Композитная сэндвич-панель, используемая для испытаний в НАСА
Теория сэндвичей[1][2] описывает поведение луч, пластина, или же ракушка который состоит из трех слоев - двух лицевых листов и одного сердечника. Наиболее часто используемая теория сэндвичей: линейный и является расширением первого порядка теория пучка. Теория линейного сэндвича важна для проектирования и анализа сэндвич-панели, которые используются в строительстве, автомобилестроении, авиастроении и холодильной технике.
Некоторые преимущества сэндвич-конструкции:
- Поперечные сечения сэндвича составной. Обычно они состоят из низкого или среднего жесткость сердечник, который соединен с двумя жесткими внешними лицевыми панелями. Композитный материал имеет значительно более высокое отношение жесткости к сдвигу к весу, чем эквивалентная балка, изготовленная только из материала сердцевины или материала лицевой панели. Композит также имеет высокое отношение прочности на разрыв к весу.
- Высокая жесткость лицевой панели приводит к высокой жесткость на изгиб к весу композита.
Поведение луч с поперечным сечением сэндвича под нагрузкой отличается от балки с постоянным эластичный поперечное сечение. Если радиус кривизны при изгибе большая по сравнению с толщиной многослойной балки, а деформации в материалах компонентов малы, деформация многослойной композитной балки можно разделить на две части
- деформации из-за изгибающих моментов или изгибной деформации, и
- деформации из-за поперечных сил, также называемые деформацией сдвига.
Балка сэндвич, пластина, и ракушка теории обычно предполагают, что эталонным напряженным состоянием является состояние нулевого напряжения. Однако во время отверждения разница температур между лицевыми панелями сохраняется из-за термического разделения материала сердцевины. Эти перепады температур в сочетании с различным линейным расширением лицевых листов могут привести к изгибу многослойной балки в направлении более теплого лицевого листа. Если изгиб ограничен в процессе производства, остаточные напряжения могут развиваться в компонентах сэндвич-композита. В суперпозиция эталонного напряженного состояния на решениях, предусмотренных теорией сэндвича, возможно, когда проблема линейный. Однако, когда ожидаются большие упругие деформации и повороты, начальное напряженное состояние должно быть включено непосредственно в теорию сэндвича.
Теория инженерных сэндвич-балок
Изгиб многослойной балки без дополнительной деформации из-за сдвига сердечника.
В инженерной теории многослойных балок[2] предполагается, что осевая деформация изменяется линейно по поперечному сечению балки, как в Теория Эйлера-Бернулли, т.е.
![varepsilon_ {xx} (x, z) = -z ~ cfrac {mathrm {d} ^ 2 w} {mathrm {d} x ^ 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc18222df8dc94e28c6f5cc85d0638f698ac9ca6)
Следовательно, осевое напряжение в многослойной балке определяется выражением
![sigma_ {xx} (x, z) = -z ~ E (z) ~ cfrac {mathrm {d} ^ 2 w} {mathrm {d} x ^ 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc27f7fe0db5fc33b2b675fefcda49e96a92d2d0)
куда
это Модуль для младших которая является функцией расположения по толщине балки. В изгибающий момент в пучке тогда дается выражением
![M_x (x) = intint z ~ sigma_ {xx} ~ mathrm {d} z, mathrm {d} y = -left (intint z ^ 2 E (z) ~ mathrm {d} z, mathrm {d} yight) ~ cfrac {mathrm {d} ^ 2 w} {mathrm {d} x ^ 2} =: -D ~ cfrac {mathrm {d} ^ 2 w} {mathrm {d} x ^ 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8a54110f654526f73c4f731b54f69678aecaff)
Количество
называется жесткость на изгиб сэндвич-балки. В сдвигающая сила
определяется как
![Q_x = frac {mathrm {d} M_x} {mathrm {d} x} ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19ea5ccb078d40738e5752cf051b1cdc57c7773)
Используя эти соотношения, можно показать, что напряжения в многослойной балке с сердечником толщиной
и модуль
и два лицевых листа толщиной каждый
и модуль
, даются
![egin {align}
sigma_ {xx} ^ {mathrm {f}} & = cfrac {z E ^ {mathrm {f}} M_x} {D} ~; ~~ &
sigma_ {xx} ^ {mathrm {c}} & = cfrac {z E ^ {mathrm {c}} M_x} {D}
au_ {xz} ^ {mathrm {f}} & = cfrac {Q_x E ^ {mathrm {f}}} {2D} left [(h + f) ^ 2-z ^ 2ight] ~; ~~ &
au_ {xz} ^ {mathrm {c}} & = cfrac {Q_x} {2D} left [E ^ {mathrm {c}} left (h ^ 2-z ^ 2ight) + E ^ {mathrm {f}} f (f + 2h) ight]
конец {выровнять}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ca21d0246edfcf62387ddbee52a34e1f34b3bb)
Расчет напряжений инженерной многослойной балки |
---|
С![cfrac {d ^ 2 w} {d x ^ 2} = -cfrac {M_x (x)} {D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d3b3a9ec6200de274d6dcab27f450347b7518c)
мы можем записать осевое напряжение как ![sigma_ {xx} (x, z) = cfrac {z ~ E (z) ~ M_x (x)} {D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e455618fd86b83ad61e9d51e6f073aabeeb32a3c)
Уравнение равновесия двумерного твердого тела имеет вид ![frac {partial sigma_ {xx}} {partial x} + frac {partial au_ {xz}} {partial z} = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930a7ef8309322f0e18f53d2ee22e85b44b71758)
куда это напряжение сдвига. Следовательно, ![au_ {xz} (x, z) = int frac {partial sigma_ {xx}} {partial x} ~ mathrm {d} z + C (x)
= int cfrac {z ~ E (z)} {D} ~ frac {mathrm {d} M_ {x}} {mathrm {d} x} ~ mathrm {d} z + C (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3510b6f7026d5ec30a9bf357513d66778bb5e3d6)
куда постоянная интегрирования. Следовательно, ![au_ {xz} (x, z) = cfrac {Q_x} {D} int z ~ E (z) ~ mathrm {d} z + C (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa98813605613be02e6bd656e96a979544fceef3)
Предположим, что на верхнюю грань многослойной балки не действует сила сдвига. Напряжение сдвига в верхнем лицевом листе определяется выражением ![au ^ {mathrm {лицо}} _ {xz} (x, z) = cfrac {Q_xE ^ f} {D} int_z ^ {h + f} z ~ mathrm {d} z + C (x)
= cfrac {Q_x E ^ f} {2D} влево [(h + f) ^ 2-z ^ 2ight] + C (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6765cabe23a07e4c51f1ddd38666f5846fd94dca)
В , подразумевает, что . Затем напряжение сдвига в верхней части сердечника, , дан кем-то ![au_ {xz} (x, h) = cfrac {Q_x E ^ f f (f + 2h)} {2D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c8bfe75ab28a746c8b7e5a14d3109440d83445)
Точно так же напряжение сдвига в сердечнике можно рассчитать как ![au ^ {mathrm {core}} _ {xz} (x, z) = cfrac {Q_xE ^ c} {D} int_z ^ {h} z ~ mathrm {d} z + C (x)
= cfrac {Q_x E ^ c} {2D} влево (h ^ 2-z ^ 2ight) + C (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20bf308df4980f35e5b1b121c377b344d060499f)
Константа интегрирования определяется по непрерывности напряжения сдвига на границе сердечника и лицевой панели. Следовательно, ![C (x) = cfrac {Q_x E ^ f f (f + 2h)} {2D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637e74ced77e19949617fc8963de379bc5a0339d)
и ![au ^ {mathrm {core}} _ {xz} (x, z)
= cfrac {Q_x} {2D} left [E ^ cleft (h ^ 2-z ^ 2ight) + E ^ f f (f + 2h) ight]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d78a5d43b56ef620837ec0408524f4991c7c99)
|
Для многослойной балки с одинаковыми лицевыми панелями и единичной шириной значение
является
![egin {align}
D & = E ^ fint_wint _ {- hf} ^ {- h} z ^ 2 ~ mathrm {d} z, mathrm {d} y + E ^ cint_wint _ {- h} ^ {h} z ^ 2 ~ mathrm {d} z, mathrm {d} y +
E ^ fint_wint_ {h} ^ {h + f} z ^ 2 ~ mathrm {d} z, mathrm {d} y
& = frac {2} {3} E ^ ff ^ 3 + frac {2} {3} E ^ ch ^ 3 + 2E ^ ffh (f + h) ~.
конец {выровнять}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c5ead21a28791d1915abf867c21e18dc1315015)
Если
, тогда
можно аппроксимировать как
![D приблизительный гидроразрыв {2} {3} E ^ ff ^ 3 + 2E ^ ffh (f + h) = 2fE ^ fleft (гидроразрыв {1} {3} f ^ 2 + h (f + h) полет)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eec2c5a8766f682f849d8da4cd1f21f9fcf9691)
а напряжения в многослойной балке могут быть аппроксимированы как
![egin {align}
sigma_ {xx} ^ {mathrm {f}} & приблизительно cfrac {z M_x} {frac {2} {3} f ^ 3 + 2fh (f + h)} ~; ~~ &
sigma_ {xx} ^ {mathrm {c}} & приблизительно 0
au_ {xz} ^ {mathrm {f}} и приблизительный cfrac {Q_x} {frac {4} {3} f ^ 3 + 4fh (f + h)} left [(h + f) ^ 2-z ^ 2ight] ~; ~~ &
au_ {xz} ^ {mathrm {c}} и приблизительный cfrac {Q_x (f + 2h)} {frac {2} {3} f ^ 2 + h (f + h)}
конец {выровнять}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f002ae6749f6b85e7de2d7f16f44363d6a67d0)
Если, кроме того,
, тогда
![D приблизительно 2E ^ ffh (f + h)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66dc530228237e8e137b337e20050023c14184f2)
а приблизительные напряжения в балке равны
![egin {align}
sigma_ {xx} ^ {mathrm {f}} & приблизительно cfrac {zM_x} {2fh (f + h)} ~; ~~ &
sigma_ {xx} ^ {mathrm {c}} & приблизительно 0
au_ {xz} ^ {mathrm {f}} & приблизительно cfrac {Q_x} {4fh (f + h)} left [(h + f) ^ 2-z ^ 2ight] ~; ~~ &
au_ {xz} ^ {mathrm {c}} & приблизительный cfrac {Q_x (f + 2h)} {4h (f + h)} приблизительно cfrac {Q_x} {2h}
конец {выровнять}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8748763805ef458737152f7692d395f7b162ec41)
Если мы предположим, что облицовочные листы достаточно тонкие, чтобы напряжения можно было считать постоянными по толщине, мы имеем приближение
![egin {align}
sigma_ {xx} ^ {mathrm {f}} и приблизительно pm cfrac {M_x} {2fh} ~; ~~ &
sigma_ {xx} ^ {mathrm {c}} & приблизительно 0
au_ {xz} ^ {mathrm {f}} & приблизительно 0 ~; ~~ &
au_ {xz} ^ {mathrm {c}} и приблизительный анализ {Q_x} {2h}
конец {выровнять}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eacec3e0076434c4ea64d85df308de9fc6b95c35)
Следовательно, проблему можно разделить на две части: одна связана только со сдвигом сердечника, а другая - только с напряжениями изгиба в лицевых листах.
Теория линейного сэндвича
Гибка многослойной балки тонкими пластинами
Изгиб многослойной балки после включения в деформацию сдвига сердечника.
Основными допущениями линейных сэндвич-теорий балок с тонкими поверхностями являются:
- поперечная нормальная жесткость сердечника бесконечна, т.е. толщина сердечника в z-направлении не изменяется при изгибе
- нормальная жесткость сердечника в плоскости мала по сравнению с жесткостью лицевых листов, т. е. сердечник не удлиняется и не сжимается в направлении x
- лица ведут себя в соответствии с Эйлер-Бернулли допущения, то есть в лицевых листах отсутствует сдвиг по оси xz, а толщина лицевых листов в направлении z не изменяется
Однако сдвиговыми напряжениями xz в активной зоне пренебречь нельзя.
Учредительные допущения
Материальные соотношения для двумерных ортотропных линейная эластичность материалы