Совместимость (механика) - Compatibility (mechanics)

В механика сплошной среды, а совместимый деформация (или же напряжение ) тензорное поле в теле это то уникальный тензорное поле, которое получается при воздействии на тело непрерывный, однозначный, поле смещения. Совместимость является исследованием условий, при которых такое поле смещения может быть гарантировано. Условия совместимости - частные случаи условия интегрируемости и были впервые получены для линейная эластичность к Барре де Сен-Венан в 1864 г. и строго доказано Бельтрами в 1886 г.^[1]

В континуальном описании твердого тела мы представляем тело состоящим из набора бесконечно малых объемов или материальных точек. Предполагается, что каждый том подключен к своим соседям без каких-либо зазоров или перекрытий. Определенные математические условия должны быть выполнены, чтобы гарантировать, что зазоры / перекрытия не образуются при деформации сплошного тела. Тело, которое деформируется без образования зазоров / перекрытий, называется совместимый тело. Условия совместимости представляют собой математические условия, определяющие, приведет ли конкретная деформация к совместимому состоянию тела.^[2]

В контексте теория бесконечно малых деформаций, эти условия эквивалентны утверждению, что перемещения в теле могут быть получены интегрированием напряжения. Такое интегрирование возможно, если тензор Сен-Венана (или тензор несовместимости) ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {\varepsilon }})}$ исчезает в односвязное тело^[3] куда ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ это тензор бесконечно малых деформаций и

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {0}}~.}$

За конечные деформации условия совместимости принимают вид

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}$

куда ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ это градиент деформации.

Условия совместимости бесконечно малых деформаций

Условия совместимости в линейная эластичность получены, наблюдая, что существует шесть соотношений деформация-смещение, которые являются функциями только трех неизвестных смещений. Это говорит о том, что три смещения могут быть удалены из системы уравнений без потери информации. Полученные выражения в терминах только деформаций обеспечивают ограничения на возможные формы поля деформаций.

2-х мерный

Для двумерного плоская деформация задачи отношения деформации-смещения

${\displaystyle \varepsilon _{11}={\cfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}~;~~\varepsilon _{12}={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right]~;~~\varepsilon _{22}={\cfrac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}}$

Повторное дифференцирование этих соотношений, чтобы убрать смещения ${\displaystyle u_{1}}$ и ${\displaystyle u_{2}}$, дает нам двумерное условие совместимости деформаций

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{11}}{\partial x_{2}^{2}}}-2{\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{22}}{\partial x_{1}^{2}}}=0}$

Единственное поле смещения, которое допускается совместимым полем плоской деформации, - это смещение плоскости поле, т.е. ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} (x_{1},x_{2})}$.

3-х мерный

В трех измерениях, помимо еще двух уравнений вида, показанного для двух измерений, есть еще три уравнения вида

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{33}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}={\cfrac {\partial }{\partial x_{3}}}\left[{\cfrac {\partial \varepsilon _{23}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial \varepsilon _{31}}{\partial x_{2}}}-{\cfrac {\partial \varepsilon _{12}}{\partial x_{3}}}\right]}$

Следовательно, есть 3⁴= 81 уравнение в частных производных, однако из-за условий симметрии это число сокращается до шесть разные условия совместимости. Мы можем записать эти условия в индексных обозначениях как^[4]

${\displaystyle e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon _{ij,kl}=0}$

куда ${\displaystyle e_{ijk}}$ это символ перестановки. В прямых тензорных обозначениях

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {0}}}$

где оператор curl может быть выражен в ортонормированной системе координат как ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}\varepsilon _{rj,i}\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{r}}$.

Тензор второго порядка

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})~;~~R_{rs}:=e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon _{ij,kl}}$

известен как тензор несовместимости, и эквивалентен Тензор совместимости Сен-Венана

Условия совместимости для конечных деформаций

Для твердых тел, в которых не требуется, чтобы деформации были малыми, условия совместимости принимают вид

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}$

куда ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ это градиент деформации. В терминах компонентов по отношению к декартовой системе координат мы можем записать эти отношения совместимости как

${\displaystyle e_{ABC}~{\cfrac {\partial F_{iB}}{\partial X_{A}}}=0}$

Это условие необходимо если деформация должна быть непрерывной и получена из отображения ${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\chi }}(\mathbf {X} ,t)}$ (видеть Теория конечных деформаций ). Такое же условие также достаточный для обеспечения совместимости в односвязный тело.

Условие совместности правого тензора деформации Коши - Грина

Условие совместимости правый тензор деформации Коши-Грина можно выразить как

${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }~\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }~\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0}$

куда ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ это Символ Кристоффеля второго рода. Количество ${\displaystyle R_{ijk}^{m}}$ представляет собой смешанные компоненты Тензор кривизны Римана-Кристоффеля.

Общая проблема совместимости

Проблема совместимости в механике сплошных сред включает определение допустимых однозначных непрерывных полей на односвязных телах. Точнее, проблему можно сформулировать следующим образом.^[5]

Рис. 1. Движение сплошного тела.

Рассмотрим деформацию тела, показанного на рисунке 1. Если мы выразим все векторы через опорную систему координат ${\displaystyle \{(\mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2},\mathbf {E} _{3}),O\}}$, смещение точки тела определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {x} -\mathbf {X} ~;~~u_{i}=x_{i}-X_{i}}$

Также

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {X} }}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}}$

Какие условия на заданное тензорное поле второго порядка ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}(\mathbf {X} )}$ на теле необходимы и достаточны, чтобы существовало единственное векторное поле ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {X} )}$ это удовлетворяет

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} ={\boldsymbol {A}}\quad \equiv \quad v_{i,j}=A_{ij}}$

Необходимые условия

Для необходимых условий считаем, что поле ${\displaystyle \mathbf {v} }$ существует и удовлетворяет${\displaystyle v_{i,j}=A_{ij}}$. потом

${\displaystyle v_{i,jk}=A_{ij,k}~;~~v_{i,kj}=A_{ik,j}}$

Поскольку изменение порядка дифференцирования не влияет на результат, имеем

${\displaystyle v_{i,jk}=v_{i,kj}}$

Следовательно

${\displaystyle A_{ij,k}=A_{ik,j}}$

Из хорошо известной идентичности локон тензора получаем необходимое условие

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}}$

Достаточные условия

Рисунок 2. Пути интеграции, используемые для доказательства достаточных условий совместимости.

Чтобы доказать, что этого условия достаточно, чтобы гарантировать существование согласованного тензорного поля второго порядка, мы начнем с предположения, что поле ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ существует такое, что${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}}$. Мы проинтегрируем это поле, чтобы найти векторное поле ${\displaystyle \mathbf {v} }$ по линии между точками ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ (см. рисунок 2), т.е.

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {X} _{B})-\mathbf {v} (\mathbf {X} _{A})=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \cdot ~d\mathbf {X} =\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {A}}(\mathbf {X} )\cdot d\mathbf {X} }$

Если векторное поле ${\displaystyle \mathbf {v} }$ должен быть однозначным, то значение интеграла не должно зависеть от пути, по которому идти от ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle B}$.

Из Теорема Стокса, интеграл от тензора второго порядка по замкнутому пути определяется выражением

${\displaystyle \oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {s} =\int _{\Omega }\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}})~da}$

Используя предположение, что ротор ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ равно нулю, получаем

${\displaystyle \oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {s} =0\quad \implies \quad \int _{AB}{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {X} +\int _{BA}{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {X} =0}$

Следовательно, интеграл не зависит от пути, и условия совместимости достаточно для обеспечения единственного ${\displaystyle \mathbf {v} }$ поле при условии, что тело односвязно.

Совместимость градиента деформации

Условие совместимости для градиента деформации получается непосредственно из приведенного выше доказательства, если заметить, что

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {x} }$

Тогда необходимые и достаточные условия существования согласованного ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ поля над односвязным телом

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}$

Совместимость бесконечно малых штаммов

Проблему совместимости малых деформаций можно сформулировать следующим образом.

Для симметричного тензорного поля второго порядка ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$ когда можно построить векторное поле ${\displaystyle \mathbf {u} }$ такой, что

${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$

Необходимые условия

Предположим, что существует ${\displaystyle \mathbf {u} }$ так что выражение для ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$ держит. Сейчас же

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\omega }}}$

куда

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}:={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$

Следовательно, в индексной записи

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {\omega }}\equiv \omega _{ij,k}={\frac {1}{2}}(u_{i,jk}-u_{j,ik})={\frac {1}{2}}(u_{i,jk}+u_{k,ji}-u_{j,ik}-u_{k,ji})=\varepsilon _{ik,j}-\varepsilon _{jk,i}}$

Если ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ непрерывно дифференцируемо, имеем ${\displaystyle \omega _{ij,kl}=\omega _{ij,lk}}$. Следовательно,

${\displaystyle \varepsilon _{ik,jl}-\varepsilon _{jk,il}-\varepsilon _{il,jk}+\varepsilon _{jl,ik}=0}$

В прямых тензорных обозначениях

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})={\boldsymbol {0}}}$

Это необходимые условия. Если ${\displaystyle \mathbf {w} }$ это бесконечно малый вектор вращения тогда ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} +{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} ^{T}}$. Следовательно, необходимое условие можно также записать как ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} +{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} ^{T})={\boldsymbol {0}}}$.

Достаточные условия

Предположим теперь, что условие ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})={\boldsymbol {0}}}$ удовлетворяется в части тела. Достаточно ли этого условия, чтобы гарантировать существование непрерывного однозначного поля смещения ${\displaystyle \mathbf {u} }$?

Первый шаг в этом процессе - показать, что из этого условия следует, что тензор бесконечно малого вращения ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ однозначно определено. Для этого мы интегрируем ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} }$ по пути ${\displaystyle \mathbf {X} _{A}}$ к ${\displaystyle \mathbf {X} _{B}}$, т.е.

${\displaystyle \mathbf {w} (\mathbf {X} _{B})-\mathbf {w} (\mathbf {X} _{A})=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} \cdot d\mathbf {X} =\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})\cdot d\mathbf {X} }$

Обратите внимание, что нам нужно знать ссылку ${\displaystyle \mathbf {w} (\mathbf {X} _{A})}$ зафиксировать вращение твердого тела. Поле ${\displaystyle \mathbf {w} (\mathbf {X} )}$ однозначно определяется только в том случае, если контурный интеграл по замкнутому контуру между ${\displaystyle \mathbf {X} _{A}}$ и ${\displaystyle \mathbf {X} _{b}}$ равен нулю, т.е.

${\displaystyle \oint _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})\cdot d\mathbf {X} ={\boldsymbol {0}}}$

Но из теоремы Стокса для односвязного тела и необходимого условия совместимости

${\displaystyle \oint _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})\cdot d\mathbf {X} =\int _{\Omega _{AB}}\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})~da={\boldsymbol {0}}}$

Следовательно, поле ${\displaystyle \mathbf {w} }$ однозначно определено, что означает, что тензор бесконечно малых вращений ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ также однозначно определяется при условии, что тело односвязно.

На следующем этапе процесса мы рассмотрим уникальность поля смещения ${\displaystyle \mathbf {u} }$. Как и раньше, интегрируем градиент смещения

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} _{B})-\mathbf {u} (\mathbf {X} _{A})=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} =\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\omega }})\cdot d\mathbf {X} }$

Из теоремы Стокса и используя соотношения ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} =-{\boldsymbol {\nabla }}\times \omega }$ у нас есть

${\displaystyle \oint _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\omega }})\cdot d\mathbf {X} =\int _{\Omega _{AB}}\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\omega }})~da={\boldsymbol {0}}}$

Следовательно, поле смещения ${\displaystyle \mathbf {u} }$ также определяется однозначно. Следовательно, условий совместности достаточно, чтобы гарантировать существование единственного поля смещения ${\displaystyle \mathbf {u} }$ в односвязном теле.

Совместимость для правого поля деформации Коши-Грина

Проблема совместимости для правого поля деформаций Коши-Грина может быть поставлена ​​следующим образом.

Проблема: Позволять ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}(\mathbf {X} )}$ - положительно определенное симметричное тензорное поле, заданное на эталонной конфигурации. При каких условиях на ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ существует ли деформированная конфигурация, отмеченная полем положения ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} )}$ такой, что

${\displaystyle (1)\quad \left({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\right)^{T}\left({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\right)={\boldsymbol {C}}}$

Необходимые условия

Предположим, что поле ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} )}$ существует, удовлетворяющее условию (1). В терминах компонентов относительно прямоугольного декартового базиса

${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\beta }}}=C_{\alpha \beta }}$

Из теория конечных деформаций мы знаем это ${\displaystyle C_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }}$. Следовательно, мы можем написать

${\displaystyle \delta _{ij}~{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}=g_{\alpha \beta }}$

Для двух симметричных тензорных полей второго порядка, которые взаимно однозначно отображаются, мы также имеем связь

${\displaystyle G_{ij}={\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}~g_{\alpha \beta }}$

Из отношения между ${\displaystyle G_{ij}}$ и ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ который ${\displaystyle \delta _{ij}=G_{ij}}$, у нас есть

${\displaystyle _{(x)}\Gamma _{ij}^{k}=0}$

Тогда из соотношения

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial X^{\alpha }\partial X^{\beta }}}={\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\mu }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}\,_{(x)}\Gamma _{ij}^{m}}$

у нас есть

${\displaystyle {\frac {\partial F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\beta }}}=F_{~\mu }^{m}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\qquad ;~~F_{~\alpha }^{i}:={\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}}$

Из теория конечных деформаций у нас также есть

${\displaystyle _{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right)~;~~_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }=g^{\nu \gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }~;~~g_{\alpha \beta }=C_{\alpha \beta }~;~~g^{\alpha \beta }=C^{\alpha \beta }}$

Следовательно,

${\displaystyle \,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }={\cfrac {C^{\mu \gamma }}{2}}\left({\frac {\partial C_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial C_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial C_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right)}$

и у нас есть

${\displaystyle {\frac {\partial F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\beta }}}=F_{~\mu }^{m}~{\cfrac {C^{\mu \gamma }}{2}}\left({\frac {\partial C_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial C_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial C_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right)}$

Опять же, используя коммутативность порядка дифференцирования, имеем

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\beta }\partial X^{\rho }}}={\frac {\partial ^{2}F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\rho }\partial X^{\beta }}}\implies {\frac {\partial F_{~\mu }^{m}}{\partial X^{\rho }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }]={\frac {\partial F_{~\mu }^{m}}{\partial X^{\beta }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }]}$

или же

${\displaystyle F_{~\gamma }^{m}\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }]=F_{~\gamma }^{m}\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }]}$

После сбора терминов получаем

${\displaystyle F_{~\gamma }^{m}\left(\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]\right)=0}$

Из определения ${\displaystyle F_{\gamma }^{m}}$ мы замечаем, что он обратим и, следовательно, не может быть нулевым. Следовательно,

${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0}$

Мы можем показать, что это смешанные компоненты Тензор кривизны Римана-Кристоффеля. Следовательно, необходимые условия для ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$-совместимость заключаются в том, что кривизна деформации Римана-Кристоффеля равна нулю.

Достаточные условия

Доказательство достаточности немного сложнее.^[5][6] Начнем с предположения, что

${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }=0~;~~g_{\alpha \beta }=C_{\alpha \beta }}$

Мы должны показать, что существуют ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {X} }$ такой, что

${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\beta }}}=C_{\alpha \beta }}$

Из теоремы Т.Я. Томаса ^[7] мы знаем, что система уравнений

${\displaystyle {\frac {\partial F_{~\alpha }^{i}}{\partial X^{\beta }}}=F_{~\gamma }^{i}~\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }}$

имеет уникальные решения ${\displaystyle F_{~\alpha }^{i}}$ над односвязными доменами, если

${\displaystyle _{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }=_{(X)}\Gamma _{\beta \alpha }^{\gamma }~;~~R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }=0}$

Первый из них верен из определения ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ и предполагается второе. Следовательно, предполагаемое условие дает нам единственное ${\displaystyle F_{~\alpha }^{i}}$ то есть ${\displaystyle C^{2}}$ непрерывный.

Далее рассмотрим систему уравнений

${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}=F_{~\alpha }^{i}}$

С ${\displaystyle F_{~\alpha }^{i}}$ является ${\displaystyle C^{2}}$ и тело односвязно, есть какое-то решение ${\displaystyle x^{i}(X^{\alpha })}$ к приведенным выше уравнениям. Мы можем показать, что ${\displaystyle x^{i}}$ также удовлетворяют тому свойству, что

${\displaystyle \det \left|{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}\right|\neq 0}$

Также можно показать, что соотношение

${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~g^{\alpha \beta }~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}=\delta ^{ij}}$

подразумевает, что

${\displaystyle g_{\alpha \beta }=C_{\alpha \beta }={\frac {\partial x^{k}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{k}}{\partial X^{\beta }}}}$

Если сопоставить эти величины с тензорными полями, можно показать, что ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}}$ обратима и построенное тензорное поле удовлетворяет выражению для ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$.

Смотрите также

• Условие совместимости Сен-Венана
• Линейная эластичность
• Деформация (механика)
• Теория бесконечно малых деформаций
• Теория конечных деформаций
• Тензорная производная (механика сплошной среды)
• Криволинейные координаты

Рекомендации

1. К. Амруш, PG Ciarlet, L Gratie, S Kesavan, Об условиях совместимости Сен-Венана и лемме Пуанкаре, C.R. Acad. Sci. Париж, сер. I, 342 (2006), 887-891. Дои:10.1016 / j.crma.2006.03.026
2. Барбер, Дж. Р., 2002, Эластичность - 2-е изд., Kluwer Academic Publications.
3. Н.И. Мусхелишвили, Некоторые основные проблемы математической теории упругости. Лейден: Noordhoff Intern. Опубл., 1975.
4. Слотер, W. S., 2003, Линеаризованная теория упругости, Бирхаузер
5. Ачарья, А., 1999, Об условиях совместимости для левого поля деформации Коши – Грина в трех измерениях, Журнал эластичности, том 56, номер 2, 95-105
6. Блюм, Дж. А., 1989, "Условия совместимости для левого поля деформации Коши-Грина", J. Elasticity, v. 21, p. 271-308.
7. Thomas, T. Y., 1934, "Системы дифференциальных уравнений в полных условиях, определенные в односвязных областях", Annals of Mathematics, 35 (4), p. 930-734

внешняя ссылка

• Заметки Амита Ачарьи о совместимости на iMechanica
• Пластичность по Я. Люблинеру, сек. 1.2.4 п. 35 год