Ковариантное преобразование - Covariant transformation

В физика, а ковариантное преобразование это правило, определяющее, как определенные объекты, такие как векторов или же тензоры, изменить под изменение основы. Преобразование, описывающее новое базисные векторы как линейная комбинация старых базисных векторов определенный как ковариантное преобразование. Условно индексы, идентифицирующие базисные векторы, размещаются как более низкие показатели как и все сущности, которые трансформируются одинаково. Обратным к ковариантному преобразованию является контравариантный трансформация. Когда вектор должен быть инвариантный при изменении основы, то есть он должен представлять тот же геометрический или физический объект, имеющий ту же величину и направление, что и раньше, его составные части должны трансформироваться согласно правилу контраварианта. Обычно индексы, идентифицирующие компоненты вектора, размещаются как верхние индексы как и все индексы сущностей, которые трансформируются одинаково. Сумма по индексам попарного совпадения продукта с одинаковыми нижним и верхним индексами равна инвариантный под трансформацией.

Сам вектор - это геометрическая величина, в принципе не зависящая (инвариантная) от выбранного базиса. Вектор v дается, скажем, в компонентах v^я на выбранной основе е_я. На другом основании, скажем е′_j, тот же вектор v имеет разные компоненты v′^j и

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i}v^{i}{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j}{v'\,}^{j}\mathbf {e} '_{j}.}$

Как вектор, v должен быть инвариантным к выбранной системе координат и независимым от любого выбранного базиса, то есть его «реальное» направление и величина должны быть одинаковыми независимо от базисных векторов. Если выполнить замену базиса преобразованием векторов е_я в базисные векторы е_j, мы также должны убедиться, что компоненты v^я преобразовать в новые компоненты v^j компенсировать.

Необходимая трансформация v называется контравариантное преобразование правило.

• 

  Вектор v, и локальные касательные базисные векторы {е_Икс, е_у} и {е_р, е_φ} .

• 

  Координатные представления v.

В показанном примере вектор ${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i\in \{x,y\}}v^{i}{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j\in \{r,\phi \}}{v'\,}^{j}\mathbf {e} '_{j}.}$ описывается двумя разными системами координат: прямоугольной системой координат (черная сетка) и радиальной системой координат (красная сетка). Базовые векторы выбраны для обеих систем координат: е_Икс и е_у для прямоугольной системы координат и е_р и е_φ для радиальной системы координат. Радиальные базисные векторы е_р и е_φ кажутся повернутыми против часовой стрелки относительно прямоугольных базисных векторов е_Икс и е_у. В ковариантное преобразование, выполняется по отношению к базисным векторам, таким образом, происходит вращение против часовой стрелки, вращающееся от первых базисных векторов ко вторым базисным векторам.

Координаты v необходимо преобразовать в новую систему координат, но вектор v Сам по себе как математический объект остается независимым от выбранного базиса, кажется, что он указывает в том же направлении и с той же величиной, инвариантным к изменению координат. Контравариантное преобразование обеспечивает это, компенсируя вращение между различными основаниями. Если мы рассмотрим v из контекста радиальной системы координат кажется, что он повернут больше по часовой стрелке от базисных векторов е_р и е_φ. по сравнению с тем, как это выглядело относительно прямоугольных базисных векторов е_Икс и е_у. Таким образом, необходимое контравариантное преобразование к v в этом примере - вращение по часовой стрелке.

Примеры ковариантного преобразования

Производная функции ковариантно преобразуется

Явный вид ковариантного преобразования лучше всего вводить с помощью свойств преобразования производной функции. Рассмотрим скалярную функцию ж (например, температура в определенном месте в пространстве), определенная наборе точек п, идентифицируемые в данной системе координат ${\displaystyle x^{i},\;i=0,1,\dots }$ (такая коллекция называется многообразие ). Если мы примем новую систему координат ${\displaystyle {x'}^{j},j=0,1,\dots }$ затем для каждого я, исходная координата ${\displaystyle {x}^{i}}$ можно выразить как функцию новых координат, поэтому ${\displaystyle x^{i}\left({x'}^{j}\right),j=0,1,\dots }$ Можно выразить производную от ж в старых координатах через новые координаты, используя Правило цепи производной, как

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {x}^{i}}}={\frac {\partial f}{\partial {x'}^{j}}}\;{\frac {\partial {x'}^{j}}{\partial {x}^{i}}}}$

Это явная форма ковариантное преобразование правило. В обозначении нормальной производной по координатам иногда используется запятая, как показано ниже.

${\displaystyle f_{,i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$

где индекс я помещается как нижний индекс из-за ковариантного преобразования.

Базисные векторы преобразуются ковариантно

Вектор можно выразить с помощью базисных векторов. Для определенной системы координат мы можем выбрать векторы, касательные к координатной сетке. Этот базис называется координатным.

Чтобы проиллюстрировать свойства трансформации, снова рассмотрим набор точек п, идентифицируемые в данной системе координат ${\displaystyle x^{i}}$ куда ${\displaystyle i=0,1,\dots }$ (многообразие ). Скалярная функция ж, который присваивает каждой точке действительное число п в этом пространстве является функцией координат ${\displaystyle f\;\left(x^{0},x^{1},\dots \right)}$. Кривая - это однопараметрический набор точек c, скажем, с параметром кривой λ, c(λ). Касательный вектор v к кривой - производная ${\displaystyle dc/d\lambda }$ по кривой с производной, взятой в точке п на рассмотрении. Обратите внимание, что мы можем видеть касательный вектор v как оператор (в производная по направлению), который можно применить к функции

${\displaystyle \mathbf {v} [f]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {df}{d\lambda }}={\frac {d\;\;}{d\lambda }}f(c(\lambda ))}$

Параллель между касательным вектором и оператором также может быть вычислена в координатах

${\displaystyle \mathbf {v} [f]={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$

или с точки зрения операторов ${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {\partial \;\;}{\partial x^{i}}}={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}\mathbf {e} _{i}}$

где мы написали ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial /\partial x^{i}}$, касательные векторы к кривым, которые являются просто координатной сеткой.

Если мы примем новую систему координат ${\displaystyle {x'}^{i},\;i=0,1,\dots }$ затем для каждого я, старая координата ${\displaystyle {x^{i}}}$ можно выразить как функцию новой системы, поэтому ${\displaystyle x^{i}\left({x'}^{j}\right),j=0,1,\dots }$Позволять ${\displaystyle \mathbf {e} '_{i}={\partial }/{\partial {x'}^{i}}}$ быть базисными касательными векторами в этой новой системе координат. Мы можем выразить ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ в новой системе, применив Правило цепи на Икс. В зависимости от координат находим следующее преобразование

${\displaystyle \mathbf {e} '_{i}={\frac {\partial }{\partial {x'}^{i}}}={\frac {\partial x^{j}}{\partial {x'}^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}={\frac {\partial x^{j}}{\partial {x'}^{i}}}\mathbf {e} _{j}}$

что действительно совпадает с ковариантным преобразованием производной функции.

Контравариантное преобразование

В составные части (касательного) векторного преобразования другим способом, называемым контравариантным преобразованием. Рассмотрим касательный вектор v и назовем его компоненты ${\displaystyle v^{i}}$ на основе ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$. На другом основании ${\displaystyle \mathbf {e} '_{i}}$ мы называем компоненты ${\displaystyle {v'}^{i}}$, так

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}={v'}^{i}\mathbf {e} '_{i}}$

в котором

${\displaystyle v^{i}={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}\;{\mbox{ and }}\;{v'}^{i}={\frac {d{x'}^{i}}{d\lambda }}}$

Если мы выразим новые компоненты через старые, тогда

${\displaystyle {v'}^{i}={\frac {d{x'}^{i}}{d\lambda \;\;}}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{j}}}{v}^{j}}$

Это явная форма преобразования, называемого контравариантное преобразование и мы отмечаем, что это другое и просто обратное ковариантному правилу. Чтобы отличить их от ковариантных (касательных) векторов, сверху ставится индекс.

Дифференциальные формы преобразуются контравариантно

Пример контравариантного преобразования дается дифференциальная форма df. За ж как функция координат ${\displaystyle x^{i}}$, df можно выразить через ${\displaystyle dx^{i}}$. Дифференциалы dx преобразовать по контравариантному правилу, поскольку

${\displaystyle d{x'}^{i}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial {x}^{j}}}{dx}^{j}}$

Двойные свойства

Сущности, которые преобразуются ковариантно (например, базисные векторы), и сущности, которые преобразуются контравариантно (например, компоненты векторных и дифференциальных форм), «почти одинаковы», но все же они разные. У них есть «двойственные» свойства. То, что за этим стоит, математически известно как двойное пространство который всегда сочетается с заданным линейным векторное пространство.

Возьмем любое векторное пространство T. Функция ж на T называется линейным, если для любых векторов v, ш и скаляр α:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} )\\f(\alpha \mathbf {v} )&=\alpha f(\mathbf {v} )\end{aligned}}}$

Простым примером является функция, которая присваивает вектору значение одного из его компонентов (называемого функция проекции). Он имеет вектор в качестве аргумента и присваивает действительное число, значение компонента.

Все такие скалярный линейные функции вместе образуют векторное пространство, называемое двойное пространство Т. Сумма ж + г снова является линейной функцией для линейного ж и грамм, и то же самое верно для скалярного умножения αж.

Учитывая основу ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ для T мы можем определить базис, называемый двойная основа для двойственного пространства естественным образом, взяв набор линейных функций, упомянутых выше: функции проекции. Каждая функция проекции (индексированная ω) дает число 1 при применении к одному из базисных векторов ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$. Например, ${\displaystyle \omega ^{0}}$ ставит 1 на ${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$ и ноль в других местах. Применение этой линейной функции ${\displaystyle {\omega }^{0}}$ к вектору ${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}}$, дает (используя его линейность)

${\displaystyle \omega ^{0}(\mathbf {v} )=\omega ^{0}(v^{i}\mathbf {e} _{i})=v^{i}\omega ^{0}(\mathbf {e} _{i})=v^{0}}$

так что просто значение первой координаты. По этой причине он называется функция проекции.

Есть столько же дуальных базисных векторов ${\displaystyle \omega ^{i}}$ поскольку есть базисные векторы ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$, поэтому двойственное пространство имеет ту же размерность, что и само линейное пространство. Это «почти такое же пространство», за исключением того, что элементы дуального пространства (называемого двойные векторы) преобразуются ковариантно, а элементы касательного векторного пространства преобразуются контравариантно.

Иногда вводятся дополнительные обозначения, где действительное значение линейной функции σ на касательном векторе ты дается как

${\displaystyle \sigma [\mathbf {u} ]:=\langle \sigma ,\mathbf {u} \rangle }$

куда ${\displaystyle \langle \sigma ,\mathbf {u} \rangle }$ это действительное число. Это обозначение подчеркивает билинейность формы. Он линейен по σ, так как это линейная функция, и она линейна по ты поскольку это элемент векторного пространства.

Ко- и контравариантные компоненты тензора

Без координат

А тензор из тип (р, s) можно определить как действительную полилинейную функцию от р двойственные векторы и s векторов. Поскольку векторы и двойственные векторы могут быть определены независимо от системы координат, тензор, определенный таким образом, не зависит от выбора системы координат.

Обозначение тензора:

${\displaystyle {\begin{aligned}&T\left(\sigma ,\ldots ,\rho ,\mathbf {u} ,\ldots ,\mathbf {v} \right)\\\equiv {}&{T^{\sigma \ldots \rho }}_{\mathbf {u} \ldots \mathbf {v} }\end{aligned}}}$

для двойственных векторов (дифференциальных форм) ρ, σ и касательные векторы ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$. Во второй записи различие между векторами и дифференциальными формами более очевидно.

С координатами

Поскольку тензор линейно зависит от своих аргументов, он полностью определяется, если известны значения на основе ${\displaystyle \omega ^{i}\ldots \omega ^{j}}$ и ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\ldots \mathbf {e} _{l}}$

${\displaystyle T(\omega ^{i},\ldots ,\omega ^{j},\mathbf {e} _{k}\ldots \mathbf {e} _{l})={T^{i\ldots j}}_{k\ldots l}}$

Цифры ${\displaystyle {T^{i\ldots j}}_{k\ldots l}}$ называются компоненты тензора на выбранном базисе.

Если мы выберем другой базис (который представляет собой линейную комбинацию исходного базиса), мы сможем использовать линейные свойства тензора и обнаружим, что компоненты тензора в верхних индексах преобразуются как двойственные векторы (так контравариантные), тогда как нижние индексы преобразуются как базис касательных векторов и, таким образом, ковариантны. Для тензора ранга 2 можно проверить, что

${\displaystyle {A'}_{ij}={\frac {\partial x^{l}}{\partial {x'}^{i}}}{\frac {\partial x^{m}}{\partial {x'}^{j}}}A_{lm}}$ ковариантный тензор

${\displaystyle {A'\,}^{ij}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{l}}}{\frac {\partial {x'}^{j}}{\partial x^{m}}}A^{lm}}$ контравариантный тензор

Для смешанного ко- и контравариантного тензора ранга 2

${\displaystyle {A'\,}^{i}{}_{j}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{l}}}{\frac {\partial x^{m}}{\partial {x'}^{j}}}A^{l}{}_{m}}$ смешанный ко- и контравариантный тензор

Смотрите также

• Ковариация и контравариантность векторов
• Общая ковариация
• Ковариация Лоренца