Теорема Эйлера (дифференциальная геометрия) - Eulers theorem (differential geometry)

в математический поле дифференциальная геометрия, Теорема Эйлера это результат на кривизна из кривые на поверхности. Теорема устанавливает существование основные кривизны и связанные основные направления которые дают направления, в которых поверхность изгибается больше всего и меньше всего. Теорема названа в честь Леонард Эйлер доказавший теорему в (Эйлер 1760 ).

Точнее, пусть M быть поверхностью в трехмерном Евклидово пространство, и п точка на M. А нормальный самолет через п плоскость, проходящая через точку п содержащий нормальный вектор к M. Через каждый (единица измерения ) касательный вектор к M в п, проходит нормальная плоскость п_Икс который вырезает кривую в M. Эта кривая имеет определенную кривизна κ_Икс когда рассматривается как кривая внутри п_Икс. Если не все κ_Икс равны, существует некоторый единичный вектор Икс₁ для которого k₁ = κ_Икс1 как можно больше, а другой единичный вектор Икс₂ для которого k₂ = κ_Икс2 как можно меньше. Теорема Эйлера утверждает, что Икс₁ и Икс₂ находятся перпендикуляр и что, кроме того, если Икс любой вектор, образующий угол θ с Икс₁, тогда

${\displaystyle \kappa _{X}=k_{1}\cos ^{2}\theta +k_{2}\sin ^{2}\theta .\,}$

(1)

Количество k₁ и k₂ называются основные кривизны, и Икс₁ и Икс₂ соответствующие основные направления. Уравнение (1) иногда называют Уравнение Эйлера (Эйзенхарт 2004, п. 124).

Смотрите также

• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Индикатриса Дюпена

Рекомендации

• Эйзенхарт, Лютер П. (2004), Трактат о дифференциальной геометрии кривых и поверхностей, Дувр, ISBN  0-486-43820-1 Полный текст 1909 года (теперь без авторских прав)
• Эйлер, Леонард (1760), "Исследования по курбюру поверхностей", Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin (опубликовано в 1767 г.), 16: 119–143.
• Спивак Михаил (1999), Подробное введение в дифференциальную геометрию, Том II, Publish or Perish Press, ISBN  0-914098-71-3