Уравнение Эйлера – Лагранжа. - Euler–Lagrange equation

в вариационное исчисление, то Уравнение Эйлера^[1] второго порядка уравнение в частных производных чьи решения являются функции для которых данный функциональный является стационарный. Его разработал швейцарский математик. Леонард Эйлер и итальянский математик Жозеф-Луи Лагранж в 1750-х гг.

Поскольку дифференцируемый функционал стационарен на своем локальном экстремумы, уравнение Эйлера – Лагранжа полезно для решения оптимизация задачи, в которых, имея некоторый функционал, ищут функцию, минимизирующую или максимизирующую его. Это аналогично Теорема Ферма в исчисление, утверждая, что в любой точке, где дифференцируемая функция достигает локального экстремума, ее производная равно нулю.

В Лагранжева механика, в соответствии с Принцип Гамильтона стационарного действия эволюция физической системы описывается решениями уравнения Эйлера для действие системы. В этом контексте уравнения Эйлера обычно называют Уравнения Лагранжа. В классическая механика, это эквивалентно Законы движения Ньютона, но у него есть то преимущество, что он принимает ту же форму в любой системе обобщенные координаты, и он лучше подходит для обобщений. В классическая теория поля существует аналогичное уравнение рассчитать динамику поле.

История

Уравнение Эйлера – Лагранжа было разработано в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем в связи с их исследованиями таутохрона проблема. Это проблема определения кривой, на которой взвешенная частица упадет в фиксированную точку за фиксированный промежуток времени, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту проблему в 1755 году и отправил решение Эйлеру. Оба далее развили метод Лагранжа и применили его к механика, что привело к формулировке Лагранжева механика. Их переписка в конечном итоге привела к вариационное исчисление, термин, введенный самим Эйлером в 1766 году.^[2]

Заявление

Уравнение Эйлера – Лагранжа - это уравнение, которому удовлетворяет функция qиз настоящий аргумент т, которая является стационарной точкой функциональный

${\displaystyle \displaystyle S({\boldsymbol {q}})=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,\mathrm {d} t}$

куда:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ это функция, которую нужно найти:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {q}}\colon [a,b]\subset \mathbb {R} &\to X\\t&\mapsto x={\boldsymbol {q}}(t)\end{aligned}}}$

такой, что ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ дифференцируема, ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}}$, и ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}}$.

• ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {q}}}}$ является производной от ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}\colon [a,b]&\to T_{q}X\\t&\mapsto v={\dot {q}}(t).\end{aligned}}}$

${\displaystyle T_{q}X}$ обозначает касательное расслоение к ${\displaystyle X}$ по кривой ${\displaystyle q}$, (непересекающееся) объединение всех касательных пространств ${\displaystyle T_{q(t)}X}$ (видеть касательное пространство ) к ${\displaystyle X}$ в точках ${\displaystyle \{q(t)~\forall t\}}$ кривой ${\displaystyle q}$.

• ${\displaystyle L}$ является действительной функцией с непрерывный первый частные производные:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}L\colon [a,b]\times TX&\to \mathbb {R} \\(t,(x,v))&\mapsto L(t,x,v).\end{aligned}}}$

${\displaystyle TX}$ будучи касательный пучок из ${\displaystyle X}$ определяется

${\displaystyle TX=\bigcup _{x\in X}\{x\}\times T_{x}X}$.

Таким образом, уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид

${\displaystyle L_{x}(t,q(t),{\dot {q}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{v}(t,q(t),{\dot {q}}(t))=0.}$

Здесь ${\displaystyle L_{x}}$ и ${\displaystyle L_{v}}$ обозначим частные производные от ${\displaystyle L}$ по второму и третьему аргументам соответственно.

Если размер пространства ${\displaystyle X}$ больше 1, это система дифференциальных уравнений, по одному для каждого компонента:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0\quad {\text{for }}i=1,\dots ,n.}$

Вывод одномерного уравнения Эйлера – Лагранжа.

Вывод одномерного уравнения Эйлера – Лагранжа - одно из классических доказательств в математика. Он полагается на основная лемма вариационного исчисления. Мы хотим найти функцию ${\displaystyle f}$ которое удовлетворяет граничным условиям ${\displaystyle f(a)=A}$, ${\displaystyle f(b)=B}$, и который экстремирует функционал ${\displaystyle J=\int _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .}$ Мы предполагаем, что ${\displaystyle F}$ дважды непрерывно дифференцируемо.[3] Можно использовать более слабое предположение, но доказательство становится сложнее.[нужна цитата ] Если ${\displaystyle f}$ экстремизирует функционал с учетом граничных условий, то любое небольшое возмущение ${\displaystyle f}$ который сохраняет граничные значения, должен либо увеличивать ${\displaystyle J}$ (если ${\displaystyle f}$ является минимизатором) или уменьшить ${\displaystyle J}$ (если ${\displaystyle f}$ является максимайзером). Позволять ${\displaystyle g_{\varepsilon }(x)=f(x)+\varepsilon \eta (x)}$ быть результатом такого возмущения ${\displaystyle \varepsilon \eta (x)}$ из ${\displaystyle f}$, куда ${\displaystyle \varepsilon }$ маленький и ${\displaystyle \eta (x)}$ дифференцируемая функция, удовлетворяющая ${\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}$. Затем определите ${\displaystyle J_{\varepsilon }=\int _{a}^{b}F(x,g_{\varepsilon }(x),g_{\varepsilon }'(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}F_{\varepsilon }\,\mathrm {d} x}$ куда ${\displaystyle F_{\varepsilon }=F(x,\,g_{\varepsilon }(x),\,g_{\varepsilon }'(x))}$ . Теперь мы хотим вычислить полная производная из ${\displaystyle J_{\varepsilon }}$ относительно ε. ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}F_{\varepsilon }\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} F_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}\,\mathrm {d} x.}$ Из полной производной следует, что ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} F_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial x}}+{\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+{\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }'}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }'}}\\&={\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+{\frac {\mathrm {d} g'_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g'_{\varepsilon }}}\\&=\eta (x){\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }'}}\ .\\\end{aligned}}}$ Так ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }'}}\,\right]\,\mathrm {d} x\ .}$ Когда ε = 0 имеем граммε = ж, Fε = F (х, f (x), f '(x)) и Jε имеет экстремум значение, так что ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigg |}_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\,\right]\,\mathrm {d} x=0\ .}$ Следующим шагом будет использование интеграция по частям на втором члене подынтегральной функции, что дает ${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]_{a}^{b}=0\ .}$ Используя граничные условия ${\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}$, ${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\ .}$ Применяя основная лемма вариационного исчисления теперь дает уравнение Эйлера – Лагранжа ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0\ .}$

Альтернативный вывод одномерного уравнения Эйлера – Лагранжа.

Учитывая функционал ${\displaystyle J=\int _{a}^{b}F(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t}$ на ${\displaystyle C^{1}([a,b])}$ с граничными условиями ${\displaystyle y(a)=A}$ и ${\displaystyle y(b)=B}$, будем приближать экстремальную кривую ломаной с ${\displaystyle n}$ сегментов и переходят к пределу при сколь угодно большом увеличении количества сегментов. Разделите интервал ${\displaystyle [a,b]}$ в ${\displaystyle n}$ равные сегменты с конечными точками ${\displaystyle t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b}$ и разреши ${\displaystyle \Delta t=t_{k}-t_{k-1}}$. Вместо гладкой функции ${\displaystyle y(t)}$ мы рассматриваем ломаную с вершинами ${\displaystyle (t_{0},y_{0}),\ldots ,(t_{n},y_{n})}$, куда ${\displaystyle y_{0}=A}$ и ${\displaystyle y_{n}=B}$. Соответственно, наш функционал становится реальной функцией ${\displaystyle n-1}$ переменные, заданные ${\displaystyle J(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}F\left(t_{k},y_{k},{\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.}$ Экстремали этого нового функционала, определенные на дискретных точках ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n}}$ соответствуют точкам, где ${\displaystyle {\frac {\partial J(y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.}$ Оценка этой частной производной дает ${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=F_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+F_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)-F_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right).}$ Разделив приведенное выше уравнение на ${\displaystyle \Delta t}$ дает ${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=F_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[F_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-F_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],}$ и принимая предел как ${\displaystyle \Delta t\to 0}$ правой части этого выражения дает ${\displaystyle F_{y}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}F_{y'}=0.}$ Левая часть предыдущего уравнения - это функциональная производная ${\displaystyle \delta J/\delta y}$ функционального ${\displaystyle J}$. Необходимым условием того, чтобы дифференцируемый функционал имел экстремум на некоторой функции, является то, что его функциональная производная на этой функции равна нулю, что дается последним уравнением.

Примеры

Стандартный пример - поиск функции с действительным знаком у(Икс) на интервале [а, б], такое что у(а) = c и у(б) = d, для чего дорожка длина вдоль изгиб отслеживается у как можно короче.

${\displaystyle {\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,}$

функция подынтегральной функции L(Икс, у, у′) = √1 + у′ ² .

Частные производные от L находятся:

${\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.}$

Подставляя их в уравнение Эйлера – Лагранжа, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}:=A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}}$

то есть функция должна иметь постоянную первую производную, и, следовательно, ее график это прямая линия.

Обобщения

Одиночная функция одной переменной с высшими производными

Стационарные значения функционала

${\displaystyle I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}}$

можно получить из уравнения Эйлера – Лагранжа^[4]

${\displaystyle {\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0}$

при фиксированных граничных условиях как для самой функции, так и для первого ${\displaystyle k-1}$ производные (т.е. для всех ${\displaystyle f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}}$). Конечные значения старшей производной ${\displaystyle f^{(k)}}$ оставаться гибким.

Несколько функций одной переменной с одной производной

Если проблема связана с поиском нескольких функций (${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}}$) одной независимой переменной (${\displaystyle x}$), определяющие экстремум функционала

${\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}}$

то соответствующие уравнения Эйлера – Лагранжа имеют вид^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0\end{aligned}}}$

Одна функция нескольких переменных с одной производной

Многомерное обобщение происходит из рассмотрения функции от n переменных. Если ${\displaystyle \Omega }$ некоторая поверхность, то

${\displaystyle I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}}$

экстремизируется, только если ж удовлетворяет уравнение в частных производных

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{j}}}\right)=0.}$

Когда п = 2 и функционал ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ это энергетический функционал, это приводит к мыльной пленке минимальная поверхность проблема.

Несколько функций нескольких переменных с одной производной

Если необходимо определить несколько неизвестных функций и несколько переменных, таких что

${\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$

система уравнений Эйлера – Лагранжа имеет вид^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0_{1}\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2}\\\vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{aligned}}}$

Одна функция двух переменных с высшими производными

Если есть одна неизвестная функция ж подлежит определению, который зависит от двух переменных Икс₁ и Икс₂ и если функционал зависит от высших производных от ж вплоть до п-го порядка, что

${\displaystyle {\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}$

то уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x_{2}^{n}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{aligned}}}$

который можно кратко представить как:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

в которой ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ - индексы, охватывающие количество переменных, то есть здесь они идут от 1 до 2. Здесь суммирование по ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ индексы только закончились ${\displaystyle \mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}}$ чтобы избежать многократного подсчета одной и той же частной производной, например ${\displaystyle f_{12}=f_{21}}$ появляется только один раз в предыдущем уравнении.

Несколько функций нескольких переменных с высшими производными

Если есть п неизвестные функции ж_я подлежат определению, которые зависят от м переменные Икс₁ ... Икс_м и если функционал зависит от высших производных ж_я вплоть до п-го порядка, что

${\displaystyle {\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm};\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ - это индексы, охватывающие количество переменных, то есть они идут от 1 до m. Тогда уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

где суммирование по ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ избегает подсчета одной и той же производной ${\displaystyle f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}}$ несколько раз, как и в предыдущем подразделе. Более компактно это можно выразить как

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

Обобщение на многообразия

Позволять ${\displaystyle M}$ быть гладкое многообразие, и разреши ${\displaystyle C^{\infty }([a,b])}$ обозначим пространство гладкие функции ${\displaystyle f:[a,b]\to M}$. Тогда для функционалов ${\displaystyle S:C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R} }$ формы

${\displaystyle S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t}$

куда ${\displaystyle L:TM\to \mathbb {R} }$ - лагранжиан, утверждение ${\displaystyle \mathrm {d} S_{f}=0}$ эквивалентно утверждению, что для всех ${\displaystyle t\in [a,b]}$, каждая система координат тривиализация ${\displaystyle (x^{i},X^{i})}$ района ${\displaystyle {\dot {f}}(t)}$ дает следующие ${\displaystyle \dim M}$ уравнения:

${\displaystyle \forall i:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}.}$

Смотрите также

• Лагранжева механика
• Гамильтонова механика
• Аналитическая механика
• Белтрами личность
• Функциональная производная

Примечания

1. Фокс, Чарльз (1987). Введение в вариационное исчисление. Courier Dover Publications. ISBN  978-0-486-65499-7.
2. Краткая биография Лагранжа В архиве 2007-07-14 на Wayback Machine
3. Курант и Гильберт 1953, п. 184
4. Курант Р.; Гильберт, Д (1953). Методы математической физики. Vol. I (Первое англ. Ред.). Нью-Йорк: Interscience Publishers, Inc. ISBN  978-0471504474.
5. Вайншток, Р. (1952). Вариационное исчисление в приложениях к физике и технике. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.

Рекомендации

• «Уравнения Лагранжа (в механике)», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа». MathWorld.
• «Вариационное исчисление». PlanetMath.
• Гельфанд Израиль Моисеевич (1963). Исчисление вариаций. Дувр. ISBN  0-486-41448-5.
• Рубичек, Т .: Вариационное исчисление. Глава 17 в: Математические инструменты для физиков. (Ред. М. Гринфельд) J. Wiley, Weinheim, 2014 г., ISBN  978-3-527-41188-7, pp.551-588.