Погружение (математика) - Immersion (mathematics)

В Бутылка Клейна, погруженный в 3-х мерное пространство.

По поводу замкнутого погружения в алгебраическую геометрию см. закрытое погружение.

В математика, погружение это дифференцируемая функция между дифференцируемые многообразия чей производная везде инъективный.^[1] Ясно, ж : M → N это погружение, если

{displaystyle D_ {p} f: T_ {p} M o T_ {f (p)} N,}

является инъективной функцией в каждой точке п из M (куда Т_пИкс обозначает касательное пространство многообразия Икс в какой-то момент п в Икс). Эквивалентно, ж является погружением, если его производная имеет постоянную классифицировать равный размеру M:^[2]

{displaystyle operatorname {rank}, D_ {p} f = dim M.}

Функция ж само по себе не обязательно должно быть инъективным, только его производное.

Родственное понятие - понятие встраивание. Гладкое вложение - это инъективное погружение ж : M → N это тоже топологическое вложение, так что M является диффеоморфный к его образу в N. Погружение - это в точности локальное вложение, т. Е. Для любой точки Икс ∈ M Существует район, U ⊆ M, из Икс такой, что ж : U → N - вложение, и наоборот, локальное вложение - это погружение.^[3] Для бесконечномерных многообразий это иногда принимают за определение погружения.^[4]

Инъективно погруженное подмногообразие это не вложение.

Если M является компактный, инъективное погружение является вложением, но если M не компактно, то инъективные погружения не обязательно должны быть вложениями; сравнить с непрерывными биекциями по сравнению с гомеоморфизмы.

Регулярная гомотопия

А регулярная гомотопия между двумя погружениями ж и грамм из многообразие M к коллектору N определяется как дифференцируемая функция ЧАС : M × [0,1] → N такой, что для всех т в [0, 1] функция ЧАС_т : M → N определяется ЧАС_т(Икс) = ЧАС(Икс, т) для всех Икс ∈ M это погружение, с ЧАС₀ = ж, ЧАС₁ = грамм. Таким образом, регулярная гомотопия - это гомотопия через погружения.

Классификация

Хасслер Уитни инициировал систематическое изучение погружений и регулярных гомотопий в 1940-х годах, доказав, что для 2м < п + 1 каждая карта ж : M^м → N^п из м-мерное многообразие в п-мерное многообразие гомотопный к погружению, а на самом деле к встраивание за 2м < п; эти Теорема Уитни об погружении и Теорема вложения Уитни.

Стивен Смейл выразил регулярные гомотопические классы погружений ж : M^м → р^п как гомотопические группы определенного Коллектор Штифеля. В выворот сферы было особенно ярким следствием.

Моррис Хирш обобщил выражение Смейла до теория гомотопии описание регулярных гомотопических классов погружений любых м-мерное многообразие M^м в любом п-мерное многообразие N^п.

Классификация погружений Хирша-Смейла была обобщена Михаил Громов.

Существование

В Лента Мебиуса не погружается в коразмерность 0, поскольку его касательное расслоение нетривиально.

Основное препятствие существованию погружения я : M^м → р^п это стабильный нормальный пакет из M, как обнаружено его характеристические классы, особенно его Классы Штифеля – Уитни. То есть, поскольку р^п является распараллеливаемый откат его касательного пучка к M тривиально; так как этот откат представляет собой прямую сумму (внутренне определенного) касательного расслоения на M, TM, имеющий размерность м, и нормального пучка ν погружения я, имеющий размерность п − м, чтобы там был коразмерность k погружение M, должно существовать векторное расслоение размерности k, ξ^k, заменяющий обычную связку ν, так что TM ⊕ ξ^k тривиально. И наоборот, при таком пучке погружение M с этим нормальным расслоением эквивалентно погружению коразмерности 0 всего пространства этого расслоения, которое является открытым многообразием.

Стабильное нормальное расслоение - это класс нормальных расслоений плюс тривиальные расслоения, и, таким образом, если стабильное нормальное расслоение имеет когомологическую размерность k, он не может происходить из (нестабильного) нормального пучка размерности меньше, чем k. Таким образом, размерность когомологий стабильного нормального расслоения, обнаруженная его высшим отличным от нуля характеристическим классом, является препятствием для погружений.

Поскольку характеристические классы умножаются при прямой сумме векторных расслоений, это препятствие может быть внутренне сформулировано в терминах пространства M и его касательное расслоение и алгебра когомологий. Это препятствие было сформулировано (в терминах касательного расслоения, а не стабильного нормального расслоения) Уитни.

Например, Лента Мебиуса имеет нетривиальное касательное расслоение, поэтому оно не может погружаться в коразмерность 0 (в р²), хотя он вкладывается в коразмерность 1 (в р³).

Уильям С. Мэсси (1960 ) показал, что эти характеристические классы (классы Штифеля – Уитни стабильного нормального расслоения) обращаются в нуль выше степени п − α(п), куда α(п) это количество цифр "1", когда п записывается в двоичном формате; эта оценка точна, как это понимается реальное проективное пространство. Это свидетельствовало о Гипотеза погружения, а именно, что каждый п-многообразие может быть погружено в коразмерность п − α(п), т.е. в р^{2п−α (п)}. Это предположение было доказано Ральф Коэн (1985 ).

Коразмерность 0

Погружения коразмерности 0 эквивалентны относительный измерение 0 погружения, и их лучше рассматривать как погружения. Погружение коразмерности 0 закрытый коллектор это точно карта покрытия, т.е. пучок волокон с 0-мерным (дискретным) слоем. К Теорема Эресмана и теоремы Филлипса о субмерсиях, a правильный субмерсия многообразий представляет собой расслоение, поэтому погружения / субмерсии коразмерности / относительной размерности 0 ведут себя как субмерсии.

Кроме того, погружения коразмерности 0 не ведут себя, как другие погружения, которые в значительной степени определяются стабильным нормальным расслоением: в коразмерности 0 возникают проблемы фундаментальный класс и покрывают пространства. Например, не существует погружения коразмерности 0. S¹ → р¹, несмотря на то, что окружность распараллеливаема, что может быть доказано, потому что прямая не имеет фундаментального класса, поэтому нельзя получить требуемое отображение на верхних когомологиях. В качестве альтернативы это неизменность домена. Аналогично, хотя S³ и 3-тор Т³ оба параллелизуются, погружения нет Т³ → S³ - любое такое покрытие должно было бы иметь разветвление в некоторых точках, поскольку сфера односвязна.

Другой способ понять это состоит в том, что коразмерность k погружению многообразия соответствует погружение коразмерности 0 k-мерное векторное расслоение, которое является открыто многообразие если коразмерность больше 0, но до замкнутого многообразия коразмерности 0 (если исходное многообразие замкнуто).

Несколько точек

А k-точка (двойное, тройное и др.) погружения ж : M → N неупорядоченный набор {Икс₁, ..., Икс_k} различных точек Икс_я ∈ M с таким же изображением ж(Икс_я) ∈ N. Если M является м-мерное многообразие и N является п-мерное многообразие, то для погружения ж : M → N в общая позиция набор k-набор точек - это (п − k(п − м))-мерное многообразие. Каждое вложение - это погружение без множества точек (где k > 1). Обратите внимание, однако, что обратное неверно: есть инъективные погружения, которые не являются вложениями.

Характер множественных точек классифицирует погружения; например, погружения круга в плоскость классифицируются с точностью до регулярной гомотопии по количеству двойных точек.

В ключевой момент в теория хирургии необходимо решить, если погружение ж : S^м → N^2м из м-сфера в 2м-мерное многообразие регулярно гомотопно вложению, и в этом случае его можно убить хирургическим путем. стена связано с ж инвариант μ(ж) в частном фундаментальная группа звенеть Z[ $π$ ₁(N)], в котором учитываются двойные очки ж в универсальный чехол из N. За м > 2, ж регулярно гомотопно вложению тогда и только тогда, когда μ(ж) = 0 посредством Уитни обманывать.

Можно изучать вложения как «погружения без множества точек», поскольку погружения легче классифицировать. Таким образом, можно начать с погружений и попытаться устранить несколько точек, чтобы посмотреть, можно ли это сделать, не вводя другие особенности, - изучая «множественные дизъюнкции». Впервые это было сделано Андре Хефлигер, и этот подход является плодотворным в коразмерности 3 или более - с точки зрения теории хирургии, это «высокая (со) размерность», в отличие от коразмерности 2, которая является размерностью узлов, как в теория узлов. Он изучается категорически через "исчисление функторов " к Томас Гудвилли, Джон Кляйн, и Майкл С. Вайс.

Примеры и свойства

В Бутылка Клейна и все другие неориентируемые замкнутые поверхности могут быть погружены в 3-мерное пространство, но не погружены.

В четырехлистник, 4-х лепестковая роза.

Математический Роза с k лепестки - это погружение круга в плоскость с одиночным k-конечная точка; k может быть любым нечетным числом, но четное должно быть кратным 4, поэтому цифра 8 не является розой.
Посредством Теорема Уитни – Граустейна, регулярные гомотопические классы погружений окружности в плоскость классифицируются номер намотки, которое также является количеством двойных точек, подсчитанных алгебраически (то есть со знаками).
В шар можно вывернуть наизнанку: стандартное вложение ж₀ : S² → р³ относится к ж₁ = −ж₀ : S² → р³ регулярной гомотопией погружений ж_т : S² → р³.
Поверхность мальчика это погружение в реальная проективная плоскость в 3-м пространстве; таким образом, также происходит погружение сферы 2 к 1.
В Поверхность Морина это погружение шара; и она, и поверхность Боя возникают как промежуточные модели в вывороте сферы.

Погруженные плоские кривые

Эта кривая имеет полная кривизна 6

π

, и номер поворота 3, хотя в нем есть только номер намотки 2 оп.

Кривые погруженных плоскостей имеют четко выраженный номер поворота, который можно определить как полная кривизна делится на 2 $π$ . Это инвариантно относительно регулярной гомотопии согласно Теорема Уитни – Граустейна - топологически это степень Карта Гаусса, или эквивалентно номер намотки единичной касательной (которая не обращается в нуль) относительно начала координат. Далее, это полный набор инвариантов - любые две плоские кривые с одинаковым числом поворота являются правильными гомотопными.

Каждая кривая погруженной плоскости поднимается до кривой вложенного пространства через разделение точек пересечения, что неверно в высших измерениях. С добавленными данными (какая нить находится сверху) кривые погруженной плоскости дают схемы узлов, которые представляют центральный интерес в теория узлов. В то время как погруженные плоские кривые с точностью до регулярной гомотопии определяются числом их поворота, узлы имеют очень богатую и сложную структуру.

Погружаемые поверхности в 3-м пространстве

Изучение погруженных поверхностей в 3-мерном пространстве тесно связано с изучением заузленных (погруженных) поверхностей в 4-мерном пространстве по аналогии с теорией схемы узлов (погруженные плоские кривые (2-пространство) как проекции узловых кривых в 3-м пространстве): дана узловая поверхность в 4-м пространстве, ее можно спроецировать на погруженную поверхность в 3-м пространстве, и наоборот, учитывая погруженную поверхность в 3-пространство, можно спросить, поднимается ли оно в 4-пространство - это проекция узловой поверхности в 4-пространстве? Это позволяет задавать вопросы об этих объектах.

Основной результат, в отличие от случая плоских кривых, заключается в том, что не каждая погруженная поверхность поднимается до узловатой поверхности.^[5] В некоторых случаях препятствие является 2-торсионным, например, в Пример Кошорке,^[6] которая представляет собой погруженную поверхность (сформированную из 3 лент Мёбиуса, с тройная точка ), который не поднимается до узловатой поверхности, но имеет двойную крышку, которая поднимается. Подробный анализ приведен в Картер и Сайто (1998), а более свежий обзор приведен в Картер, Камада и Сайто (2004).

Обобщения

Широкое обобщение теории погружения - это принцип гомотопии: можно рассмотреть условие погружения (ранг производной всегда k) как отношение в частных производных (PDR), как это можно выразить в терминах частных производных функции. Тогда теория погружения Смейла – Хирша является результатом того, что она сводится к теории гомотопии, а принцип гомотопии дает общие условия и причины для того, чтобы PDR сводились к теории гомотопии.

Смотрите также

Примечания

^ Это определение дается Бишоп и Криттенден, 1964, п. 185, Дорогая 1994, п. 53, ду Карму 1994, п. 11, Франкель 1997, п. 169, г. Галло, Хулин и Лафонтен 2004, п. 12, Кобаяси и Номидзу 1963, п. 9, Косинский 2007, п. 27, Секереш 2004, п. 429.
^ Это определение дается Крампин и Пирани 1994, п. 243, Спивак 1999, п. 46.
^ Такое определение, основанное на локальных диффеоморфизмах, дается формулой Епископ и Голдберг, 1968 г., п. 40, Lang 1999, п. 26.
^ Такое бесконечномерное определение дается формулой Lang 1999, п. 26.
^ Картер и Сайто 1998; Картер, Камада и Сайто 2004, Замечание 1.23, с. 17
^ Кощорке 1979

внешняя ссылка

Погружение в Manifold Atlas
Погружение многообразия в энциклопедии математики

[1] Это определение дается Бишоп и Криттенден, 1964, п. 185, Дорогая 1994, п. 53, ду Карму 1994, п. 11, Франкель 1997, п. 169, г. Галло, Хулин и Лафонтен 2004, п. 12, Кобаяси и Номидзу 1963, п. 9, Косинский 2007, п. 27, Секереш 2004, п. 429.

[2] Это определение дается Крампин и Пирани 1994, п. 243, Спивак 1999, п. 46.

[3] Такое определение, основанное на локальных диффеоморфизмах, дается формулой Епископ и Голдберг, 1968 г., п. 40, Lang 1999, п. 26.

[4] Такое бесконечномерное определение дается формулой Lang 1999, п. 26.

[5] Картер и Сайто 1998; Картер, Камада и Сайто 2004, Замечание 1.23, с. 17

[6] Кощорке 1979

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]