partial w}{partial x}}-varphi ight)~;~~J:=ho Iend{aligned}}}$ Из уравнения (1) в предположении подходящей гладкости имеем ${displaystyle {egin{aligned}(3)&&quad {frac {partial varphi }{partial x}}&={cfrac {q}{kappa AG}}-{cfrac {m}{kappa AG}}~{frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}+{frac {partial ^{2}w}{partial x^{2}}}(4)&&quad {cfrac {partial ^{3}varphi }{partial x^{3}}}&={frac {1}{kappa AG}}{frac {partial ^{2}q}{partial x^{2}}}-{frac {m}{kappa AG}}~{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{2}partial t^{2}}}+{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{4}}}(5)&&quad {cfrac {partial ^{3}varphi }{partial xpartial t^{2}}}&={frac {1}{kappa AG}}{frac {partial ^{2}q}{partial t^{2}}}-{frac {m}{kappa AG}}~{cfrac {partial ^{4}w}{partial t^{4}}}+{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{2}partial t^{2}}}end{aligned}}}$ Дифференцирующее уравнение (2) дает ${displaystyle {egin{aligned}(6)&&quad J~{frac {partial ^{3}varphi }{partial xpartial t^{2}}}&=EI~{frac {partial ^{3}varphi }{partial x^{3}}}+kappa AG~left({frac {partial w^{2}}{partial x^{2}}}-{frac {partial varphi }{partial x}}ight)end{aligned}}}$ Подставляя уравнение (3), (4), (5) в уравнение (6) и переставляя, получаем ${displaystyle {egin{aligned}EI~{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{4}}}+m~{frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}-left(J+{cfrac {mEI}{kappa AG}}ight)~{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{2}partial t^{2}}}+{cfrac {mJ}{kappa AG}}~{cfrac {partial ^{4}w}{partial t^{4}}}=q+{cfrac {J}{kappa AG}}~{frac {partial ^{2}q}{partial t^{2}}}-{cfrac {EI}{kappa AG}}~{frac {partial ^{2}q}{partial x^{2}}}end{aligned}}}$

Уравнение Тимошенко предсказывает критическую частоту${displaystyle omega _{C}=2pi f_{c}={sqrt {frac {kappa GA}{ho I}}}.}$Для нормальных режимов можно решить уравнение Тимошенко. Уравнение четвертого порядка имеет четыре независимых решения, два колебательных и два непродолжительных для частот ниже ${displaystyle f_{c}}$. Для частот больше ${displaystyle f_{c}}$ все решения являются колебательными и, как следствие, появляется второй спектр.^[11]

Осевые эффекты

Если смещения балки определяются выражением

${displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

куда ${displaystyle u_{0}}$ это дополнительное смещение в ${displaystyle x}$-направлении, то определяющие уравнения балки Тимошенко принимают вид

${displaystyle {egin{aligned}m{frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}&={frac {partial }{partial x}}left[kappa AGleft({frac {partial w}{partial x}}-varphi ight)ight]+q(x,t)J{frac {partial ^{2}varphi }{partial t^{2}}}&=N(x,t)~{frac {partial w}{partial x}}+{frac {partial }{partial x}}left(EI{frac {partial varphi }{partial x}}ight)+kappa AGleft({frac {partial w}{partial x}}-varphi ight)end{aligned}}}$

куда ${displaystyle J=ho I}$ и ${displaystyle N(x,t)}$ - приложенная извне осевая сила. Любая внешняя осевая сила уравновешивается возникающим напряжением.

${displaystyle N_{xx}(x,t)=int _{-h}^{h}sigma _{xx}~dz}$

куда ${displaystyle sigma _{xx}}$ - осевое напряжение, а толщина балки принята равной ${displaystyle 2h}$.

Комбинированное уравнение балки с учетом эффектов осевой силы:

${displaystyle EI~{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{4}}}+N~{cfrac {partial ^{2}w}{partial x^{2}}}+m~{frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}-left(J+{cfrac {mEI}{kappa AG}}ight)~{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{2}partial t^{2}}}+{cfrac {mJ}{kappa AG}}~{cfrac {partial ^{4}w}{partial t^{4}}}=q+{cfrac {J}{kappa AG}}~{frac {partial ^{2}q}{partial t^{2}}}-{cfrac {EI}{kappa AG}}~{frac {partial ^{2}q}{partial x^{2}}}}$

Демпфирование

Если в дополнение к осевым силам принять демпфирующую силу, пропорциональную скорости, имеющую вид

${displaystyle eta (x)~{cfrac {partial w}{partial t}}}$

связанные управляющие уравнения для балки Тимошенко принимают вид

${displaystyle m{frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}+eta (x)~{cfrac {partial w}{partial t}}={frac {partial }{partial x}}left[kappa AGleft({frac {partial w}{partial x}}-varphi ight)ight]+q(x,t)}$

${displaystyle J{frac {partial ^{2}varphi }{partial t^{2}}}=N{frac {partial w}{partial x}}+{frac {partial }{partial x}}left(EI{frac {partial varphi }{partial x}}ight)+kappa AGleft({frac {partial w}{partial x}}-varphi ight)}$

и объединенное уравнение становится

${displaystyle {egin{aligned}EI~{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{4}}}&+N~{cfrac {partial ^{2}w}{partial x^{2}}}+m~{frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}-left(J+{cfrac {mEI}{kappa AG}}ight)~{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{2}partial t^{2}}}+{cfrac {mJ}{kappa AG}}~{cfrac {partial ^{4}w}{partial t^{4}}}+{cfrac {Jeta (x)}{kappa AG}}~{cfrac {partial ^{3}w}{partial t^{3}}}&-{cfrac {EI}{kappa AG}}~{cfrac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}left(eta (x){cfrac {partial w}{partial t}}ight)+eta (x){cfrac {partial w}{partial t}}=q+{cfrac {J}{kappa AG}}~{frac {partial ^{2}q}{partial t^{2}}}-{cfrac {EI}{kappa AG}}~{frac {partial ^{2}q}{partial x^{2}}}end{aligned}}}$

Предостережение к этой демпфирующей силы анзаца (напоминающей вязкость) заключается в том, что, в то время как вязкость приводит к частотно-зависимой и независимой от амплитуды скорости затухания колебаний балки, эмпирически измеренные скорости затухания нечувствительны к частоте, но зависят от амплитуды отклонения балки. .

Коэффициент сдвига

Определение коэффициента сдвига непросто (равно как и определенные значения не являются общепринятыми, т. Е. Существует более одного ответа); обычно он должен удовлетворять:

${displaystyle int _{A} au dA=kappa AGvarphi ,}$ .

Коэффициент сдвига зависит от Коэффициент Пуассона. Попытки дать точные выражения предпринимались многими учеными, в том числе Стивен Тимошенко,^[12] Раймонд Д. Миндлин,^[13] Г. Р. Каупер,^[14] Н. Г. Стивен,^[15] Дж. Р. Хатчинсон^[16] и т. д. (см. также вывод теории пучка Тимошенко как уточненной теории пучка, основанной на вариационно-асимптотическом методе в книге Хана К. Ле^[17] приводящие к разным коэффициентам сдвига в статическом и динамическом случаях). В инженерной практике выражения Стивен Тимошенко^[18] в большинстве случаев достаточно. В 1975 году Канеко^[19] опубликовал отличный обзор исследований коэффициента сдвига. Совсем недавно новые экспериментальные данные показывают, что коэффициент сдвига занижен. ^[20][21].

Согласно Кауперу (1966) для твердых прямоугольных сечений,

${displaystyle kappa ={cfrac {10(1+u )}{12+11u }}}$

а для сплошных круглых сечений

${displaystyle kappa ={cfrac {6(1+u )}{7+6u }}}$

куда ${displaystyle u }$ - коэффициент Пуассона.

Смотрите также

• Теория пластин
• Теория сэндвичей

Рекомендации

1. Исаак Елисаков, 2020. Кто разработал так называемую теорию пучка Тимошенко? Математика и механика твердого тела, 25 (1), 97–116. https://doi.org/10.1177/1081286519856931
2. Елишаков И., 2020, Справочник по теориям пучка Тимошенко-Эренфеста и плиты Уфлянд-Миндлина, World Scientific, Сингапур, ISBN  978-981-3236-51-6
3. Григолюк Е.И., 2002, С.П. Тимошенко: Жизнь и судьба, М .: Издательство Авиационного института, 2002.
4. Тимошенко, С. П., 1921, О поправочном коэффициенте на сдвиг дифференциального уравнения поперечных колебаний стержней однородного поперечного сечения, Философский журнал, стр. 744.
5. Тимошенко, С. П., 1922, О поперечных колебаниях стержней однородного сечения., Философский журнал, стр. 125.
6. Bresse J.A.C., 1859, Cours de mécanique appliquée - Résistance des matériaux et stabilité des construction, Париж, Готье-Виллар (на французском языке)
7. Рэлей Лорд (Дж. В. С. Стратт), 1877–1878, Теория звука, Лондон: Macmillan (см. Также Довер, Нью-Йорк, 1945)
8. Балочные уравнения Тимошенко.
9. Томсон, В. Т., 1981, Теория вибрации с приложениями, второе издание. Прентис-Холл, Нью-Джерси.
10. Розингер, Х. Э. и Ричи, И. Г., 1977, О поправке Тимошенко на сдвиг в колеблющихся изотропных балках, J. Phys. D: Прил. Phys., Т. 10. С. 1461-1466.
11. «Экспериментальное исследование предсказаний теории пучка Тимошенко», А. Диас-де-Анда, Дж. Флорес, Л. Гутьеррес, Р.А. Мендес-Санчес, Г. Монсиваис и А. Моралес, Journal of Sound and Vibration, Volume 331, Issue 26, 17 декабря 2012 г., стр. 5732–5744.
12. Тимошенко, Стивен П., 1932 г., Schwingungsprobleme der Technik, Юлиус Спрингер.
13. Миндлин, Р. Д., Дересевич, Х., 1953, Коэффициент сдвига Тимошенко для изгибных колебаний балок, Технический отчет № 10, проект ONR NR064-388, Департамент гражданского строительства, Колумбийский университет, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.
14. Каупер, Г. Р., 1966, "Коэффициент сдвига в теории балки Тимошенко", J. Appl. Mech., Vol. 33, №2, стр. 335–340.
15. Стивен, Н. Г., 1980. "Коэффициент сдвига Тимошенко от балки, подвергшейся гравитационной нагрузке", Журнал прикладной механики, Vol. 47, № 1. С. 121–127.
16. Хатчинсон, Дж. Р., 1981, "Поперечные колебания балок, точные и приближенные решения", Журнал прикладной механики, Vol. 48, No. 12, pp. 923–928.
17. Ле, Кхань С., 1999 г., Колебания снарядов и стержней, Springer.
18. Стивен Тимошенко, Джеймс М. Гир. Механика материалов. Van Nostrand Reinhold Co., 1972. стр. 207.
19. Канеко, Т., 1975, "О поправке Тимошенко на сдвиг в вибрирующих балках", J. Phys. D: Прил. Phys., Vol. 8. С. 1927–1936.
20. «Экспериментальная проверка точности теории пучка Тимошенко», Р. А. Мендес-Сачес, А. Моралес, Дж. Флорес, Journal of Sound and Vibration 279 (2005) 508–512.
21. «О точности теории пучка Тимошенко выше критической частоты: лучший коэффициент сдвига», Дж. А. Франко-Виллафанье и Р. А. Мендес-Санчес, Журнал механики, январь 2016 г., стр. 1–4. DOI: 10.1017 / jmech.2015.104.