Средняя кривизна - Mean curvature

В математика, то средняя кривизна ${\displaystyle H}$ из поверхность ${\displaystyle S}$ является внешний Мера кривизна это происходит из дифференциальная геометрия и это локально описывает кривизну встроенный поверхность в некотором окружающем пространстве, например Евклидово пространство.

Эту концепцию использовали Софи Жермен в ее работе над теория упругости.^[1][2] Жан Батист Мари Менье использовал его в 1776 г. в своих исследованиях минимальные поверхности. Это важно при анализе минимальные поверхности, которые имеют нулевую среднюю кривизну, и при анализе физических границ раздела жидкостей (например, мыльные фильмы ), которые, например, имеют постоянную среднюю кривизну в статических потоках, Уравнение Юнга-Лапласа.

Определение

Позволять ${\displaystyle p}$ быть точкой на поверхности ${\displaystyle S}$. Каждый самолет через ${\displaystyle p}$ содержащую нормальную линию к ${\displaystyle S}$ порезы ${\displaystyle S}$ в (плоской) кривой. Фиксация выбора единицы измерения нормали дает кривизну со знаком для этой кривой. Поскольку самолет поворачивается на угол ${\displaystyle \theta }$ (всегда содержащая нормальную линию) эта кривизна может варьироваться. В максимальный кривизна ${\displaystyle \kappa _{1}}$ и минимальный кривизна ${\displaystyle \kappa _{2}}$ известны как основные кривизны из ${\displaystyle S}$.

В средняя кривизна в ${\displaystyle p\in S}$ тогда среднее значение кривизны со знаком по всем углам ${\displaystyle \theta }$:

${\displaystyle H={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\;d\theta }$.

Применяя Теорема Эйлера, это равно среднему значению главных кривизны (Спивак 1999, Том 3, Глава 2):

${\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2}).}$

В более общем смысле (Спивак 1999, Том 4, глава 7), для гиперповерхность ${\displaystyle T}$ средняя кривизна определяется как

${\displaystyle H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.}$

Говоря более абстрактно, средняя кривизна - это след вторая основная форма деленное на п (или, что то же самое, оператор формы ).

Кроме того, средняя кривизна ${\displaystyle H}$ можно записать в терминах ковариантная производная ${\displaystyle \nabla }$ так как

${\displaystyle H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X,}$

с использованием Отношения Гаусса-Вайнгартена, где ${\displaystyle X(x)}$ - гладко вложенная гиперповерхность, ${\displaystyle {\vec {n}}}$ единичный нормальный вектор, и ${\displaystyle g_{ij}}$ то метрический тензор.

Поверхность - это минимальная поверхность если и только если средняя кривизна равна нулю. Кроме того, поверхность, которая развивается под средней кривизной поверхности ${\displaystyle S}$, как говорят, подчиняется уравнение теплового типа называется средняя кривизна потока уравнение.

В сфера - единственная вложенная поверхность постоянной положительной средней кривизны без границы и особенностей. Однако результат неверен, когда условие «погруженная поверхность» ослаблено до «погруженной поверхности».^[3]

Поверхности в 3D пространстве

Для поверхности, определенной в трехмерном пространстве, средняя кривизна связана с единицей измерения. нормальный поверхности:

${\displaystyle 2H=-\nabla \cdot {\hat {n}}}$

где выбранная нормаль влияет на знак кривизны. Знак кривизны зависит от выбора нормали: кривизна положительна, если поверхность изгибается "по направлению" нормали. Вышеприведенная формула верна для поверхностей в трехмерном пространстве, определенных любым способом, пока расхождение норма единицы может быть рассчитана. Также можно рассчитать среднюю кривизну

${\displaystyle 2H={\text{Trace}}((\mathrm {II} )(\mathrm {I} ^{-1}))}$

где I и II обозначают первую и вторую матрицы квадратичной формы соответственно.

Если ${\displaystyle S(x,y)}$ является параметризацией поверхности и ${\displaystyle u,v}$ два линейно независимых вектора в пространстве параметров, то среднюю кривизну можно записать через первый и вторые основные формы так как

$${\displaystyle {\frac {lG-2mF+nE}{2(EG-F^{2})}}}$$

где ${\displaystyle E=\mathrm {I} (u,u),F=\mathrm {I} (u,v),G=\mathrm {I} (v,v),l=\mathrm {II} (u,u),m=\mathrm {II} (u,v),n=\mathrm {II} (v,v)}$.^[4]

В частном случае поверхности, определенной как функция двух координат, например ${\displaystyle z=S(x,y)}$, а при использовании нормали, направленной вверх, выражение (удвоенной) средней кривизны

${\displaystyle {\begin{aligned}2H&=-\nabla \cdot \left({\frac {\nabla (z-S)}{|\nabla (z-S)|}}\right)\\&=\nabla \cdot \left({\frac {\nabla S-\nabla z}{\sqrt {1+|\nabla S|^{2}}}}\right)\\&={\frac {\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.\end{aligned}}}$

В частности, в точке, где ${\displaystyle \nabla S=0}$, средняя кривизна равна половине следа матрицы Гессе ${\displaystyle S}$.

Если дополнительно известно, что поверхность осесимметричный с участием ${\displaystyle z=S(r)}$,

${\displaystyle 2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}+{\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{1/2}}},}$

где ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r}}}$ происходит от производной от ${\displaystyle z=S(r)=S\left(\scriptstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$.

Неявная форма средней кривизны

Средняя кривизна поверхности, заданная уравнением ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$ можно рассчитать с помощью градиента ${\displaystyle \nabla F=\left({\frac {\partial F}{\partial x}},{\frac {\partial F}{\partial y}},{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)}$ и Матрица Гессе

${\displaystyle \textstyle {\mbox{Hess}}(F)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}\end{pmatrix}}.}$

Средняя кривизна определяется как:^[5][6]

${\displaystyle H={\frac {\nabla F\ {\mbox{Hess}}(F)\ \nabla F^{\mathsf {T}}-|\nabla F|^{2}\,{\text{Trace}}({\mbox{Hess}}(F))}{2|\nabla F|^{3}}}}$

Другая форма - как расхождение агрегата нормальный. Единичная нормаль дается ${\displaystyle {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}}$ а средняя кривизна

${\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \left({\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}\right).}$

Средняя кривизна в механике жидкости

Альтернативное определение иногда используется в механика жидкости чтобы избежать двух факторов:

${\displaystyle H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\,}$.

Это приводит к давлению в соответствии с Уравнение Юнга-Лапласа внутри равновесной сферической капли, находящейся поверхностное натяжение раз ${\displaystyle H_{f}}$; две кривизны равны обратной величине радиуса капли

${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}\,}$.

Минимальные поверхности

Визуализация минимальной поверхности Косты.

Основная статья: Минимальная поверхность

А минимальная поверхность - поверхность с нулевой средней кривизной во всех точках. Классические примеры включают катеноид, геликоид и Эннепер поверхность. Недавние открытия включают Минимальная поверхность Косты и Гироид.

CMC поверхности

Основная статья: Поверхность постоянной средней кривизны

Расширением идеи минимальной поверхности являются поверхности постоянной средней кривизны. Поверхности единичной постоянной средней кривизны в гиперболическое пространство называются Брайантовские поверхности.^[7]

Смотрите также

• Гауссова кривизна
• Средняя кривизна потока
• Обратный поток средней кривизны
• Первый вариант формулы площади
• Метод растянутой сетки

Заметки

1. Мари-Луиза Дюбрей-Жакотен на Софи Жермен
2. Лоддер, Дж. (2003). «Кривизна в учебной программе по математике». Американский математический ежемесячник. 110 (7): 593–605. Дои:10.2307/3647744. JSTOR  3647744.
3. http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.pjm/1102702809
4. Ду Карму, Манфредо (2016). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. (Второе изд.). Дувр. п. 158. ISBN  978-0-486-80699-0.
5. Гольдман, Р. (2005). «Формулы кривизны неявных кривых и поверхностей». Компьютерный геометрический дизайн. 22 (7): 632–658. Дои:10.1016 / j.cagd.2005.06.005.
6. Спивак, М (1975). Комплексное введение в дифференциальную геометрию. 3. Публикуй или погибни, Бостон.
7. Розенберг, Гарольд (2002), «Брайантовские поверхности», Глобальная теория минимальных поверхностей в плоских пространствах (Мартина Франка, 1999), Конспект лекций по математике, 1775, Берлин: Springer, стр.67–111, Дои:10.1007/978-3-540-45609-4_3, ISBN  978-3-540-43120-6, Г-Н  1901614.

использованная литература

• Спивак Михаил (1999), Подробное введение в дифференциальную геометрию (тома 3-4) (3-е изд.), Publish or Perish Press, ISBN  978-0-914098-72-0, (Том 3), (Том 4).
• П. Гринфельд (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей. Springer. ISBN  978-1-4614-7866-9.