Криволинейные координаты - Curvilinear coordinates

Видеть ортогональные координаты для важного особого случая, перекос координат для менее распространенного специального случая и тензоры в криволинейных координатах для более общих математических деталей.

Криволинейный (верх), аффинный (справа), и Декартово (слева) координаты в двумерном пространстве

В геометрия, криволинейные координаты площадь система координат за Евклидово пространство в которой координатные линии может быть изогнутым. Эти координаты могут быть получены из набора Декартовы координаты с помощью преобразования, которое локально обратимый (индивидуальная карта) в каждой точке. Это означает, что можно преобразовать точку, заданную в декартовой системе координат, в ее криволинейные координаты и обратно. Название криволинейные координаты, придуманный французским математиком Хромой, происходит из того факта, что координатные поверхности криволинейных систем изогнуты.

Известные примеры криволинейных систем координат в трехмерном евклидовом пространстве (р³) находятся цилиндрический и сферический полярный координаты. Декартова координатная поверхность в этом пространстве - это координатная плоскость; Например z = 0 определяет Икс-у самолет. В этом же пространстве координатная поверхность р = 1 в сферических полярных координатах - это поверхность единицы сфера, которая изогнута. Формализм криволинейных координат обеспечивает единое и общее описание стандартных систем координат.

Криволинейные координаты часто используются для определения местоположения или распределения физических величин, которые могут быть, например, скаляры, векторов, или же тензоры. Математические выражения, включающие эти величины в векторное исчисление и тензорный анализ (такой как градиент, расхождение, завиток, и Лапласиан ) можно преобразовать из одной системы координат в другую в соответствии с правилами преобразования для скаляров, векторов и тензоров. Такие выражения затем становятся справедливыми для любой криволинейной системы координат.

Криволинейная система координат может быть проще в использовании, чем декартова система координат для некоторых приложений. Движение частиц под действием центральные силы обычно легче решить в сферические полярные координаты чем в декартовых координатах; это верно для многих физических проблем с сферическая симметрия определено в р³. Уравнения с граничные условия , которые следуют координатным поверхностям для конкретной криволинейной системы координат, может быть проще решить в этой системе. Хотя можно описать движение частицы в прямоугольном ящике, используя декартовы координаты, движение в сфере проще со сферическими координатами. Сферические координаты являются наиболее распространенными криволинейными системами координат и используются в Науки о Земле, картография, квантовая механика, относительность, и инженерное дело.

Ортогональные криволинейные координаты в 3-х измерениях

Координаты, базис и векторы

Рис. 1 - Координатные поверхности, координатные линии и координатные оси общих криволинейных координат.

Рис. 2 - Координатные поверхности, координатные линии и координатные оси сферических координат. Поверхности: р - сферы, θ - конусы, φ - полуплоскости; Линии: р - прямые балки, θ - вертикальные полукруги, φ - горизонтальные окружности; Оси: р - прямые балки, θ - касательные к вертикальным полукругам, φ - касательные к горизонтальным окружностям

А пока рассмотрим 3-D пространство. Точка п в трехмерном пространстве (или его вектор положения р) можно определить с помощью декартовых координат (Икс, у, z) [эквивалентно написано (Икс¹, Икс², Икс³)], к ${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}}$, куда е_Икс, е_у, е_z являются стандартная основа векторов.

Его также можно определить по его криволинейные координаты (q¹, q², q³), если эта тройка чисел однозначно определяет одну точку. Тогда связь между координатами задается обратимыми функциями преобразования:

${\displaystyle x=f^{1}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,y=f^{2}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,z=f^{3}(q^{1},q^{2},q^{3})}$

${\displaystyle q^{1}=g^{1}(x,y,z),\,q^{2}=g^{2}(x,y,z),\,q^{3}=g^{3}(x,y,z)}$

Поверхности q¹ = константа, q² = константа, q³ = константа называются координатные поверхности; а пространственные кривые, образованные их попарным пересечением, называются координатные кривые. В оси координат определяются касательные координатным кривым на пересечении трех поверхностей. В общем, они не являются фиксированными направлениями в пространстве, как это бывает для простых декартовых координат, и, таким образом, обычно нет естественной глобальной основы для криволинейных координат.

В декартовой системе стандартные базисные векторы могут быть получены из производной местоположения точки п по локальной координате

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}};\;\mathbf {e} _{y}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}};\;\mathbf {e} _{z}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial z}}.}$

Применяя те же производные к криволинейной системе локально в точке п определяет естественные базисные векторы:

${\displaystyle \mathbf {h} _{1}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{1}}};\;\mathbf {h} _{2}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{2}}};\;\mathbf {h} _{3}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{3}}}.}$

Такой базис, векторы которого меняют свое направление и / или величину от точки к точке, называется местная основа. Все базы, связанные с криволинейными координатами, обязательно локальны. Базисные векторы, одинаковые во всех точках, равны глобальные базы, и может быть связан только с линейным или аффинные системы координат.

Для этой статьи е зарезервировано для стандартная основа (Декартово) и час или же б для криволинейного основания.

Они могут не иметь единичной длины, а также могут быть не ортогональными. В случае, если они находятся ортогональные во всех точках, где производные корректно определены, мы определяем Коэффициенты Ламе (после Габриэль Ламе ) к

${\displaystyle h_{1}=|\mathbf {h} _{1}|;\;h_{2}=|\mathbf {h} _{2}|;\;h_{3}=|\mathbf {h} _{3}|}$

а криволинейные ортонормированные базисные векторы -

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\dfrac {\mathbf {h} _{1}}{h_{1}}};\;\mathbf {b} _{2}={\dfrac {\mathbf {h} _{2}}{h_{2}}};\;\mathbf {b} _{3}={\dfrac {\mathbf {h} _{3}}{h_{3}}}.}$

Эти базисные векторы вполне могут зависеть от положения п; поэтому необходимо, чтобы они не считались постоянными для региона. (Технически они составляют основу касательный пучок из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ в п, и поэтому являются локальными для п.)

В общем случае криволинейные координаты допускают естественные базисные векторы час_я не все взаимно перпендикулярны друг другу и не обязательно должны быть единичной длины: они могут быть произвольной величины и направления. Использование ортогонального базиса упрощает векторные манипуляции по сравнению с неортогональным. Однако в некоторых областях физика и инженерное дело, особенно механика жидкости и механика сплошной среды, требуют неортогональных базисов для описания деформаций и переноса жидкости, чтобы учесть сложные зависимости физических величин от направления. Обсуждение общего случая появится позже на этой странице.

Векторное исчисление

Смотрите также: Дифференциальная геометрия

Дифференциальные элементы,

В ортогональных криволинейных координатах, поскольку полный дифференциал изменение в р является

${\displaystyle d\mathbf {r} ={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}dq^{1}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}dq^{2}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}dq^{3}=h_{1}dq^{1}\mathbf {b} _{1}+h_{2}dq^{2}\mathbf {b} _{2}+h_{3}dq^{3}\mathbf {b} _{3}}$

так что масштабные коэффициенты ${\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|}$

В неортогональных координатах длина ${\displaystyle d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}}$ положительный квадратный корень из ${\displaystyle d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}}$ (с Соглашение о суммировании Эйнштейна ). Шесть независимых скалярных произведений грамм_ij=час_я.час_j естественных базисных векторов обобщают три масштабных коэффициента, определенных выше для ортогональных координат. Девять грамм_ij компоненты метрический тензор, который имеет только три ненулевые компоненты в ортогональных координатах: грамм₁₁=час₁час₁, грамм₂₂=час₂час₂, грамм₃₃=час₃час₃.

Ковариантные и контравариантные базисы

Основные статьи: Ковариация и контравариантность векторов и Повышение и понижение показателей

Вектор v (красный), представленного • векторным базисом (желтый, оставили: е₁, е₂, е₃), касательные векторы к координатным кривым (чернить) и • ковекторный базис или кобазис (синий, верно: е¹, е², е³), векторы нормалей к координатным поверхностям (серый) в Общее (не обязательно ортогональный ) криволинейные координаты (q¹, q², q³). Базис и кобазис не совпадают, если система координат не ортогональна.^[1]

Пространственные градиенты, расстояния, производные по времени и масштабные коэффициенты взаимосвязаны в системе координат двумя группами базисных векторов:

1. базисные векторы, которые локально касаются связанной с ними координатной линии:

   ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}}$

   который трансформируется как ковариантные векторы (обозначены пониженными индексами), или
2. базисные векторы, локально перпендикулярные изоповерхности, созданной другими координатами:

   ${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}=\nabla q^{i}}$

   который трансформируется как контравариантные векторы (обозначены повышенными индексами), ∇ - дель оператор.

Следовательно, общая криволинейная система координат имеет два набора базисных векторов для каждой точки: {б₁, б₂, б₃} - ковариантный базис, а {б¹, б², б³} - контравариантный (он же взаимный) базис. Ковариантные и контравариантные типы базисных векторов имеют одинаковое направление для ортогональных криволинейных систем координат, но, как обычно, имеют инвертированные единицы относительно друг друга.

Обратите внимание на следующее важное равенство:

${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}}$

в которой ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ обозначает обобщенная дельта Кронекера.

Доказательство

В декартовой системе координат ${\displaystyle (\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})}$, мы можем записать скалярное произведение как: ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=({\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}})\cdot ({\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}})={\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}}$ Рассмотрим бесконечно малое смещение ${\displaystyle d\mathbf {r} =dx\cdot \mathbf {e} _{x}+dy\cdot \mathbf {e} _{y}+dz\cdot \mathbf {e} _{z}}$ . Пусть dq1, dq2 и dq3 обозначим соответствующие бесконечно малые изменения криволинейных координат q1, q2 и q3 соответственно. По цепному правилу dq1 можно выразить как: ${\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}dy+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}dz={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}({\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{3}}}dq_{3})+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}({\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{3}}}dq_{3})}$ Если смещение dр такова, что dq2 = dq3 = 0, т.е. вектор положения р перемещается на бесконечно малую величину по оси координат q2= const и q3= const, тогда: ${\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}}$ Деление на dq1, и переходя к пределу dq1 → 0: ${\displaystyle 1={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}}$ или эквивалентно: ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}\cdot \mathbf {b} ^{1}=1}$ Теперь, если смещение dр такова, что dq1= dq3= 0, т.е. вектор положения р перемещается на бесконечно малую величину по оси координат q1= const и q3= const, тогда: ${\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}}$ Деление на dq2, и переходя к пределу dq2 → 0: ${\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}}$ или эквивалентно: ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}\cdot \mathbf {b} ^{1}=0}$ И так далее для других точечных продуктов. Альтернативное доказательство: ${\displaystyle \delta _{j}^{i}dq^{j}=dq^{i}=\nabla q^{i}\cdot d\mathbf {r} =\mathbf {b} ^{i}\cdot {\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}dq^{j}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}dq^{j}}$ и Соглашение о суммировании Эйнштейна подразумевается.

Вектор v можно определить в терминах любого базиса, т. е.

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{1}\mathbf {b} _{1}+v^{2}\mathbf {b} _{2}+v^{3}\mathbf {b} _{3}=v_{1}\mathbf {b} ^{1}+v_{2}\mathbf {b} ^{2}+v_{3}\mathbf {b} ^{3}}$

Используя соглашение Эйнштейна о суммировании, базисные векторы относятся к компонентам следующим образом:^{[2](стр. 30–32)}

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\delta _{k}^{i}=v^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\delta _{i}^{k}=v_{i}}$

и

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}v^{k}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}v_{k}}$

куда грамм - метрический тензор (см. ниже).

Вектор может быть задан ковариантными координатами (пониженные индексы, записанные v_k) или контравариантные координаты (выпуклые индексы, написанные v^k). Из приведенных выше векторных сумм можно видеть, что контравариантные координаты связаны с ковариантными базисными векторами, а ковариантные координаты связаны с контравариантными базисными векторами.

Ключевой особенностью представления векторов и тензоров в терминах индексированных компонентов и базисных векторов является инвариантность в том смысле, что компоненты вектора, которые преобразуются ковариантным образом (или контравариантным образом), соединяются с базисными векторами, которые преобразуются контравариантным способом (или ковариантным способом).

Интеграция

Основная статья: Ковариантное преобразование

Построение ковариантного базиса в одном измерении

Рис.3 - Преобразование локального ковариантного базиса в случае общих криволинейных координат

Рассмотрим одномерную кривую, показанную на рис. 3. В точке п, взятый как источник, Икс - одна из декартовых координат, а q¹ - одна из криволинейных координат. Локальный (неединичный) базисный вектор равен б₁ (отмечен час₁ выше, с б зарезервировано для единичных векторов), и он построен на q¹ ось, которая касается этой координатной линии в точке п. Ось q¹ и, следовательно, вектор б₁ образовывать угол ${\displaystyle \alpha }$ с декартовым Икс ось и декартов базисный вектор е₁.

Это видно из треугольника PAB который

${\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}\quad \Rightarrow \quad |\mathbf {e} _{1}|=|\mathbf {b} _{1}|\cos \alpha }$

где |е₁|, |б₁| - величины двух базисных векторов, т. е. скалярные пересечения PB и PA. PA также является проекцией б₁ на Икс ось.

Однако этот метод преобразования базисных векторов с использованием направленные косинусы неприменимо к криволинейным координатам по следующим причинам:

1. Увеличивая расстояние от п, угол между изогнутой линией q¹ и декартова ось Икс все больше отклоняется от ${\displaystyle \alpha }$.
2. На расстоянии PB истинный угол - это то, что касательная в точке C формы с Икс ось и последний угол явно отличается от ${\displaystyle \alpha }$.

Углы, которые q¹ линия и форма этой оси с Икс ось становится ближе по значению, чем ближе она движется к точке п и сравняться с п.

Пусть точка E быть расположен очень близко к п, так близко, что расстояние PE бесконечно мала. потом PE измеряется на q¹ ось почти совпадает с PE измеряется на q¹ линия. В то же время соотношение ПД / ПЭ (PD являясь проекцией PE на Икс оси) становится почти точно равным ${\displaystyle \cos \alpha }$.

Пусть бесконечно малые перехваты PD и PE обозначены соответственно как dx и гq¹. потом

${\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}={\frac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}}$.

Таким образом, направленные косинусы могут быть заменены в преобразованиях с более точными отношениями между бесконечно малыми точками пересечения координат. Отсюда следует, что составляющая (проекция) б₁ на Икс ось

${\displaystyle p^{1}=\mathbf {b} _{1}\cdot {\cfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}=|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {e} _{1}|}}\cos \alpha =|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {dx}{dq^{1}}}\quad \Rightarrow \quad {\cfrac {p^{1}}{|\mathbf {b} _{1}|}}={\cfrac {dx}{dq^{1}}}}$.

Если q^я = q^я(Икс₁, Икс₂, Икс₃) и Икс_я = Икс_я(q¹, q², q³) находятся гладкий (непрерывно дифференцируемые) функции, коэффициенты трансформации могут быть записаны как ${\displaystyle {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{j}}}}$ и ${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}}$. То есть эти отношения частные производные координат, принадлежащих одной системе, относительно координат, принадлежащих другой системе.

Построение ковариантного базиса в трех измерениях

Проделав то же самое для координат в других двух измерениях, б₁ можно выразить как:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}}$

Аналогичные уравнения справедливы для б₂ и б₃ так что стандартный базис {е₁, е₂, е₃} преобразуется в локальный (упорядоченный и нормализованный) base {б₁, б₂, б₃} следующей системой уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{3}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$

Аналогичным образом можно получить обратное преобразование локального базиса в стандартный базис:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{2}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{3}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{3}\end{aligned}}}$

Якобиан преобразования

Вышесказанное системы линейных уравнений можно записать в матричной форме с использованием соглашения Эйнштейна о суммировании как

${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{k},\quad {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {e} _{k}}$.

Этот матрица коэффициентов линейной системы является Матрица якобиана (и его обратное) преобразования. Это уравнения, которые можно использовать для преобразования декартова базиса в криволинейный и наоборот.

В трех измерениях развернутые формы этих матриц имеют вид

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}}$

В обратном преобразовании (вторая система уравнений) неизвестными являются криволинейные базисные векторы. Для любого конкретного местоположения может существовать только один и только один набор базисных векторов (иначе базис не определен в этой точке). Это условие выполняется тогда и только тогда, когда система уравнений имеет единственное решение. В линейная алгебра, система линейных уравнений имеет единственное (нетривиальное) решение только в том случае, если определитель ее матрицы системы отличен от нуля:

${\displaystyle \det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0}$

что показывает обоснование указанного выше требования относительно обратного определителя Якоби.

Обобщение на п размеры

Формализм распространяется на любую конечную размерность следующим образом.

Рассмотрим настоящий Евклидово п-мерное пространство, то есть р^п = р × р × ... × р (п раз) где р это набор из действительные числа а × обозначает Декартово произведение, который является векторное пространство.

В координаты этого пространства можно обозначить как: Икс = (Икс₁, Икс₂,...,Икс_п). Поскольку это вектор (элемент векторного пространства), его можно записать как:

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}$

куда е¹ = (1,0,0...,0), е² = (0,1,0...,0), е³ = (0,0,1...,0),...,е^п = (0,0,0 ..., 1) - это стандартная основа набор векторов для космоса р^п, и я = 1, 2,...п это индекс маркировки компонентов. Каждый вектор имеет ровно один компонент в каждом измерении (или «оси»), и они взаимно ортогональный (перпендикуляр ) и нормализованный (имеет единичная величина ).

В более общем плане мы можем определить базисные векторы б_я так что они зависят от q = (q₁, q₂,...,q_п), т.е. они меняются от точки к точке: б_я = б_я(q). В этом случае определить ту же точку Икс с точки зрения этой альтернативной основы: координаты относительно этой основы v_я также обязательно зависят от Икс также, то есть v_я = v_я(Икс). Тогда вектор v в этом пространстве по отношению к этим альтернативным координатам и базисным векторам может быть расширено как линейная комбинация в этой основе (что просто означает умножение каждого базиса вектор е_я по номеру v_я – скалярное умножение ):

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}\mathbf {b} _{j}=\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}(\mathbf {q} )\mathbf {b} _{j}(\mathbf {q} )}$

Векторная сумма, описывающая v в новом базисе складываются разные векторы, хотя сама сумма остается прежней.

Преобразование координат

С более общей и абстрактной точки зрения криволинейная система координат - это просто координата патч на дифференцируемое многообразие E^п (n-мерный Евклидово пространство ) то есть диффеоморфный к Декартово координатный патч на коллекторе.^[3] Два диффеоморфных координатных пятна на дифференциальном многообразии не обязательно дифференцируемо перекрываются. С этим простым определением криволинейной системы координат все результаты, которые следуют ниже, представляют собой просто приложения стандартных теорем в дифференциальная топология.

Функции преобразования таковы, что существует взаимно однозначное отношение между точками в «старых» и «новых» координатах, то есть эти функции биекции, и выполнить следующие требования в пределах своих домены:

1. Они есть гладкие функции: q^я = q^я(Икс)
2. Обратное Якобиан детерминант

   ${\displaystyle J^{-1}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}\neq 0}$

   не равно нулю; это означает, что преобразование обратимый: Икс_я(q).

   согласно теорема об обратной функции. Условие, что определитель Якоби не равен нулю, отражает тот факт, что три поверхности из разных семейств пересекаются в одной и только одной точке и, таким образом, однозначно определяют положение этой точки.^[4]

Векторная и тензорная алгебра в трехмерных криволинейных координатах

Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.

Элементарная векторная и тензорная алгебра в криволинейных координатах используется в некоторых старых научных публикациях в механика и физика и может быть незаменим для понимания работ начала и середины 1900-х годов, например текста Грина и Зерны.^[5] В этом разделе приведены некоторые полезные соотношения из алгебры векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Огдена,^[6] Нагди,^[7] Симмондс,^[2] Грин и Зерна,^[5] Басар и Вайхерт,^[8] и Ciarlet.^[9]

Тензоры в криволинейных координатах

Основная статья: Тензоры в криволинейных координатах

Тензор второго порядка можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S^{i}{}_{j}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}{}^{j}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

куда ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$ обозначает тензорное произведение. Компоненты S^ij называются контравариантный составные части, S^я _j то смешанный правоковариантный составные части, S_я ^j то смешанный левоковариантный компоненты и S_ij то ковариантный компоненты тензора второго порядка. Компоненты тензора второго порядка связаны соотношением

${\displaystyle S^{ij}=g^{ik}S_{k}{}^{j}=g^{jk}S^{i}{}_{k}=g^{ik}g^{j\ell }S_{k\ell }}$

Метрический тензор в ортогональных криволинейных координатах

Основная статья: Метрический тензор

В каждой точке можно построить небольшой линейный элемент dИкс, поэтому квадрат длины линейного элемента - это скалярное произведение dИкс • dИкс и называется метрика из Космос, предоставленный:

${\displaystyle d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}}$.

Следующая часть приведенного выше уравнения

${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=g_{ij}(q^{i},q^{j})=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}}$

это симметричный тензор называется фундаментальный (или метрический) тензор из Евклидово пространство в криволинейных координатах.

Индексы могут быть поднял и опустил по метрике:

${\displaystyle v^{i}=g^{ik}v_{k}}$

Связь с коэффициентами Ламе

Определение масштабных коэффициентов час_я к

${\displaystyle h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}\quad \Rightarrow \quad h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}=\left|\mathbf {b} _{i}\right|=\left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|}$

дает связь между метрическим тензором и коэффициентами Ламе, а

${\displaystyle g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(h_{ki}\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(h_{mj}\mathbf {e} _{m}\right)=h_{ki}h_{kj}}$

куда час_ij - коэффициенты Ламе. Для ортогонального базиса также имеем:

${\displaystyle g=g_{11}g_{22}g_{33}=h_{1}^{2}h_{2}^{2}h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}=J}$

Пример: полярные координаты

Если рассматривать полярные координаты для р²,

${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}$

(r, θ) - криволинейные координаты, а определитель якобиана преобразования (р, θ) → (р cos θ, р sin θ) является р.

В ортогональный базисные векторы б_р = (cos θ, sin θ), б_θ = (−r sin θ, r cos θ). Коэффициенты масштабирования равны час_р = 1 и час_θ= р. Основной тензор грамм₁₁ =1, грамм₂₂ =р², грамм₁₂ = грамм₂₁ =0.

Переменный тензор

В ортонормированном правостороннем базисе третий порядок переменный тензор определяется как

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}}$

В общем криволинейном базисе тот же тензор можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}}$

Также можно показать, что

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}={\cfrac {1}{+{\sqrt {g}}}}\varepsilon _{ijk}}$

Символы Кристоффеля

Символы Кристоффеля первого вида ${\displaystyle \Gamma _{kij}}$

${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} ^{k}\Gamma _{kij}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i,j}=\Gamma _{kij}}$

где запятая означает частная производная (видеть Исчисление Риччи ). Чтобы выразить Γ_kij с точки зрения грамм_ij,

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{kij}+\Gamma _{ikj}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{kji}+\Gamma _{jki}\end{aligned}}}$

С

${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}}$

используя их для перестановки вышеуказанных отношений, получаем

${\displaystyle \Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]}$

Символы Кристоффеля второго рода ${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ji}}$

${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}=g^{kl}\Gamma _{lij}=\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{k}\Gamma ^{k}{}_{ij}}$

Отсюда следует, что

${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}\quad }$ поскольку ${\displaystyle \quad {\cfrac {\partial }{\partial q^{j}}}(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{k})=0}$.

Следующие далее отношения

${\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma ^{k}{}_{ij}\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

Векторные операции

1. Скалярное произведение:

   Скалярное произведение двух векторов в криволинейных координатах равно^{[2](стр. 32)}

   ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}}$

2. Перекрестный продукт:

   В перекрестное произведение двух векторов задается формулой^{[2](стр. 32–34)}

   ${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{ijk}{u}_{j}{v}_{k}\mathbf {e} _{i}}$

   куда ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ это символ перестановки и ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ - декартов базисный вектор. В криволинейных координатах эквивалентное выражение имеет вид

   ${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}$

   куда ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}}$ это переменный тензор третьего порядка.

Векторное и тензорное исчисление в трехмерных криволинейных координатах

Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.

Необходимо внести поправки в расчет линия, поверхность и объем интегралы. Для простоты нижеследующее ограничивается тремя измерениями и ортогональными криволинейными координатами. Однако те же аргументы применимы к п-мерные пространства. Когда система координат не ортогональна, в выражениях есть некоторые дополнительные члены.

Симмондс,^[2] в его книге о тензорный анализ, цитаты Альберт Эйнштейн говоря^[10]

Магия этой теории вряд ли перестанет привлекать к себе любого, кто действительно ее понял; он представляет собой подлинный триумф метода абсолютного дифференциального исчисления, основанного Гауссом, Риманом, Риччи и Леви-Чивита.

Векторное и тензорное исчисление в общих криволинейных координатах используется в тензорном анализе на четырехмерных криволинейных системах. коллекторы в общая теория относительности,^[11] в механика изогнутых снаряды,^[9] при изучении инвариантность свойства Уравнения Максвелла который был интересен метаматериалы^[12][13] и во многих других областях.

В этом разделе приведены некоторые полезные соотношения в исчислении векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Огдена,^[14] Симмондс,^[2] Грин и Зерна,^[5] Басар и Вайхерт,^[8] и Ciarlet.^[9]

Пусть φ = φ (Икс) - корректно определенное скалярное поле и v = v(Икс) строго определенное векторное поле, и λ₁, λ₂... быть параметрами координат

Геометрические элементы

1. Касательный вектор: Если Икс(λ) параметризует кривую C в декартовых координатах, то

   ${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }={\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda }=\left(h_{ki}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)\mathbf {b} _{k}}$

   является касательным вектором к C в криволинейных координатах (с помощью Правило цепи ). Используя определение коэффициентов Ламе и определение метрики грамм_ij = 0, когда я ≠ j, величина:

   ${\displaystyle \left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|={\sqrt {h_{ki}h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {g_{ij}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {h_{i}^{2}\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)^{2}}}}$

2. Касательная плоскость элемент: Если Икс(λ₁, λ₂) параметризует поверхность S в декартовых координатах, то следующее векторное произведение касательных векторов является нормальным вектором к S с величиной бесконечно малого элемента плоскости в криволинейных координатах. Используя результат выше,

   ${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}=\left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\times \left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)={\mathcal {E}}_{kmp}\left(h_{ki}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\left(h_{mj}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)\mathbf {b} _{p}}$

   куда ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ это символ перестановки. В детерминантной форме:

   ${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\h_{1i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{2i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{3i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}\\h_{1j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{2j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{3j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}\end{vmatrix}}}$

Интеграция

Оператор	Скалярное поле	Векторное поле
Линейный интеграл	${\displaystyle \int _{C}\varphi (\mathbf {x} )ds=\int _{a}^{b}\varphi (\mathbf {x} (\lambda ))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|d\lambda }$	${\displaystyle \int _{C}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot d\mathbf {s} =\int _{a}^{b}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda ))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right)d\lambda }$
Поверхностный интеграл	${\displaystyle \int _{S}\varphi (\mathbf {x} )dS=\iint _{T}\varphi (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right|d\lambda _{1}d\lambda _{2}}$	${\displaystyle \int _{S}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot dS=\iint _{T}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right)d\lambda _{1}d\lambda _{2}}$
Объемный интеграл	${\displaystyle \iiint _{V}\varphi (x,y,z)dV=\iiint _{V}\chi (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}}$	${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {u} (x,y,z)dV=\iiint _{V}\mathbf {v} (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}}$

Дифференциация

Выражения для градиента, дивергенции и лапласиана можно напрямую расширить до п-размеры, однако локон определяется только в 3d.

Векторное поле б_я касается q^я координатной кривой и образует натуральная основа в каждой точке кривой. Эта основа, как обсуждалось в начале этой статьи, также называется ковариантный криволинейное основание. Мы также можем определить взаимная основа, или же контравариантный криволинейное основание, б^я. Все алгебраические соотношения между базисными векторами, как обсуждалось в разделе о тензорной алгебре, применяются к естественному базису и его обратной величине в каждой точке. Икс.

Оператор	Скалярное поле	Векторное поле	Тензорное поле 2-го порядка
Градиент	${\displaystyle \nabla \varphi ={\cfrac {1}{h_{i}}}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}\mathbf {b} ^{i}}$	${\displaystyle \nabla \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}{\partial \mathbf {v} \over \partial q^{i}}\otimes \mathbf {b} _{i}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {S}}}{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}}$
Расхождение	Нет данных	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(v^{i}\prod _{j\neq i}h_{j})}$	${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {a} )}$ куда а - произвольный постоянный вектор. в криволинейных координатах ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}S_{il}\right]g^{ik}\mathbf {b} ^{j}}$
Лапласиан	${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {\prod _{j}h_{j}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{i}}}\right)}$
Завиток	Нет данных	Только для векторных полей в 3D, ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\mathbf {e} _{i}\epsilon _{ijk}h_{i}{\frac {\partial (h_{k}v_{k})}{\partial q^{j}}}}$ куда ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ это Символ Леви-Чивита.	Видеть Ротор тензорного поля

Фиктивные силы в общих криволинейных координатах

По определению, если частица без действующих на нее сил имеет свое положение, выраженное в инерциальной системе координат, (Икс₁, Икс₂, Икс₃, т), то там не будет разгона (d²Икс_j/ дт² = 0).^[15] В этом контексте система координат может не быть «инерционной» либо из-за непрямолинейной оси времени, либо из-за непрямых пространственных осей (или того и другого). Другими словами, базисные векторы координат могут изменяться во времени в фиксированных положениях, или они могут меняться в зависимости от положения в фиксированные моменты времени, или и то, и другое. Когда уравнения движения выражаются в терминах любой неинерциальной системы координат (в этом смысле), появляются дополнительные члены, называемые символами Кристоффеля. Строго говоря, эти термины представляют компоненты абсолютного ускорения (в классической механике), но мы также можем продолжить рассмотрение d²Икс_j/ дт² как ускорение (как если бы координаты были инерционными) и относитесь к дополнительным членам, как если бы они были силами, и в этом случае они называются фиктивными силами.^[16] Составляющая любой такой фиктивной силы, нормальная к траектории частицы и в плоскости кривизны траектории, затем называется центробежная сила.^[17]

Этот более общий контекст проясняет соответствие между концепциями центробежной силы в вращающиеся системы координат и в стационарных криволинейных системах координат. (Обе эти концепции часто встречаются в литературе.^[18][19][20]) В качестве простого примера рассмотрим частицу массы м движение по кругу радиуса р с угловой скоростью ш относительно системы полярных координат, вращающейся с угловой скоростью W. Радиальное уравнение движения: Мистер” = F_р + Мистер(ш + W)². Таким образом, центробежная сила равна Мистер умножить на квадрат абсолютной скорости вращения А = ш + W частицы. Если выбрать систему координат, вращающуюся со скоростью частицы, то W = А и ш = 0, и в этом случае центробежная сила равна MRA², а если выбрать стационарную систему координат, мы имеем W = 0 и ш = А, в этом случае центробежная сила снова равна MRA². Причина такого равенства результатов в том, что в обоих случаях базисные векторы в местоположении частицы меняются во времени одинаково. Следовательно, на самом деле это всего лишь два разных способа описания одного и того же: одно описание ведется в терминах вращающихся координат, а другое - в терминах стационарных криволинейных координат, причем оба из них не инерционны в соответствии с более абстрактным значением этого термина. .

При описании общего движения действительные силы, действующие на частицу, часто относятся к мгновенной соприкасающейся окружности, касательной к траектории движения, и эта окружность в общем случае не центрирована в фиксированном месте, и поэтому разложение на центробежную и кориолисову комплектующие постоянно меняются. Это верно независимо от того, описывается ли движение в терминах стационарных или вращающихся координат.

Смотрите также

• Ковариация и контравариантность
• Введение в математику общей теории относительности
• Ортогональные координаты
• Формулы Френе – Серре
• Ковариантная производная
• Тензорная производная (механика сплошной среды)
• Криволинейная перспектива
• Del в цилиндрических и сферических координатах

Рекомендации

1. J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co. ISBN  0-7167-0344-0.
2. Симмондс, Дж. Г. (1994). Краткое описание тензорного анализа. Springer. ISBN  0-387-90639-8.
3. Бутби, В. М. (2002). Введение в дифференциальные многообразия и риманову геометрию (переработанная ред.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Academic Press.
4. МакКоннелл, А. Дж. (1957). Применение тензорного анализа. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. Ch. 9, сек. 1. ISBN  0-486-60373-3.
5. Green, A.E .; Зерна, В. (1968). Теоретическая эластичность. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-853486-8.
6. Огден, Р. В. (2000). Нелинейные упругие деформации. Дувр.
7. Нагди, П. М. (1972). «Теория оболочек и пластин». В С. Флюгге (ред.). Справочник по физике. VIa / 2. С. 425–640.
8. Basar, Y .; Вейхерт, Д. (2000). Численная механика сплошной среды твердого тела: фундаментальные концепции и перспективы. Springer.
9. Чиарлет, П. Г. (2000). Теория оболочек. 1. Elsevier Science.
10. Эйнштейн, А. (1915). «Вклад в общую теорию относительности». В Laczos, C. (ред.). Десятилетие Эйнштейна. п. 213. ISBN  0-521-38105-3.
11. Misner, C.W .; Thorne, K. S .; Уиллер, Дж. А. (1973). Гравитация. W.H. Freeman and Co. ISBN  0-7167-0344-0.
12. Greenleaf, A .; Lassas, M .; Ульманн, Г. (2003). «Анизотропные проводимости, которые не могут быть обнаружены EIT». Физиологическое измерение. 24 (2): 413–419. Дои:10.1088/0967-3334/24/2/353. PMID  12812426.
13. Leonhardt, U .; Филбин, Т. (2006). «Общая теория относительности в электротехнике». Новый журнал физики. 8 (10): 247. arXiv:cond-mat / 0607418. Дои:10.1088/1367-2630/8/10/247.
14. Огден
15. Фридман, Майкл (1989). Основы теорий пространства-времени. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-07239-6.
16. Стоммел, Генри М .; Мур, Деннис В. (1989). Введение в силу Кориолиса. Издательство Колумбийского университета. ISBN  0-231-06636-8.
17. Пиво; Джонстон (1972). Статика и динамика (2-е изд.). Макгроу – Хилл. п. 485. ISBN  0-07-736650-6.
18. Хильдебранд, Фрэнсис Б. (1992). Методы прикладной математики. Дувр. п.156. ISBN  0-13-579201-0.
19. Маккуорри, Дональд Аллан (2000). Статистическая механика. Книги университетских наук. ISBN  0-06-044366-9.
20. Вебер, Ханс-Юрген; Арфкен, Джордж Браун (2004). Основные математические методы для физиков. Академическая пресса. п. 843. ISBN  0-12-059877-9.

дальнейшее чтение

• Шпигель, М. Р. (1959). Векторный анализ. Нью-Йорк: серия набросков Шаума. ISBN  0-07-084378-3.
• Арфкен, Джордж (1995). Математические методы для физиков. Академическая пресса. ISBN  0-12-059877-9.

внешняя ссылка

• Planetmath.org Вывод единичных векторов в криволинейных координатах
• Страница MathWorld о криволинейных координатах
• Электронная книга профессора Р. Браннона по криволинейным координатам
• Викиверситет: Введение в эластичность / тензоры # Дивергенция тензорного поля – Викиверситет, Введение в эластичность / Тензоры.