Теория сэндвичей - Sandwich theory

Композитная сэндвич-панель, используемая для испытаний в НАСА

Теория сэндвичей^[1][2] описывает поведение луч, пластина, или же ракушка который состоит из трех слоев - двух лицевых листов и одного сердечника. Наиболее часто используемая теория сэндвичей: линейный и является расширением первого порядка теория пучка. Теория линейного сэндвича важна для проектирования и анализа сэндвич-панели, которые используются в строительстве, автомобилестроении, авиастроении и холодильной технике.

Некоторые преимущества сэндвич-конструкции:

• Поперечные сечения сэндвича составной. Обычно они состоят из низкого или среднего жесткость сердечник, который соединен с двумя жесткими внешними лицевыми панелями. Композитный материал имеет значительно более высокое отношение жесткости к сдвигу к весу, чем эквивалентная балка, изготовленная только из материала сердцевины или материала лицевой панели. Композит также имеет высокое отношение прочности на разрыв к весу.
• Высокая жесткость лицевой панели приводит к высокой жесткость на изгиб к весу композита.

Поведение луч с поперечным сечением сэндвича под нагрузкой отличается от балки с постоянным эластичный поперечное сечение. Если радиус кривизны при изгибе большая по сравнению с толщиной многослойной балки, а деформации в материалах компонентов малы, деформация многослойной композитной балки можно разделить на две части

• деформации из-за изгибающих моментов или изгибной деформации, и
• деформации из-за поперечных сил, также называемые деформацией сдвига.

Балка сэндвич, пластина, и ракушка теории обычно предполагают, что эталонным напряженным состоянием является состояние нулевого напряжения. Однако во время отверждения разница температур между лицевыми панелями сохраняется из-за термического разделения материала сердцевины. Эти перепады температур в сочетании с различным линейным расширением лицевых листов могут привести к изгибу многослойной балки в направлении более теплого лицевого листа. Если изгиб ограничен в процессе производства, остаточные напряжения могут развиваться в компонентах сэндвич-композита. В суперпозиция эталонного напряженного состояния на решениях, предусмотренных теорией сэндвича, возможно, когда проблема линейный. Однако, когда ожидаются большие упругие деформации и повороты, начальное напряженное состояние должно быть включено непосредственно в теорию сэндвича.

Теория инженерных сэндвич-балок

Изгиб многослойной балки без дополнительной деформации из-за сдвига сердечника.

В инженерной теории многослойных балок^[2] предполагается, что осевая деформация изменяется линейно по поперечному сечению балки, как в Теория Эйлера-Бернулли, т.е.

${displaystyle varepsilon _{xx}(x,z)=-z~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}}$

Следовательно, осевое напряжение в многослойной балке определяется выражением

${displaystyle sigma _{xx}(x,z)=-z~E(z)~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}}$

куда ${displaystyle E(z)}$ это Модуль для младших которая является функцией расположения по толщине балки. В изгибающий момент в пучке тогда дается выражением

${displaystyle M_{x}(x)=int int z~sigma _{xx}~mathrm {d} z,mathrm {d} y=-left(int int z^{2}E(z)~mathrm {d} z,mathrm {d} yight)~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}=:-D~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}}$

Количество ${displaystyle D}$ называется жесткость на изгиб сэндвич-балки. В сдвигающая сила ${displaystyle Q_{x}}$ определяется как

${displaystyle Q_{x}={frac {mathrm {d} M_{x}}{mathrm {d} x}}~.}$

Используя эти соотношения, можно показать, что напряжения в многослойной балке с сердечником толщиной ${displaystyle 2h}$ и модуль ${displaystyle E^{c}}$ и два лицевых листа толщиной каждый ${displaystyle f}$ и модуль ${displaystyle E^{f}}$, даются

${displaystyle {egin{aligned}sigma _{xx}^{mathrm {f} }&={cfrac {zE^{mathrm {f} }M_{x}}{D}}~;~~&sigma _{xx}^{mathrm {c} }&={cfrac {zE^{mathrm {c} }M_{x}}{D}} au _{xz}^{mathrm {f} }&={cfrac {Q_{x}E^{mathrm {f} }}{2D}}left[(h+f)^{2}-z^{2}ight]~;~~& au _{xz}^{mathrm {c} }&={cfrac {Q_{x}}{2D}}left[E^{mathrm {c} }left(h^{2}-z^{2}ight)+E^{mathrm {f} }f(f+2h)ight]end{aligned}}}$

Расчет напряжений инженерной многослойной балки

С ${displaystyle {cfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}=-{cfrac {M_{x}(x)}{D}}}$ мы можем записать осевое напряжение как ${displaystyle sigma _{xx}(x,z)={cfrac {z~E(z)~M_{x}(x)}{D}}}$ Уравнение равновесия двумерного твердого тела имеет вид ${displaystyle {frac {partial sigma _{xx}}{partial x}}+{frac {partial au _{xz}}{partial z}}=0}$ куда ${displaystyle au _{xz}}$ это напряжение сдвига. Следовательно, ${displaystyle au _{xz}(x,z)=int {frac {partial sigma _{xx}}{partial x}}~mathrm {d} z+C(x)=int {cfrac {z~E(z)}{D}}~{frac {mathrm {d} M_{x}}{mathrm {d} x}}~mathrm {d} z+C(x)}$ куда ${displaystyle C(x)}$ постоянная интегрирования. Следовательно, ${displaystyle au _{xz}(x,z)={cfrac {Q_{x}}{D}}int z~E(z)~mathrm {d} z+C(x)}$ Предположим, что на верхнюю грань многослойной балки не действует сила сдвига. Напряжение сдвига в верхнем лицевом листе определяется выражением ${displaystyle au _{xz}^{mathrm {face} }(x,z)={cfrac {Q_{x}E^{f}}{D}}int _{z}^{h+f}z~mathrm {d} z+C(x)={cfrac {Q_{x}E^{f}}{2D}}left[(h+f)^{2}-z^{2}ight]+C(x)}$ В ${displaystyle z=h+f}$, ${displaystyle au _{xz}(x,h+f)=0}$ подразумевает, что ${displaystyle C(x)=0}$. Затем напряжение сдвига в верхней части сердечника, ${displaystyle z=h}$, дан кем-то ${displaystyle au _{xz}(x,h)={cfrac {Q_{x}E^{f}f(f+2h)}{2D}}}$ Точно так же напряжение сдвига в сердечнике можно рассчитать как ${displaystyle au _{xz}^{mathrm {core} }(x,z)={cfrac {Q_{x}E^{c}}{D}}int _{z}^{h}z~mathrm {d} z+C(x)={cfrac {Q_{x}E^{c}}{2D}}left(h^{2}-z^{2}ight)+C(x)}$ Константа интегрирования ${displaystyle C(x)}$ определяется по непрерывности напряжения сдвига на границе сердечника и лицевой панели. Следовательно, ${displaystyle C(x)={cfrac {Q_{x}E^{f}f(f+2h)}{2D}}}$ и ${displaystyle au _{xz}^{mathrm {core} }(x,z)={cfrac {Q_{x}}{2D}}left[E^{c}left(h^{2}-z^{2}ight)+E^{f}f(f+2h)ight]}$

Для многослойной балки с одинаковыми лицевыми панелями и единичной шириной значение ${displaystyle D}$ является

${displaystyle {egin{aligned}D&=E^{f}int _{w}int _{-h-f}^{-h}z^{2}~mathrm {d} z,mathrm {d} y+E^{c}int _{w}int _{-h}^{h}z^{2}~mathrm {d} z,mathrm {d} y+E^{f}int _{w}int _{h}^{h+f}z^{2}~mathrm {d} z,mathrm {d} y&={frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+{frac {2}{3}}E^{c}h^{3}+2E^{f}fh(f+h)~.end{aligned}}}$

Если ${displaystyle E^{f}gg E^{c}}$, тогда ${displaystyle D}$ можно аппроксимировать как

${displaystyle Dapprox {frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+2E^{f}fh(f+h)=2fE^{f}left({frac {1}{3}}f^{2}+h(f+h)ight)}$

а напряжения в многослойной балке могут быть аппроксимированы как

${displaystyle {egin{aligned}sigma _{xx}^{mathrm {f} }&approx {cfrac {zM_{x}}{{frac {2}{3}}f^{3}+2fh(f+h)}}~;~~&sigma _{xx}^{mathrm {c} }&approx 0 au _{xz}^{mathrm {f} }&approx {cfrac {Q_{x}}{{frac {4}{3}}f^{3}+4fh(f+h)}}left[(h+f)^{2}-z^{2}ight]~;~~& au _{xz}^{mathrm {c} }&approx {cfrac {Q_{x}(f+2h)}{{frac {2}{3}}f^{2}+h(f+h)}}end{aligned}}}$

Если, кроме того, ${displaystyle fll 2h}$, тогда

${displaystyle Dapprox 2E^{f}fh(f+h)}$

а приблизительные напряжения в балке равны

${displaystyle {egin{aligned}sigma _{xx}^{mathrm {f} }&approx {cfrac {zM_{x}}{2fh(f+h)}}~;~~&sigma _{xx}^{mathrm {c} }&approx 0 au _{xz}^{mathrm {f} }&approx {cfrac {Q_{x}}{4fh(f+h)}}left[(h+f)^{2}-z^{2}ight]~;~~& au _{xz}^{mathrm {c} }&approx {cfrac {Q_{x}(f+2h)}{4h(f+h)}}approx {cfrac {Q_{x}}{2h}}end{aligned}}}$

Если мы предположим, что облицовочные листы достаточно тонкие, чтобы напряжения можно было считать постоянными по толщине, мы имеем приближение

${displaystyle {egin{aligned}sigma _{xx}^{mathrm {f} }&approx pm {cfrac {M_{x}}{2fh}}~;~~&sigma _{xx}^{mathrm {c} }&approx 0 au _{xz}^{mathrm {f} }&approx 0~;~~& au _{xz}^{mathrm {c} }&approx {cfrac {Q_{x}}{2h}}end{aligned}}}$

Следовательно, проблему можно разделить на две части: одна связана только со сдвигом сердечника, а другая - только с напряжениями изгиба в лицевых листах.

Теория линейного сэндвича

Гибка многослойной балки тонкими пластинами

Изгиб многослойной балки после включения в деформацию сдвига сердечника.

Основными допущениями линейных сэндвич-теорий балок с тонкими поверхностями являются:

• поперечная нормальная жесткость сердечника бесконечна, т.е. толщина сердечника в z-направлении не изменяется при изгибе
• нормальная жесткость сердечника в плоскости мала по сравнению с жесткостью лицевых листов, т. е. сердечник не удлиняется и не сжимается в направлении x
• лица ведут себя в соответствии с Эйлер-Бернулли допущения, то есть в лицевых листах отсутствует сдвиг по оси xz, а толщина лицевых листов в направлении z не изменяется

Однако сдвиговыми напряжениями xz в активной зоне пренебречь нельзя.

Учредительные допущения

Материальные соотношения для двумерных ортотропных линейная эластичность материалы

${displaystyle {egin{bmatrix}sigma _{xx}sigma _{zz}sigma _{zx}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}C_{11}&C_{13}&0C_{13}&C_{33}&0�&0&C_{55}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}varepsilon _{xx}varepsilon _{zz}varepsilon _{zx}end{bmatrix}}}$

Предположения теории сэндвичей приводят к упрощенным соотношениям

${displaystyle sigma _{xx}^{mathrm {face} }=C_{11}^{mathrm {face} }~varepsilon _{xx}^{mathrm {face} }~;~~sigma _{zx}^{mathrm {core} }=C_{55}^{mathrm {core} }~varepsilon _{zx}^{mathrm {core} }~;~~sigma _{zz}^{mathrm {face} }=sigma _{xz}^{mathrm {face} }=0~;~~sigma _{zz}^{mathrm {core} }=sigma _{xx}^{mathrm {core} }=0}$

и

${displaystyle varepsilon _{zz}^{mathrm {face} }=varepsilon _{xz}^{mathrm {face} }=0~;~~varepsilon _{zz}^{mathrm {core} }=varepsilon _{xx}^{mathrm {core} }=0}$

Уравнения равновесия в двух измерениях:

${displaystyle {cfrac {partial sigma _{xx}}{partial x}}+{cfrac {partial sigma _{zx}}{partial z}}=0~;~~{cfrac {partial sigma _{zx}}{partial x}}+{cfrac {partial sigma _{zz}}{partial z}}=0}$

Предположения для многослойной балки и уравнения равновесия подразумевают, что

${displaystyle sigma _{xx}^{mathrm {face} }equiv sigma _{xx}^{mathrm {face} }(z)~;~~sigma _{zx}^{mathrm {core} }=mathrm {constant} }$

Следовательно, для однородных лицевых панелей и сердечника деформации также имеют вид

${displaystyle varepsilon _{xx}^{mathrm {face} }equiv varepsilon _{xx}^{mathrm {face} }(z)~;~~varepsilon _{zx}^{mathrm {core} }=mathrm {constant} }$

Кинематика

Гибка многослойной балки. Полный прогиб - это сумма изгибаемой части w_б и срезная часть w_s

Деформации сдвига при изгибе многослойной балки.

Пусть на многослойную балку действует изгибающий момент ${displaystyle M}$ и усилие сдвига ${displaystyle Q}$. Пусть полный прогиб балки от этих нагрузок равен ${displaystyle w}$. На соседнем рисунке показано, что при малых перемещениях полное отклонение средней поверхности балки может быть выражено как сумма двух отклонений, т.е. чистое отклонение при изгибе. ${displaystyle w_{b}}$ и чистый сдвиг отклонения ${displaystyle w_{s}}$, т.е.

${displaystyle w(x)=w_{b}(x)+w_{s}(x)}$

Из геометрии деформации видно, что инженерная деформация сдвига (${displaystyle gamma }$) в сердечнике связана с эффективной деформацией сдвига в композите соотношением

${displaystyle gamma _{zx}^{mathrm {core} }={ frac {2h+f}{2h}}~gamma _{zx}^{mathrm {beam} }}$

Обратите внимание, что деформация сдвига в сердечнике больше, чем эффективная деформация сдвига в композите, и что небольшие деформации (${displaystyle an gamma =gamma }$) предполагаются при выводе указанного выше соотношения. Эффективная деформация сдвига в балке связана со сдвигом смещения соотношением

${displaystyle gamma _{zx}^{mathrm {beam} }={cfrac {mathrm {d} w_{s}}{mathrm {d} x}}}$

Предполагается, что облицовочные листы деформируются в соответствии с предположениями теории балок Эйлера-Бернулли. Предполагается, что полный прогиб лицевых панелей представляет собой суперпозицию прогибов из-за изгиба и из-за сдвига сердечника. В ${displaystyle x}$-направленные смещения лицевых панелей из-за изгиба задаются выражением

${displaystyle u_{b}^{mathrm {face} }(x,z)=-z~{cfrac {mathrm {d} w_{b}}{mathrm {d} x}}}$

Смещение верхнего лицевого листа из-за сдвига в сердечнике составляет

${displaystyle u_{s}^{mathrm {topface} }(x,z)=-left(z-h-{ frac {f}{2}}ight)~{cfrac {mathrm {d} w_{s}}{mathrm {d} x}}}$

и нижний лицевой лист

${displaystyle u_{s}^{mathrm {botface} }(x,z)=-left(z+h+{ frac {f}{2}}ight)~{cfrac {mathrm {d} w_{s}}{mathrm {d} x}}}$

Нормальные деформации на двух лицевых листах представлены как

${displaystyle varepsilon _{xx}={cfrac {partial u_{b}}{partial x}}+{cfrac {partial u_{s}}{partial x}}}$

Следовательно,

${displaystyle varepsilon _{xx}^{mathrm {topface} }=-z~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{b}}{mathrm {d} x^{2}}}-left(z-h-{ frac {f}{2}}ight)~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{s}}{mathrm {d} x^{2}}}~;~~varepsilon _{xx}^{mathrm {botface} }=-z~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{b}}{mathrm {d} x^{2}}}-left(z+h+{ frac {f}{2}}ight)~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{s}}{mathrm {d} x^{2}}}}$

Отношения напряжение-смещение

Напряжение сдвига в сердечнике определяется выражением

${displaystyle sigma _{zx}^{mathrm {core} }=C_{55}^{mathrm {core} }~varepsilon _{zx}^{mathrm {core} }={cfrac {C_{55}^{mathrm {core} }}{2}}~gamma _{zx}^{mathrm {core} }={ frac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{mathrm {core} }~gamma _{zx}^{mathrm {beam} }}$

или же,

${displaystyle sigma _{zx}^{mathrm {core} }={ frac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{mathrm {core} }~{cfrac {mathrm {d} w_{s}}{mathrm {d} x}}}$

Нормальные напряжения в лицевых листах определяются выражением

${displaystyle sigma _{xx}^{mathrm {face} }=C_{11}^{mathrm {face} }~varepsilon _{xx}^{mathrm {face} }}$

Следовательно,

${displaystyle {egin{aligned}sigma _{xx}^{mathrm {topface} }&=-z~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{b}}{mathrm {d} x^{2}}}-left(z-h-{ frac {f}{2}}ight)~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{s}}{mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}+left({ frac {2h+f}{2}}ight)~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{s}}{mathrm {d} x^{2}}}sigma _{xx}^{mathrm {botface} }&=-z~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{b}}{mathrm {d} x^{2}}}-left(z+h+{ frac {f}{2}}ight)~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{s}}{mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}-left({ frac {2h+f}{2}}ight)~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{s}}{mathrm {d} x^{2}}}end{aligned}}}$

Результирующие силы и моменты

Результирующая нормальная сила на лицевой стороне определяется как

${displaystyle N_{xx}^{mathrm {face} }:=int _{-f/2}^{f/2}sigma _{xx}^{mathrm {face} }~mathrm {d} z_{f}}$

а результирующие моменты определяются как

${displaystyle M_{xx}^{mathrm {face} }:=int _{-f/2}^{f/2}z_{f}~sigma _{xx}^{mathrm {face} }~mathrm {d} z_{f}}$

куда

${displaystyle z_{f}^{mathrm {topface} }:=z-h-{ frac {f}{2}}~;~~z_{f}^{mathrm {botface} }:=z+h+{ frac {f}{2}}}$

Использование выражений для нормального напряжения на двух лицевых листах дает

${displaystyle {egin{aligned}N_{xx}^{mathrm {topface} }&=-fleft(h+{ frac {f}{2}}ight)~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{b}}{mathrm {d} x^{2}}}=-N_{xx}^{mathrm {botface} }M_{xx}^{mathrm {topface} }&=-{cfrac {f^{3}~C_{11}^{mathrm {face} }}{12}}left({cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{b}}{mathrm {d} x^{2}}}+{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{s}}{mathrm {d} x^{2}}}ight)=-{cfrac {f^{3}~C_{11}^{mathrm {face} }}{12}}~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}=M_{xx}^{mathrm {botface} }end{aligned}}}$

По сути, результирующий момент равен

${displaystyle M_{xx}^{mathrm {core} }:=int _{-h}^{h}z~sigma _{xx}^{mathrm {core} }~mathrm {d} z=0}$

Полный изгибающий момент в балке равен

${displaystyle M=N_{xx}^{mathrm {topface} }~(2h+f)+2~M_{xx}^{mathrm {topface} }}$

или же,

${displaystyle M=-{cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{b}}{mathrm {d} x^{2}}}-{cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}}$

Сила сдвига ${displaystyle Q_{x}}$ в ядре определяется как

${displaystyle Q_{x}^{mathrm {core} }=kappa int _{-h}^{h}sigma _{xz}~dz={ frac {kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{mathrm {core} }~{cfrac {mathrm {d} w_{s}}{mathrm {d} x}}}$

куда ${displaystyle kappa }$ - коэффициент поправки на сдвиг. Сила сдвига в лицевых листах может быть вычислена из изгибающих моментов, используя соотношение

${displaystyle Q_{x}^{mathrm {face} }={cfrac {mathrm {d} M_{xx}^{mathrm {face} }}{mathrm {d} x}}}$

или же,

${displaystyle Q_{x}^{mathrm {face} }=-{cfrac {f^{3}~C_{11}^{mathrm {face} }}{12}}~{cfrac {mathrm {d} ^{3}w}{mathrm {d} x^{3}}}}$

Для тонких лицевых листов усилие сдвига в лицевых листах обычно игнорируется.^[2]

Жесткость на изгиб и сдвиг

Жесткость на изгиб многослойной балки определяется выражением

${displaystyle D^{mathrm {beam} }=-M/{ frac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}}$

Из выражения для полного изгибающего момента в балке имеем

${displaystyle M=-{cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{b}}{mathrm {d} x^{2}}}-{cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}}$

Для малых деформаций сдвига это выражение можно записать как

${displaystyle Mapprox -{cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}}$

Следовательно, жесткость на изгиб многослойной балки (с ${displaystyle fll 2h}$) дан кем-то

${displaystyle D^{mathrm {beam} }approx {cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{mathrm {face} }approx {cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{mathrm {face} }}$

и то из лицевых листов

${displaystyle D^{mathrm {face} }={cfrac {f^{3}}{12}}~C_{11}^{mathrm {face} }}$

Жесткость балки на сдвиг определяется выражением

${displaystyle S^{mathrm {beam} }=Q_{x}/{ frac {mathrm {d} w_{s}}{mathrm {d} x}}}$

Следовательно, поперечная жесткость балки, которая равна поперечной жесткости сердечника, равна

${displaystyle S^{mathrm {beam} }=S^{mathrm {core} }={cfrac {kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{mathrm {core} }}$

Связь прогибов при изгибе и сдвиге

Связь между прогибами при изгибе и сдвиге может быть получена путем использования непрерывности тяги между сердцевиной и лицевыми листами. Если приравнять тяги напрямую, получим

${displaystyle n_{x}~sigma _{xx}^{mathrm {face} }=n_{z}~sigma _{zx}^{mathrm {core} }}$

На обоих интерфейсах FaceSheet-Core ${displaystyle n_{x}=1}$ но наверху ядра ${displaystyle n_{z}=1}$ и внизу ядра ${displaystyle n_{z}=-1}$. Следовательно, непрерывность тяги при ${displaystyle z=pm h}$ приводит к

${displaystyle 2fh~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{s}}{mathrm {d} x^{2}}}-(2h+f)~C_{55}^{mathrm {core} }~{cfrac {mathrm {d} w_{s}}{mathrm {d} x}}=4h^{2}~C_{11}^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{b}}{mathrm {d} x^{2}}}}$

Вышеуказанное соотношение используется редко из-за наличия вторых производных сдвигового прогиба. Вместо этого предполагается, что

${displaystyle n_{z}~sigma _{zx}^{mathrm {core} }={cfrac {mathrm {d} N_{xx}^{mathrm {face} }}{mathrm {d} x}}}$

откуда следует, что

${displaystyle {cfrac {mathrm {d} w_{s}}{mathrm {d} x}}=-2fh~left({cfrac {C_{11}^{mathrm {face} }}{C_{55}^{mathrm {core} }}}ight)~{cfrac {mathrm {d} ^{3}w_{b}}{mathrm {d} x^{3}}}}$

Основные уравнения

Используя приведенные выше определения, основные уравнения баланса для изгибающего момента и поперечной силы имеют вид

${displaystyle {egin{aligned}M&=D^{mathrm {beam} }~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{s}}{mathrm {d} x^{2}}}-left(D^{mathrm {beam} }+2D^{mathrm {face} }ight)~{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}Q&=S^{mathrm {core} }~{cfrac {mathrm {d} w_{s}}{mathrm {d} x}}-2D^{mathrm {face} }~{cfrac {mathrm {d} ^{3}w}{mathrm {d} x^{3}}}end{aligned}}}$

В качестве альтернативы мы можем выразить вышеизложенное как два уравнения, которые могут быть решены для ${displaystyle w}$ и ${displaystyle w_{s}}$ в качестве

${displaystyle {egin{aligned}&left({frac {2D^{mathrm {face} }}{S^{mathrm {core} }}}ight){cfrac {mathrm {d} ^{4}w}{mathrm {d} x^{4}}}-left(1+{frac {2D^{mathrm {face} }}{D^{mathrm {beam} }}}ight){cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}+left({cfrac {1}{S^{mathrm {core} }}}ight)~{cfrac {mathrm {d} Q}{mathrm {d} x}}={frac {M}{D^{mathrm {beam} }}}&left({frac {D^{mathrm {beam} }}{S^{mathrm {core} }}}ight){cfrac {mathrm {d} ^{3}w_{s}}{mathrm {d} x^{3}}}-left(1+{frac {D^{mathrm {beam} }}{2D^{mathrm {face} }}}ight){cfrac {mathrm {d} w_{s}}{mathrm {d} x}}-{cfrac {1}{S^{mathrm {core} }}}~{cfrac {mathrm {d} M}{mathrm {d} x}}=-left(1+{cfrac {D^{mathrm {beam} }}{2D^{mathrm {face} }}}ight){frac {Q}{S^{mathrm {core} }}},end{aligned}}}$

Используя приближения

${displaystyle Qapprox {cfrac {mathrm {d} M}{mathrm {d} x}}~;~~qapprox {cfrac {mathrm {d} Q}{mathrm {d} x}}}$

куда ${displaystyle q}$ - интенсивность приложенной к балке нагрузки, имеем

${displaystyle {egin{aligned}&left({frac {2D^{mathrm {face} }}{S^{mathrm {core} }}}ight){cfrac {mathrm {d} ^{4}w}{mathrm {d} x^{4}}}-left(1+{frac {2D^{mathrm {face} }}{D^{mathrm {beam} }}}ight){cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}={frac {M}{D^{mathrm {beam} }}}-{cfrac {q}{S^{mathrm {core} }}}&left({frac {D^{mathrm {beam} }}{S^{mathrm {core} }}}ight){cfrac {mathrm {d} ^{3}w_{s}}{mathrm {d} x^{3}}}-left(1+{frac {D^{mathrm {beam} }}{2D^{mathrm {face} }}}ight){cfrac {mathrm {d} w_{s}}{mathrm {d} x}}=-left({cfrac {D^{mathrm {beam} }}{2D^{mathrm {face} }}}ight){frac {Q}{S^{mathrm {core} }}},end{aligned}}}$

Для решения этой системы двух связанных обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом приложенной нагрузки и приложенного изгибающего момента и граничных условий смещения можно использовать несколько методов.

Альтернативная форма зависимых от температуры основных уравнений

Предполагая, что каждое частичное сечение удовлетворяет Гипотеза Бернулли, баланс сил и моментов на деформированном элементе многослойной балки можно использовать для вывода уравнения изгиба для многослойной балки.

Рисунок 1 - Уравновешивание отклоненной многослойной балки при температурной нагрузке и нагрузке в сравнении с неотклоненным поперечным сечением

Результирующие напряжения и соответствующие деформации балки и поперечного сечения можно увидеть на рисунке 1. Следующие соотношения могут быть получены с использованием теории линейная эластичность:^[3][4]

${displaystyle {egin{aligned}M^{mathrm {core} }&=D^{mathrm {beam} }left({cfrac {mathrm {d} gamma _{2}}{mathrm {d} x}}+vartheta ight)=D^{mathrm {beam} }left({cfrac {mathrm {d} gamma }{mathrm {d} x}}-{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}+vartheta ight)M^{mathrm {face} }&=-D^{mathrm {face} }{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}Q^{mathrm {core} }&=S^{mathrm {core} }gamma Q^{mathrm {face} }&=-D^{mathrm {face} }{cfrac {mathrm {d} ^{3}w}{mathrm {d} x^{3}}}end{aligned}},}$

куда

${displaystyle w,}$	поперечное смещение балки
${displaystyle gamma ,}$	Средняя деформация сдвига в сэндвиче	${displaystyle gamma =gamma _{1}+gamma _{2},}$
${displaystyle gamma _{1},}$	Вращение лицевых листов	${displaystyle gamma _{1}={cfrac {mathrm {d} w}{mathrm {d} x}},}$
${displaystyle gamma _{2},}$	Деформация сдвига в сердечнике
${displaystyle M^{mathrm {core} },}$	Изгибающий момент в сердечнике
${displaystyle D^{mathrm {beam} },}$	Прочность на изгиб многослойной балки
${displaystyle M^{mathrm {face} },}$	Изгибающий момент в лицевых листах
${displaystyle D^{mathrm {face} },}$	Жесткость лицевых листов на изгиб
${displaystyle Q^{mathrm {core} },}$	Сила сдвига в сердечнике
${displaystyle Q^{mathrm {face} },}$	Сила сдвига в лицевых листах
${displaystyle S^{mathrm {core} },}$	Жесткость сердечника на сдвиг
${displaystyle vartheta ,}$	Дополнительный изгиб из-за падения температуры	${displaystyle vartheta ={frac {alpha (T_{o}-T_{u})}{e}},}$
${displaystyle alpha ,}$	Температурный коэффициент расширения конвертации

Суперпозиция уравнений для лицевых панелей и сердечника приводит к следующим уравнениям для полной поперечной силы ${displaystyle Q}$ и общий изгибающий момент ${displaystyle M}$:

${displaystyle {egin{alignedat}{3}&S^{mathrm {core} }gamma -D^{mathrm {face} }{cfrac {mathrm {d} ^{3}w}{mathrm {d} x^{3}}}=Q&quad quad &(1)&D^{mathrm {beam} }left({cfrac {mathrm {d} gamma }{mathrm {d} x}}+vartheta ight)-left(D^{mathrm {beam} }+D^{mathrm {face} }ight){cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}=M&quad quad &(2),end{alignedat}}}$

В качестве альтернативы мы можем выразить вышеизложенное как два уравнения, которые можно решить для ${displaystyle w}$ и ${displaystyle gamma }$, т.е.

${displaystyle {egin{aligned}&left({frac {D^{mathrm {face} }}{S^{mathrm {core} }}}ight){cfrac {mathrm {d} ^{4}w}{mathrm {d} x^{4}}}-left(1+{frac {D^{mathrm {face} }}{D^{mathrm {beam} }}}ight){cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}={frac {M}{D^{mathrm {beam} }}}-{cfrac {q}{S^{mathrm {core} }}}-vartheta &left({frac {D^{mathrm {beam} }}{S^{mathrm {core} }}}ight){cfrac {mathrm {d} ^{2}gamma }{mathrm {d} x^{2}}}-left(1+{frac {D^{mathrm {beam} }}{D^{mathrm {face} }}}ight)gamma =-left({cfrac {D^{mathrm {beam} }}{D^{mathrm {face} }}}ight){frac {Q}{S^{mathrm {core} }}},end{aligned}}}$

Подходы к решению

Деформация сдвига и изгиба многослойной композитной балки.

Поведение при изгибе и напряжения в непрерывной многослойной балке можно рассчитать, решив два основных дифференциальных уравнения.

Аналитический подход

Для простых геометрических фигур, таких как двухпролетные балки при равномерно распределенных нагрузках, основные уравнения могут быть решены с использованием соответствующих граничных условий и принципа суперпозиции. Такие результаты перечислены в стандарте DIN EN 14509: 2006.^[5](Таблица E10.1). Энергетические методы также могут использоваться для непосредственного вычисления решений.

Численный подход

Дифференциальное уравнение многослойных неразрезных балок может быть решено с помощью численных методов, таких как конечные разности и конечные элементы. Для конечных разностей Бернер^[6] рекомендует двухэтапный подход. После решения дифференциального уравнения для нормальных сил в покровных листах для однопролетной балки при заданной нагрузке энергетический метод может быть использован для расширения подхода к расчету многопролетных балок. Сэндвич-балка с гибкими накладками также может быть уложена друг на друга при использовании этой техники. Однако поперечное сечение балки в пролетах должно быть постоянным.

Более специализированный подход, рекомендованный Шварце^[4] предполагает точное решение однородной части основного уравнения и приближенное решение конкретной части. Напомним, что основное уравнение для многослойной балки имеет вид

${displaystyle left({frac {2D^{mathrm {face} }}{S^{mathrm {core} }}}ight){cfrac {mathrm {d} ^{4}w}{mathrm {d} x^{4}}}-left(1+{frac {2D^{mathrm {face} }}{D^{mathrm {beam} }}}ight){cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}={frac {M}{D^{mathrm {beam} }}}-{cfrac {q}{S^{mathrm {core} }}}}$

Если мы определим

${displaystyle alpha :={cfrac {2D^{mathrm {face} }}{D^{mathrm {beam} }}}~;~~eta :={cfrac {2D^{mathrm {face} }}{S^{mathrm {core} }}}~;~~W(x):={cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}}$

мы получили

${displaystyle {cfrac {mathrm {d} ^{2}W}{mathrm {d} x^{2}}}-left({cfrac {1+alpha }{eta }}ight)~W={frac {M}{eta D^{mathrm {beam} }}}-{cfrac {q}{D^{mathrm {face} }}}}$

Шварце использует общее решение для однородной части вышеупомянутого уравнения и полиномиальное приближение для частного решения для секций многослойной балки. Интерфейсы между секциями связаны между собой соответствующими граничными условиями. Этот подход использовался в Открытый исходный код код swe2.

Практическое значение

Результаты, предсказанные теорией линейных сэндвичей, хорошо коррелируют с экспериментально определенными результатами. Теория используется в качестве основы для структурный отчет который необходим для строительства крупных промышленных и коммерческих зданий, облицованных сэндвич-панели . Его использование явно требуется для получения разрешений и в соответствующих технических стандартах.^[5]

Мохаммед Рахиф Хакми и другие провели исследования численного, экспериментального поведения материалов и поведения при пожаре и взрыве. Композитный материал. Он опубликовал несколько исследовательских статей:

• Местное коробление Сэндвич-панели.^[7][8]
• Напряжение продольного изгиба в Сэндвич-панели.^[9]
• Поведение тонкостенных стальных балок, заполненных пеной, после потери устойчивости.^[10]
• Огнестойкость композитных плит перекрытия на модельном огневом испытательном стенде^[11]
• Огнестойкие сэндвич-панели для Офшорные структурыСэндвич-панели.^[12]
• Численный температурный анализ Гигроскопичен Панели подвержены воздействию огня.^[13]
• Экономичное использование композитов, армированных волокном, на море.^[14]

Хакми разработал метод проектирования, который был рекомендован Рабочей комиссией CIB W056 Сэндвич-панели, Совместным комитетом ECCS / CIB и использовался в европейских рекомендациях по проектированию сэндвич-панелей (CIB, 2000).^[15][16][17]

Смотрите также

• Гибка
• Теория пучка
• Композитный материал
• Критерии доходности холма
• Структурированный композит сэндвич
• Система сэндвич-панелей
• Композитные соты
• Теория пучка Тимошенко
• Теория пластин
• Сэндвич-панели

Рекомендации

1. Plantema, F, J., 1966, Сэндвич-конструкция: изгиб и продольный изгиб многослойных балок, пластин и оболочек, Джон Уайли и сыновья, Нью-Йорк.
2. Зенкерт, Д., 1995, Введение в сэндвич-конструкцию, Engineering Materials Advisory Services Ltd, Великобритания.
3. К. Штамм, Х. Витте: Sandwichkonstruktionen - Berechnung, Fertigung, Ausführung. Спрингер-Верлаг, Вена - Нью-Йорк, 1974.
4. Кнут Шварце: «Numerische Methoden zur Berechnung von Sandwichelementen». В Штальбау. 12/1984, ISSN  0038-9145.
5. EN 14509 (D):Самонесущие двухслойные изоляционные панели с металлическим покрытием. Ноябрь 2006 г.
6. Клаус Бернер: Erarbeitung vollständiger Bemessungsgrundlagen im Rahmen bautechnischer Zulassungen für Sandwichbauteile.Fraunhofer IRB Verlag, Штутгарт 2000 (часть 1).
7. "Исследование Мохаммеда Рахифа Хакми".
8. [1] Местное коробление Сэндвич-панели
9. Дэвис М. Дж. И Хакми М. Р. (1991) «Напряжение при продольном изгибе в многослойных панелях», Коллоквиум по стали Северной конференции, с.
10. Дэвис, Дж. М., Хакми, М. Р. и Хассинен, П. (1991), "Поведение после заедания наполненных пеной тонкостенных стальных балок" Journal of Constructional Steel Research 20: 75 - 83.
11. «Огнестойкость композитных плит перекрытия на модельном стенде для испытаний на огнестойкость», Автор (ы)
    АБДЕЛЬ-ХАЛИМ М. А. Х. (1); ХАКМИ М. Р. (2); О'ЛИРИ, округ Колумбия (2); Принадлежность (а) du ou des auteurs / Автор (ы) Принадлежность (а), (1) Департамент гражданского строительства, Иорданский университет науки и технологий, а / я 3030., Ирбид, ДЖОРДАНИ ( 2) Департамент гражданского строительства, Солфордский университет, Солфорд, M5 4WT, ROYAUME-UNI.
12. Дэвис, Дж. М., д-р Хакми Р. и МакНиколас Дж. Б.: Огнестойкие многослойные панели для морских сооружений, рентабельное использование армированных волокном композитов на море, Отчет об исследовании CP07, Программа Marinetech North West, Фаза 1, 1991.
13. Дэвис, Дж. М., Хакми, Р. и Ван, Х. Б.: Численный анализ температуры гигроскопических панелей, подверженных воздействию огня, стр. 1624-1635, Численные методы в тепловых задачах, Vol. VIII Часть 2, Материалы восьмой Международной конференции, состоявшейся в Суонси, 12-16 июля 1993 г., Pineridge Press, Великобритания.
14. [2] HSE, Экономичное использование армированных волокном композитов на море CP07, Огнестойкие многослойные панели для морских сооружений Профессор Дж. М. Дэвис, доктор Р. Хаким, доктор Дж. Б. МакНиколас, Университет Солфорда 45 страниц
15. «Европейские рекомендации для сэндвич-панелей».
16. Дэвис, Дж. М. и Хакми, М. Р. 1990. Местное коробление профильных многослойных пластин. Proc. Симпозиум IABSE, Смешанные структуры, включая новые материалы, Брюссель, сентябрь, стр. 533-538.
17. «Местное коробление профилированных многослойных плит».

Библиография

• Мохаммед Рахиф Хакми
• Клаус Бернер, Оливер Раабе: Bemessung von Sandwichbauteilen. IFBS-Schrift 5.08, IFBS e.V., Дюссельдорф 2006.
• Ральф Мёллер, Ханс Пётер, Кнут Шварце: Planen und Bauen mit Trapezprofilen und Sandwichelementen. Группа 1, Ernst & Sohn, Берлин 2004 г., ISBN  3-433-01595-3.

внешняя ссылка

• Мохаммед Рахиф Хакми Исследование сэндвич-панелей
• Институт технологии сэндвичей
• https://web.archive.org/web/20081120190919/http://www.diabgroup.com/europe/literature/e_pdf_files/man_pdf/sandwich_hb.pdf Справочник по сэндвичу DIAB
• http://www.swe1.com Programm zur Ermittlung der Schnittgrössen und Spannungen von Sandwich-Wandplatten mit biegeweichen Deckschichten (открытый исходный код)
• http://www.swe2.com Расчет многослойных балок с гофрированными гранями (Open Source)