Минимальная поверхность - Minimal surface

А геликоид минимальная поверхность, образованная мыльной пленкой на винтовой рамке

В математика, а минимальная поверхность представляет собой поверхность, которая локально минимизирует свою площадь. Это эквивалентно нулю средняя кривизна (см. определения ниже).

Термин «минимальная поверхность» используется потому, что эти поверхности изначально возникли как поверхности, которые минимизировали общую площадь поверхности с некоторыми ограничениями. Физические модели минимальных поверхностей с минимальной площадью можно создать, погрузив проволочный каркас в мыльный раствор, образуя мыльная пленка, которая представляет собой минимальную поверхность, граница которой - каркас. Однако этот термин используется для более общих поверхностей, которые могут самопересечение или не имеют ограничений. Для данного ограничения также может существовать несколько минимальных поверхностей с разными площадями (например, см. минимальная поверхность вращения ): стандартные определения относятся только к локальный оптимум, а не глобальный оптимум.

Определения

Седельная башня минимальная поверхность. В то время как любое небольшое изменение поверхности увеличивает ее площадь, существуют и другие поверхности с такой же границей, но с меньшей общей площадью.

Минимальные поверхности можно определить несколькими эквивалентными способами в р³. Тот факт, что они эквивалентны, служит демонстрацией того, как минимальная теория поверхностей лежит на перекрестке нескольких математических дисциплин, особенно дифференциальная геометрия, вариационное исчисление, теория потенциала, комплексный анализ и математическая физика.^[1]

Определение наименьшей локальной области: Поверхность M ⊂ р³ минимален тогда и только тогда, когда каждая точка п ∈ M имеет район, ограниченная простой замкнутой кривой, имеющей наименьшую площадь среди всех поверхностей, имеющих одинаковую границу.

Это свойство является локальным: на минимальной поверхности могут существовать области вместе с другими поверхностями меньшей площади, имеющими ту же границу. Это свойство устанавливает связь с мыльными пленками; мыльная пленка, деформированная, чтобы иметь проволочный каркас в качестве границы, минимизирует площадь.

Вариационное определение: Поверхность M ⊂ р³ минимальна тогда и только тогда, когда это критическая точка области функциональный для всех компактно поддерживается вариации.

Это определение делает минимальные поверхности двумерным аналогом геодезические, которые аналогично определяются как критические точки функционала длины.

Плоскости минимальной кривизны поверхности. На минимальной поверхности кривизна по главным плоскостям кривизны одинакова и противоположна в каждой точке. Это делает среднюю кривизну равной нулю.

Определение средней кривизны: Поверхность M ⊂ р³ минимален тогда и только тогда, когда его средняя кривизна равен нулю во всех точках.

Прямым следствием этого определения является то, что каждая точка на поверхности является точка перевала с равными и противоположными основные кривизны. Кроме того, это превращает минимальные поверхности в статические решения средняя кривизна потока. Посредством Уравнение Юнга – Лапласа, то средняя кривизна мыльной пленки пропорционально разнице давления между сторонами. Если мыльная пленка не закроет область, то ее средняя кривизна будет равна нулю. Напротив, сферический мыльный пузырь охватывает область, давление которой отличается от давления во внешней области, и поэтому не имеет нулевой средней кривизны.

Определение дифференциального уравнения: Поверхность M ⊂ р³ минимален тогда и только тогда, когда его можно локально выразить как график решения

{ displaystyle (1 + u_ {x} ^ {2}) u_ {yy} -2u_ {x} u_ {y} u_ {xy} + (1 + u_ {y} ^ {2}) u_ {xx} = 0}

Уравнение в частных производных в этом определении было первоначально найдено в 1762 г. Лагранж,^[2] и Жан Батист Менье обнаружил в 1776 году, что это подразумевает исчезающую среднюю кривизну.^[3]

Определение энергии: А конформный погружение Икс: M → р³ минимальна тогда и только тогда, когда это критическая точка Энергия Дирихле для всех вариантов с компактной опорой или, что эквивалентно, если любая точка п ∈ M имеет окрестность с наименьшей энергией относительно его границы.

Это определение связывает минимальные поверхности с гармонические функции и теория потенциала.

Гармоническое определение: Если Икс = (Икс₁, Икс₂, Икс₃): M → р³ является изометрический погружение из Риманова поверхность в 3-мерное пространство, то Икс называется минимальным всякий раз, когда Икс_я это гармоническая функция на M для каждого я.

Прямое следствие этого определения и принцип максимума для гармонических функций это то, что нет компактный полный минимальные поверхности в р³.

Определение карты Гаусса: Поверхность M ⊂ р³ минимален тогда и только тогда, когда его стереографически прогнозируемый Карта Гаусса грамм: M → C ∪ {∞} - это мероморфный по отношению к основному Риманова поверхность структура и M не кусок сферы.

В этом определении используется, что средняя кривизна равна половине след из оператор формы, который связан с производными отображения Гаусса. Если спроецированная карта Гаусса подчиняется Уравнения Коши – Римана то либо след исчезает, либо каждая точка M является пуповина, в этом случае это кусок сферы.

Локальная наименьшая площадь и вариационные определения позволяют распространить минимальные поверхности на другие Римановы многообразия чем р³.

История

Теория минимальной поверхности берет свое начало с Лагранж который в 1762 г. рассмотрел вариационную задачу поиска поверхности z = z(Икс, у) наименьшей площади, растянутой по заданному замкнутому контуру. Он получил Уравнение Эйлера – Лагранжа. для решения

{ displaystyle { frac {d} {dx}} left ({ frac {z_ {x}} { sqrt {1 + z_ {x} ^ {2} + z_ {y} ^ {2}}}) } right) + { frac {d} {dy}} left ({ frac {z_ {y}} { sqrt {1 + z_ {x} ^ {2} + z_ {y} ^ {2}) }}} right) = 0}

Ему не удалось найти никакого решения за пределами самолета. В 1776 г. Жан Батист Мари Менье обнаружил, что геликоид и катеноид удовлетворяют уравнению и что дифференциальное выражение соответствует удвоенному средняя кривизна поверхности, делая вывод, что поверхности с нулевой средней кривизной минимизируют площадь.

Разложив уравнение Лагранжа до

{ displaystyle left (1 + z_ {x} ^ {2} right) z_ {yy} -2z_ {x} z_ {y} z_ {xy} + left (1 + z_ {y} ^ {2} right) z_ {xx} = 0}

Гаспар Монж и Legendre в 1795 г. выведены формулы представления поверхностей раствора. Хотя они успешно использовались Генрих Шерк в 1830 г., чтобы получить поверхности, они обычно считались практически непригодными для использования. Каталонский доказал в 1842/43 г., что геликоид - единственный управлял минимальная поверхность.

Прогресс был довольно медленным до середины века, когда Проблема Бьёрлинга решена комплексными методами. Начался «первый золотой век» минимальных поверхностей. Шварц нашел решение Проблема плато для правильного четырехугольника в 1865 г. и для общего четырехугольника в 1867 г. (что позволяет построить его периодический семейства поверхностей ) сложными методами. Weierstrass и Эннепер разработаны более полезные формулы представления, прочно связывая минимальные поверхности с комплексный анализ и гармонические функции. Другой важный вклад внесли Бельтрами, Бонне, Дарбу, Ли, Риман, Серре и Вайнгартен.

Между 1925 и 1950 годами возродилась теория минимальных поверхностей, которая теперь в основном нацелена на непараметрические минимальные поверхности. Полное решение проблемы Плато Джесси Дуглас и Тибор Радо была важной вехой. Проблема Бернштейна и Роберт Оссерман Работы над полными минимальными поверхностями конечной полной кривизны также были важны.

Другое возрождение началось в 1980-х годах. Одной из причин было открытие Селсо Коста в 1982 г. поверхность что опровергло гипотезу о том, что плоскость, катеноид и геликоид являются единственными полными вложенными минимальными поверхностями в р³ конечного топологического типа. Это не только стимулировало новые работы по использованию старых параметрических методов, но и продемонстрировало важность компьютерной графики для визуализации исследуемых поверхностей и численных методов для решения «проблемы периода» (при использовании метод сопряженных поверхностей для определения участков поверхности, которые могут быть собраны в более крупную симметричную поверхность, необходимо численно согласовать определенные параметры, чтобы получить встроенную поверхность). Другой причиной была проверка Х. Керхером, что трижды периодические минимальные поверхности первоначально описанные эмпирически Аланом Шоном в 1970 году, действительно существуют. Это привело к появлению богатого набора семейств поверхностей и методов получения новых поверхностей из старых, например, путем добавления ручек или их искажения.

В настоящее время теория минимальных поверхностей расширилась до минимальных подмногообразий в других окружающих геометриях, став актуальной для математической физики (например, гипотеза о положительной массе, то Гипотеза Пенроуза ) и трехмерной геометрии (например, Гипотеза Смита, то Гипотеза Пуанкаре, то Гипотеза Терстона о геометризации ).

Примеры

Минимальная поверхность Косты

Классические примеры минимальных поверхностей включают:

в самолет, что является банальный дело
катеноиды: минимальные поверхности, образованные вращением цепная связь однажды вокруг своей директрисы
геликоиды: Поверхность, заметаемая линией, вращающейся с постоянной скоростью вокруг оси, перпендикулярной линии, и одновременно движущейся вдоль оси с постоянной скоростью.

Поверхности золотого века XIX века включают:

Минимальные поверхности Шварца: трижды периодические поверхности это заполнение р³
Минимальная поверхность Римана: Посмертно описанная периодическая поверхность.
в Эннепер поверхность
в Поверхность Хеннеберга: первая неориентируемая минимальная поверхность
Минимальная поверхность Бура

Современные поверхности включают:

в Гироид: Одна из поверхностей Шона 1970 года, трижды периодическая поверхность, представляющая особый интерес для структуры жидких кристаллов.
в Седельная башня семья: обобщения Вторая поверхность Шерка
Минимальная поверхность Косты: Известное опровержение гипотезы. Описан в 1982 г. Сельсо Коста и позже визуализированный Джим Хоффман. Затем Джим Хоффман, Дэвид Хоффман и Уильям Микс III расширили определение, чтобы создать семейство поверхностей с различными симметриями вращения.
в Поверхность Чена – Гакстаттера family, добавив ручки к поверхности Enneper.

Обобщения и ссылки на другие поля

Минимальные поверхности могут быть определены другими коллекторы чем р³, Такие как гиперболическое пространство, многомерные пространства или Римановы многообразия.

Определение минимальных поверхностей можно обобщить / расширить на поверхности постоянной средней кривизны: поверхности с постоянной средней кривизной, которая не обязательно равна нулю.

В дискретная дифференциальная геометрия исследуются дискретные минимальные поверхности: симплициальные комплексы треугольников, которые минимизируют свою площадь при малых возмущениях положения вершин.^[4] Такие дискретизации часто используются для численной аппроксимации минимальных поверхностей, даже если выражения в замкнутой форме неизвестны.

Броуновское движение на минимальной поверхности приводит к вероятностным доказательствам нескольких теорем о минимальных поверхностях.^[5]

Минимальные поверхности стали областью интенсивных научных исследований, особенно в областях молекулярная инженерия и материаловедение, в связи с их ожидаемым применением в самосборка сложных материалов.^{[нужна цитата ]} В эндоплазматический ретикулум, важная структура в клеточной биологии, предполагается, что она находится под эволюционным давлением, чтобы соответствовать нетривиальной минимальной поверхности.^[6]

В полях общая теория относительности и Лоренцева геометрия, некоторые расширения и модификации понятия минимальной поверхности, известные как видимые горизонты, значительны.^[7] В отличие от горизонт событий, они представляют собой кривизна основанный на подходе к пониманию черная дыра границы.

Цирковой шатер примерно минимальная поверхность.

Конструкции с минимальной площадью можно использовать как палатки.

Минимальные поверхности являются частью генеративный дизайн набор инструментов, используемый современными дизайнерами. В архитектуре был большой интерес к натяжные конструкции, которые тесно связаны с минимальными поверхностями. Известным примером является Олимпийский парк в Мюнхене к Фрей Отто, вдохновленный мыльными поверхностями.

В мире искусства минимальные поверхности широко исследовались в скульптуре Роберт Энгман (1927– ), Роберт Лонгхерст (1949–), и Чарльз О. Перри (1929–2011) и другие.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Учебники

Тобиас Холк Колдинг и Уильям П. Миникоцци, II. Курс по минимальным поверхностям. Аспирантура по математике, 121. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2011. xii + 313 с. ISBN 978-0-8218-5323-8
Р. Курант. Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности. Приложение М. Шиффера. Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1950. xiii + 330 с.
Ульрих Диркес, Стефан Хильдебрандт и Фридрих Совиньи. Минимальные поверхности. Издание второе переработанное и дополненное. При содействии и вкладах А. Кюстера и Р. Якоба. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010. xvi + 688 с. ISBN 978-3-642-11697-1, Дои:10.1007/978-3-642-11698-8 , МИСТЕР2566897
Х. Блейн Лоусон младший Лекции о минимальных подмногообразиях. Vol. Я. Второе издание. Серия лекций по математике, 9. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1980. iv + 178 с. ISBN 0-914098-18-7
Йоханнес К. Ниче. Лекции на минимальных поверхностях. Vol. 1. Введение, основы, геометрия и основные краевые задачи. Перевод с немецкого Джерри М. Файнберга. С немецким предисловием. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1989. xxvi + 563 с. ISBN 0-521-24427-7
Роберт Оссерман. Обзор минимальных поверхностей. Второе издание. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1986. vi + 207 с. ISBN 0-486-64998-9, МИСТЕР0852409

Интернет-ресурсы

Керхер, Германн; Полтье, Конрад (1995). «Прикосновение к мыльным пленкам - введение в минималистичные поверхности». Получено 27 декабря, 2006. (графическое введение в минимальные поверхности и мыльные пленки.)
Яцек Клиновский. "Галерея периодических минимальных поверхностей". Получено 2 февраля, 2009. (Коллекция минимальных поверхностей с классическими и современными примерами)
Мартин Стеффенс и Кристиан Тейтцель. "Библиотека минимальной поверхности винограда". Получено 27 октября, 2008. (Набор минимальных поверхностей)
Разное (2000). "EG-Models". Получено 28 сентября, 2004. (Интернет-журнал с несколькими опубликованными моделями минимальных поверхностей)

внешняя ссылка

[1] Микс, Уильям Х., III; Перес, Хоакин (2011). «Классическая теория минимальных поверхностей». Бык. Амер. Математика. Soc. 48 (3): 325–407. Дои:10.1090 / s0273-0979-2011-01334-9. МИСТЕР 2801776.

[Lagrange1760-2] Дж. Л. Лагранж. Новый метод для определения максимальных и минимальных неопределенных формул. Miscellanea Taurinensia 2, 325 (1): 173 {199, 1760.

[Meusnier1785-3] J. B. Meusnier. Mémoire sur la Courbure des поверхностей. Mém. Mathém. Phys. Акад. Sci. Париж, pres. par div. Savans, 10: 477–510, 1785. Представлено в 1776 году.

[4] Пинкалл, Ульрих; Полтье, Конрад (1993). «Вычисление дискретных минимальных поверхностей и их сопряженных». Экспериментальная математика. 2 (1): 15–36. Дои:10.1080/10586458.1993.10504266. МИСТЕР 1246481.

[5] Нил, Роберт (2009). «Мартингальный подход к минимальным поверхностям». Журнал функционального анализа. 256 (8): 2440–2472. arXiv:0805.0556. Дои:10.1016 / j.jfa.2008.06.033. МИСТЕР 2502522.

[6] Терасаки, Марк; Шемеш, Том; Кастури, Нараянан; Klemm, Robin W .; Шалек, Ричард; Хейворт, Кеннет Дж .; Рука, Артур Р .; Янкова, Майя; Хубер, Грег (2013-07-18). «Сложенные друг с другом листы эндоплазматической сети соединены спиралевидными мембранными мотивами». Клетка. 154 (2): 285–296. Дои:10.1016 / j.cell.2013.06.031. ISSN 0092-8674. ЧВК 3767119. PMID 23870120.

[7] Ивонн Шоке-Брюа. Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна. Оксфордские математические монографии. Oxford University Press, Oxford, 2009. xxvi + 785 с. ISBN 978-0-19-923072-3 (стр. 417)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]