Тензор напряженности глюонного поля - Gluon field strength tensor

Дальнейшая информация: Исчисление Риччи, Специальная унитарная группа, и Квантовая хромодинамика

В теоретический физика элементарных частиц, то тензор напряженности глюонного поля это второй порядок тензорное поле характеризуя глюон взаимодействие между кварки.

В сильное взаимодействие один из фундаментальные взаимодействия природы и квантовая теория поля (QFT) для его описания называется квантовая хромодинамика (QCD). Кварки взаимодействуют друг с другом сильной силой из-за их цветной заряд, опосредованный глюонами. Сами глюоны обладают цветным зарядом и могут взаимодействовать друг с другом.

Тензор напряженности глюонного поля есть классифицировать 2 тензорное поле на пространство-время со значениями в сопряженный пучок хромодинамической SU (3) группа датчиков (видеть векторный набор для необходимых определений).

соглашение

В этой статье латинские индексы (обычно а, б, c, п) принимают значения 1, 2, ..., 8 для восьмиглюонной цветные обвинения, а греческие индексы (обычно α, β, μ, ν) принимают значения 0 для времениподобных компонентов и 1, 2, 3 для пространственноподобных компонентов четырехвекторный и четырехмерные тензоры пространства-времени. Во всех уравнениях соглашение о суммировании используется для всех цветовых и тензорных индексов, если в тексте явно не указано, что не нужно брать сумму (например, «нет суммы»).

Определение

Ниже определения (и большинство обозначений) следуют К. Яги, Т. Хацуда, Ю. Миаке.^[1] и Грейнер, Шефер.^[2]

Тензорные компоненты

Тензор обозначается грамм, (или же F, Fили какой-либо вариант), и в нем определены компоненты пропорциональный к коммутатор кварка ковариантная производная D_μ:^[2][3]

${\displaystyle G_{\alpha \beta }=\pm {\frac {1}{ig_{s}}}[D_{\alpha },D_{\beta }]\,,}$

куда:

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }\pm ig_{s}t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\,,}$

в котором

• я это мнимая единица;
• грамм_s это константа связи сильной силы;
• т_а = λ_а/2 являются Матрицы Гелл-Манна λ_а делится на 2;
• а это индекс цвета в присоединенное представительство из SU (3) которые принимают значения 1, 2, ..., 8 для восьми генераторов группы, а именно Матрицы Гелл-Манна;
• μ - пространственно-временной индекс, 0 для времениподобных компонентов и 1, 2, 3 для пространственноподобных компонентов;
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }=t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}}$ выражает глюонное поле, а вращение -1 калибровочное поле или, говоря дифференциально-геометрическим языком, связь в СУ (3) основной пакет;
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }}$ являются его четырьмя (зависимыми от системы координат) компонентами, которые в фиксированной калибровке 3×3 бесследный Эрмитова матрица -значные функции, а ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}}$ 32 года действительные функции, четыре компонента для каждого из восьми четырехвекторных полей.

Разные авторы выбирают разные знаки.

Расширение коммутатора дает;

${\displaystyle G_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }\pm ig_{s}[{\mathcal {A}}_{\alpha },{\mathcal {A}}_{\beta }]}$

Подстановка ${\displaystyle t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}={\mathcal {A}}_{\alpha }}$ и используя коммутационное отношение ${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=if_{ab}{}^{c}t_{c}}$ для матриц Гелл-Манна (с переименованием индексов), в которых ж^abc являются структурные константы SU (3) каждую из компонент напряженности глюонного поля можно выразить как линейная комбинация матриц Гелл-Манна следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=\partial _{\alpha }t_{a}{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm ig_{s}\left[t_{b},t_{c}\right]{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\\&=t_{a}\left(\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm i^{2}f_{bc}{}^{a}g_{s}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\right)\\&=t_{a}G_{\alpha \beta }^{a}\\\end{aligned}}\,,}$

так что:^[4][5]

${\displaystyle G_{\alpha \beta }^{a}=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\mp g_{s}f^{a}{}_{bc}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\,,}$

где снова а, б, в = 1, 2, ..., 8 - показатели цвета. Как и в случае с глюонным полем, в определенной системе координат и фиксированной калибровке грамм_αβ находятся 3×3 бесследные эрмитовы матричнозначные функции, а грамм^а_αβ являются вещественными функциями, составляющими восьми четырехмерных тензорных полей второго порядка.

Дифференциальные формы

Цветовое поле глюонов можно описать на языке дифференциальные формы, в частности, как присоединенная расслоенная кривизна 2-форма (заметим, что слои присоединенного расслоения - это вс(3) Алгебра Ли );

${\displaystyle \mathbf {G} =\mathrm {d} {\boldsymbol {\mathcal {A}}}\mp g_{s}\,{\boldsymbol {\mathcal {A}}}\wedge {\boldsymbol {\mathcal {A}}}\,,}$

куда ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {A}}}}$ - глюонное поле, a векторный потенциал 1-форма, соответствующая грамм и ∧ является (антисимметричным) клин этой алгебры, производя структурные константы ж^abc. В Картан -производная формы поля (то есть по существу дивергенция поля) была бы равна нулю в отсутствие «глюонных членов», т.е. ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {A}}}}$ которые представляют собой неабелев характер SU (3).

Более математически формальный вывод тех же идей (но с немного измененной настройкой) можно найти в статье о метрические соединения.

Сравнение с электромагнитным тензором

Это почти аналогично тензор электромагнитного поля (также обозначается F ) в квантовая электродинамика, предоставленный электромагнитный четырехпотенциальный А описание спина-1 фотон;

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,,}$

или на языке дифференциальных форм:

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} \,.}$

Ключевое различие между квантовой электродинамикой и квантовой хромодинамикой состоит в том, что в напряженности глюонного поля есть дополнительные члены, которые приводят к самовзаимодействие между глюонами и асимптотическая свобода. Это осложнение сильного взаимодействия, которое по своей сути нелинейный, вопреки линейной теории электромагнитной силы. QCD - это неабелева калибровочная теория. Слово неабелев в теоретико-групповой язык означает, что групповая операция не коммутативный, что делает соответствующую алгебру Ли нетривиальной.

Плотность лагранжиана КХД

Смотрите также: Классическая теория поля

Характерная для теорий поля динамика напряженности поля резюмируется подходящей Плотность лагранжиана и подстановка в Уравнение Эйлера – Лагранжа. (для полей) получает уравнение движения для поля. Плотность лагранжиана для безмассовых кварков, связанных глюонами, равна:^[2]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(G_{\alpha \beta }G^{\alpha \beta }\right)+{\bar {\psi }}\left(iD_{\mu }\right)\gamma ^{\mu }\psi }$

где "tr" означает след из 3×3 матрица грамм_αβграмм^αβ, и γ^μ являются 4×4 гамма-матрицы. В фермионном члене ${\displaystyle i{\bar {\psi }}\left(iD_{\mu }\right)\gamma ^{\mu }\psi }$, как цветовые, так и спинорные индексы подавляются. С явными индексами ${\displaystyle \psi _{i,\alpha }}$ куда ${\displaystyle i=1,\ldots ,3}$ индексы цвета и ${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,4}$ - спинорные индексы Дирака.

Калибровочные преобразования

Основная статья: Калибровочная теория

В отличие от КЭД тензор напряженности глюонного поля сам по себе не является калибровочно-инвариантным. Калибровочно инвариантно только произведение двух, сжатых по всем индексам.

Уравнения движения

Рассматриваемые как классическая теория поля, уравнения движения для^[1] кварковые поля:

${\displaystyle (i\hbar \gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc)\psi =0}$

что похоже на Уравнение Дирака, а уравнения движения для глюонных (калибровочных) полей:

${\displaystyle \left[D_{\mu },G^{\mu \nu }\right]=g_{s}j^{\nu }}$

которые похожи на Уравнения Максвелла (при записи в тензорной записи). В частности, это Уравнения Янга – Миллса для кварковых и глюонных полей. В цветной заряд четырехтоковый является источником тензора напряженности глюонного поля, аналогичного электромагнитному четырехканальный как источник электромагнитного тензора. Это дается

${\displaystyle j^{\nu }=t^{b}j_{b}^{\nu }\,,\quad j_{b}^{\nu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }t^{b}\psi ,}$

который является сохраняющимся током, поскольку сохраняется цветной заряд. Другими словами, цветная четверка должна удовлетворять уравнение неразрывности:

${\displaystyle D_{\nu }j^{\nu }=0\,.}$

Смотрите также

• Удержание кварка
• Матрицы Гелл-Манна
• Поле (физика)
• Поле Янга – Миллса
• Восьмеричный путь (физика)
• Тензор Эйнштейна
• Петля Вильсона
• Датчик Весса – Зумино
• Энергия связи квантовой хромодинамики
• Исчисление Риччи
• Специальная унитарная группа

Рекомендации

Примечания

1. Яги, К .; Hatsuda, T .; Миаке, Ю. (2005). Кварк-глюонная плазма: от большого до маленького взрыва. Кембриджские монографии по физике элементарных частиц, ядерной физике и космологии. 23. Издательство Кембриджского университета. С. 17–18. ISBN  978-0-521-561-082.
2. Greiner, W .; Шефер, Г. (1994). "4". Квантовая хромодинамика. Springer. ISBN  978-3-540-57103-2.
3. Bilson-Thompson, S.O .; Leinweber, D.B .; Уильямс, А.Г. (2003). «Сильно улучшенный тензор напряженности поля на решетке». Анналы физики. 304 (1): 1–21. arXiv:hep-lat / 0203008. Bibcode:2003AnPhy.304 .... 1B. Дои:10.1016 / с0003-4916 (03) 00009-5. S2CID  119385087.
4. М. Эйдемюллер; Х. Г. Дош; М. Жамин (2000) [1999]. «Коррелятор напряженности поля из правил сумм КХД». Nucl. Phys. B Proc. Suppl. 86. Гейдельберг, Германия. С. 421–425. arXiv:hep-ph / 9908318. Bibcode:2000НуФС..86..421Э. Дои:10.1016 / S0920-5632 (00) 00598-3.
5. М. Шифман (2012). Продвинутые темы квантовой теории поля: курс лекций. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521190848.

дальнейшее чтение

Книги

• Х. Фрицш (1982). Кварки: вещество материи. Аллен переулок. ISBN  978-0-7139-15334.
• Б.Р. Мартин; Г. Шоу (2009). Физика элементарных частиц. Серия Manchester Physics (3-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-470-03294-7.
• С. Саркар; Х. Сац; Б. Синха (2009). Физика кварк-глюонной плазмы: вводные лекции. Springer. ISBN  978-3642022852.
• Дж. Тхань Ван Тран (редактор) (1987). Адроны, кварки и глюоны: материалы адронной сессии двадцать второй Rencontre de Moriond, Les Arcs-Savoie-France. Atlantica Séguier Frontières. ISBN  978-2863320488.
• Р. Алькофер; Х. Рейнхарт (1995). Киральная кварковая динамика. Springer. ISBN  978-3540601371.
• К. Чанг (2008). Адронное производство ψ(2S) Поперечное сечение и поляризация. ISBN  978-0549597742.
• Дж. Коллинз (2011). Основы пертурбативной КХД. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521855334.
• W.N.A. Коттингем; D.A.A. Гринвуд (1998). Стандартная модель физики элементарных частиц. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521588324.

Избранные статьи

• J.P. Maa; Q. Wang; Г.П. Чжан (2012). "КХД-эволюции кирально-нечетных операторов твист-3". Письма по физике B. 718 (4–5): 1358–1363. arXiv:1210.1006. Bibcode:2013ФЛБ..718.1358М. Дои:10.1016 / j.physletb.2012.12.007. S2CID  118575585.
• М. Д’Элия, А. Ди Джакомо, Э. Меггиоларо (1997). «Корреляторы напряженности поля в полной КХД». Письма по физике B. 408 (1–4): 315–319. arXiv:геп-лат / 9705032. Bibcode:1997ФЛБ..408..315Д. Дои:10.1016 / S0370-2693 (97) 00814-9. S2CID  119533874.
• А. Ди Джакомо; М. Д'Элия; Х. Панагопулос; Э. Меггиоларо (1998). "Калибровочно-инвариантные корреляторы напряженности поля в КХД". arXiv:геп-лат / 9808056.
• М. Нойберт (1993). «Теорема вириала для кинетической энергии тяжелого кварка внутри адронов». Письма по физике B. 322 (4): 419–424. arXiv:hep-ph / 9311232. Bibcode:1994ФЛБ..322..419Н. Дои:10.1016/0370-2693(94)91174-6. S2CID  14214029.
• М. Нойберт; Н. Брамбилла; Х. Г. Дош; А. Вайро (1998). «Корреляторы напряженности поля и двойная эффективная динамика в КХД». Физический обзор D. 58 (3): 034010. arXiv:hep-ph / 9802273. Bibcode:1998ПхРвД..58с4010Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.58.034010. S2CID  1824834.
• М. Нойберт (1996). "Расчет кинетической энергии и хромовзаимодействия тяжелых кварков внутри мезонов с помощью правила сумм КХД" (PDF). Письма по физике B.

внешняя ссылка

• К. Эллис (2005). «QCD» (PDF). Фермилаб. Архивировано 26 сентября 2006 года.
• "Глава 2: Лагранжиан КХД" (PDF). Technische Universität München. Получено 2013-10-17.