Третья основная форма - Third fundamental form

В дифференциальная геометрия, то третья основная форма - поверхностная метрика, обозначаемая ${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} }$. в отличие от вторая основная форма, он не зависит от нормальная поверхность.

Определение

Позволять S быть оператор формы и M быть гладкая поверхность. Кроме того, пусть ты_п и v_п быть элементами касательного пространства Т_п(M). Третья фундаментальная форма тогда дается выражением

${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} (\mathbf {u} _{p},\mathbf {v} _{p})=S(\mathbf {u} _{p})\cdot S(\mathbf {v} _{p})\,.}$

Характеристики

Третья фундаментальная форма полностью выражается в терминах первая фундаментальная форма и вторая основная форма. Если мы позволим ЧАС - средняя кривизна поверхности и K - гауссова кривизна поверхности, имеем

${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} -2H\mathrm {I\!I} +K\mathrm {I} =0\,.}$

Поскольку оператор формы самосопряженный, для ты,v ∈ Т_п(M), мы нашли

${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} (u,v)=\langle Su,Sv\rangle =\langle u,S^{2}v\rangle =\langle S^{2}u,v\rangle \,.}$

Смотрите также

• Метрический тензор
• Первая фундаментальная форма
• Вторая фундаментальная форма
• Тавтологическая одноформа