Уравнения Гаусса – Кодацци - Gauss–Codazzi equations

В Риманова геометрия и псевдориманова геометрия, то Уравнения Гаусса – Кодацци (также называемый Уравнения Гаусса – Кодацци – Майнарди. или же Формулы Гаусса – Петерсона – Кодацци.^[1]) являются фундаментальными формулами, связывающими вместе индуцированную метрику и вторую фундаментальную форму подмногообразия (или погружения в) a Риманов или же псевдориманово многообразие.

Уравнения были первоначально обнаружены в контексте поверхностей в трехмерном пространстве. Евклидово пространство. В этом контексте первое уравнение, часто называемое Уравнение Гаусса (по имени его первооткрывателя Карл Фридрих Гаусс ), говорит, что Кривизна Гаусса поверхности в любой заданной точке определяется производными карты Гаусса в этой точке, как кодируется вторая основная форма.^[2] Второе уравнение, названное Уравнение Кодацци или же Уравнение Кодацци-Майнарди, заявляет, что ковариантная производная второй фундаментальной формы полностью симметричен. Он назван в честь Гаспаре Майнарди (1856) и Дельфино Кодацци (1868–1869), которые независимо получили результат,^[3] хотя раньше он был обнаружен Карл Михайлович Петерсон.^[4][5]

Официальное заявление

Позволять ${\displaystyle i\colon M\subset P}$ быть п-мерное вложенное подмногообразие риманова многообразия п измерения ${\displaystyle n+p}$. Есть естественное включение касательный пучок из M в это п посредством продвигать, а коядро это нормальный комплект из M:

${\displaystyle 0\rightarrow T_{x}M\rightarrow T_{x}P|_{M}\rightarrow T_{x}^{\perp }M\rightarrow 0.}$

Метрика разделяет это короткая точная последовательность, и так

${\displaystyle TP|_{M}=TM\oplus T^{\perp }M.}$

Относительно этого расщепления Леви-Чивита связь ${\displaystyle \nabla '}$ из п распадается на тангенциальную и нормальную составляющие. Для каждого ${\displaystyle X\in TM}$ и векторное поле Y на M,

${\displaystyle \nabla '_{X}Y=\top (\nabla '_{X}Y)+\bot (\nabla '_{X}Y).}$

Позволять

${\displaystyle \nabla _{X}Y=\top (\nabla '_{X}Y),\quad \alpha (X,Y)=\bot (\nabla '_{X}Y).}$

В Формула Гаусса^{[6][требуется разъяснение ]} теперь утверждает, что ${\displaystyle \nabla _{X}}$ это Леви-Чивита связь за M, и ${\displaystyle \alpha }$ это симметричный векторнозначная форма со значениями в нормальном комплекте. Его часто называют вторая основная форма.

Непосредственным следствием является Уравнение Гаусса. За ${\displaystyle X,Y,Z,W\in TM}$,

${\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\langle \alpha (X,Z),\alpha (Y,W)\rangle -\langle \alpha (Y,Z),\alpha (X,W)\rangle }$

куда ${\displaystyle R'}$ это Тензор кривизны Римана из п и р это из M.

В Уравнение Вайнгартена является аналогом формулы Гаусса для связности в нормальном расслоении. Позволять ${\displaystyle X\in TM}$ и ${\displaystyle \xi }$ нормальное векторное поле. Затем разложите объемлющую ковариантную производную от ${\displaystyle \xi }$ вдоль Икс на тангенциальную и нормальную составляющие:

${\displaystyle \nabla '_{X}\xi =\top (\nabla '_{X}\xi )+\bot (\nabla '_{X}\xi )=-A_{\xi }(X)+D_{X}(\xi ).}$

потом

1. Уравнение Вейнгартена: ${\displaystyle \langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle }$
2. D_Икс это метрическое соединение в нормальном комплекте.

Таким образом, имеется пара связностей:, определенная на касательном расслоении к M; и D, определенный на нормальном расслоении M. Они объединяются, чтобы сформировать связь на любом тензорном произведении копий TM и т^⊥M. В частности, они определили ковариантную производную от ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle ({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha )(Y,Z)=D_{X}\left(\alpha (Y,Z)\right)-\alpha (\nabla _{X}Y,Z)-\alpha (Y,\nabla _{X}Z).}$

В Уравнение Кодацци – Майнарди является

${\displaystyle \bot \left(R'(X,Y)Z\right)=({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha )(Y,Z)-({\tilde {\nabla }}_{Y}\alpha )(X,Z).}$

Поскольку каждый погружение является, в частности, локальным вложением, приведенные выше формулы верны и для погружений.

Уравнения Гаусса – Кодацци в классической дифференциальной геометрии

Постановка классических уравнений

В классическом дифференциальная геометрия поверхностей уравнения Кодацци – Майнарди выражаются через вторая основная форма (L, M, N):

${\displaystyle L_{v}-M_{u}=L\Gamma ^{1}{}_{12}+M(\Gamma ^{2}{}_{12}-\Gamma ^{1}{}_{11})-N\Gamma ^{2}{}_{11}}$

${\displaystyle M_{v}-N_{u}=L\Gamma ^{1}{}_{22}+M(\Gamma ^{2}{}_{22}-\Gamma ^{1}{}_{12})-N\Gamma ^{2}{}_{12}}$

Формула Гаусса, в зависимости от того, как выбрать гауссову кривизну, может быть тавтология. Это можно сформулировать как

${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{eg-f^{2}}},}$

куда (е, ж, грамм) - компоненты первой фундаментальной формы.

Вывод классических уравнений

Рассмотрим параметрическая поверхность в трехмерном евклидовом пространстве,

${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$

где трехкомпонентные функции гладко зависят от упорядоченных пар (ты,v) в некоторой открытой области U в УФ-самолет. Предположим, что эта поверхность обычный, что означает, что векторы р_ты и р_v находятся линейно независимый. Завершите это до основа {р_ты,р_v,п}, выбрав единичный вектор п нормально к поверхности. Можно выразить вторые частные производные от р с использованием Символы Кристоффеля и вторая основная форма.

${\displaystyle \mathbf {r} _{uu}=\Gamma ^{1}{}_{11}\mathbf {r} _{u}+\Gamma ^{2}{}_{11}\mathbf {r} _{v}+L\mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {r} _{uv}=\Gamma ^{1}{}_{12}\mathbf {r} _{u}+\Gamma ^{2}{}_{12}\mathbf {r} _{v}+M\mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {r} _{vv}=\Gamma ^{1}{}_{22}\mathbf {r} _{u}+\Gamma ^{2}{}_{22}\mathbf {r} _{v}+N\mathbf {n} }$

Теорема Клеро утверждает, что частные производные коммутируют:

${\displaystyle \left(\mathbf {r} _{uu}\right)_{v}=\left(\mathbf {r} _{uv}\right)_{u}}$

Если мы дифференцируем р_уу относительно v и р_УФ относительно ты, мы получили:

${\displaystyle \left(\Gamma ^{1}{}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{u}+\Gamma ^{1}{}_{11}\mathbf {r} _{uv}+\left(\Gamma ^{2}{}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{v}+\Gamma ^{2}{}_{11}\mathbf {r} _{vv}+L_{v}\mathbf {n} +L\mathbf {n} _{v}}$ ${\displaystyle =\left(\Gamma ^{1}{}_{12}\right)_{u}\mathbf {r} _{u}+\Gamma ^{1}{}_{12}\mathbf {r} _{uu}+\left(\Gamma _{12}^{2}\right)_{u}\mathbf {r} _{v}+\Gamma ^{2}{}_{12}\mathbf {r} _{uv}+M_{u}\mathbf {n} +M\mathbf {n} _{u}}$

Теперь подставим приведенные выше выражения для вторых производных и приравняем коэффициенты при п:

${\displaystyle M\Gamma ^{1}{}_{11}+N\Gamma ^{2}{}_{11}+L_{v}=L\Gamma ^{1}{}_{12}+M\Gamma ^{2}{}_{12}+M_{u}}$

Преобразование этого уравнения дает первое уравнение Кодацци – Майнарди.

Второе уравнение может быть получено аналогично.

Средняя кривизна

Позволять M быть гладким м-мерное многообразие, погруженное в (м + k) -мерное гладкое многообразие п. Позволять ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}}$ - локальный ортонормированный фрейм векторных полей, нормальных к M. Тогда мы можем написать:

${\displaystyle \alpha (X,Y)=\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}(X,Y)e_{j}}$

Если бы сейчас ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{m}}$ является локальным ортонормированным репером (касательных векторных полей) на том же открытом подмножестве M, то мы можем определить средняя кривизна погружения

${\displaystyle H_{j}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(E_{i},E_{i})}$

В частности, если M является гиперповерхностью п, т.е. ${\displaystyle k=1}$, то можно говорить только об одной средней кривизне. Погружение называется минимальный если все ${\displaystyle H_{j}}$ тождественно равны нулю.

Обратите внимание, что средняя кривизна является следом или средним значением второй фундаментальной формы для любого данного компонента. Иногда средняя кривизна определяется умножением суммы в правой части на ${\displaystyle 1/m}$.

Теперь мы можем записать уравнения Гаусса – Кодацци в виде

${\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}(X,Z)\alpha _{j}(Y,W)-\alpha _{j}(Y,Z)\alpha _{j}(X,W)}$

Заключение ${\displaystyle Y,Z}$ компоненты дает нам

${\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\sum _{j=1}^{k}\langle R'(X,e_{j})e_{j},W\rangle +\left(\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(X,E_{i})\alpha _{j}(E_{i},W)\right)-H_{j}\alpha _{j}(X,W)}$

Заметим, что тензор в скобках симметричен и неотрицательно определен относительно ${\displaystyle X,W}$. При условии, что M является гиперповерхностью, это упрощается до

${\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\langle R'(X,n)n,W\rangle +\left(\sum _{i=1}^{m}h(X,E_{i})h(E_{i},W)\right)-Hh(X,W)}$

куда ${\displaystyle n=e_{1}}$ и ${\displaystyle h=\alpha _{1}}$ и ${\displaystyle H=H_{1}}$. В этом случае получается еще одно сжатие,

${\displaystyle R'=R+2\operatorname {Ric} '(n,n)+\|h\|^{2}-H^{2}}$

куда ${\displaystyle R'}$ и ${\displaystyle R}$ - соответствующие скалярные кривизны, а

${\displaystyle \|h\|^{2}=\sum _{i,j=1}^{m}h(E_{i},E_{j})^{2}}$

Если ${\displaystyle k>1}$, уравнение скалярной кривизны может быть более сложным.

Мы уже можем использовать эти уравнения, чтобы сделать некоторые выводы. Например, любое минимальное погружение^[7] в круглую сферу ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1}$ должен иметь форму

${\displaystyle \Delta x_{j}+\lambda x_{j}=0}$

куда ${\displaystyle j}$ работает от 1 до ${\displaystyle m+k+1}$ и

${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{m}\nabla _{E_{i}}\nabla _{E_{i}}}$

это Лапласиан на M, и ${\displaystyle \lambda >0}$ положительная константа.

Смотрите также

• Рамка Дарбу

Примечания

1. Топоногов (2006) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFToponogov2006 (помощь)
2. Это уравнение является основой для теории Гаусса. теорема эгрегиум. Гаусс 1828 г..
3. (Клайн 1972, п. 885).
4. Петерсон (1853 г.)
5. Иванов 2001 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFIvanov2001 (помощь).
6. Терминология из Спивака, Том III.
7. Такахаши 1966

Рекомендации

Исторические ссылки

• Капот, Оссиан (1867 г.), «Воспоминания о теории поверхностей, применимые к поверхностям», Journal de l'École Polytechnique, 25: 31–151
• Кодацци, Дельфино (1868–1869), "Sulle координата curvilinee d'una superficie dello spazio", Анна. Мат. Pura Appl., 2: 101–19
• Гаусс, Карл Фридрих (1828 г.), «Общие исследования вокруг кривых поверхностей» [Общие дискуссии о криволинейных поверхностях], Comm. Soc. Должен. (на латыни), 6 («Общие обсуждения криволинейных поверхностей»)
• Иванов, А. (2001) [1994], «Уравнения Петерсона – Кодацци», Энциклопедия математики, EMS Press
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней, Oxford University Press, ISBN  0-19-506137-3
• Майнарди, Гаспаре (1856), "Su la teoria generale delle superficie", Giornale dell 'Istituto Lombardo, 9: 385–404
• Петерсон Карл Михайлович (1853), Über die Biegung der Flächen, Докторская диссертация, Дерптский университет.

Учебники

• ду Карму, Манфреду П. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Исправленное и обновленное второе издание. Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк, 2016. xvi + 510 с. ISBN  978-0-486-80699-0, 0-486-80699-5
• ду Карму, Манфреду Пердигау. Риманова геометрия. Перевод со второго португальского издания Фрэнсиса Флаэрти. Математика: теория и приложения. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1992. xiv + 300 с. ISBN  0-8176-3490-8
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми. Основы дифференциальной геометрии. Vol. II. Междунаучные трактаты по чистой и прикладной математике, № 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк-Лондон-Сидней 1969 xv + 470 стр.
• О'Нил, Барретт. Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности. Чистая и прикладная математика, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк, 1983. xiii + 468 с. ISBN  0-12-526740-1
• Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Краткое руководство. Birkhauser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 2006. xiv + 206 с. ISBN  978-0-8176-4384-3; ISBN  0-8176-4384-2.

Статьи

• Такахаши, Цунеро (1966), "Минимальные погружения римановых многообразий", Журнал математического общества Японии
• Саймонс, Джеймс. Минимальные многообразия в римановых многообразиях. Анна. математики. (2) 88 (1968), 62–105.

внешняя ссылка

• Уравнения Петерсона – Майнарди – Кодацци - из Wolfram MathWorld
• Уравнения Петерсона – Кодацци.