Выворот сферы - Sphere eversion

А Поверхность Морина видно "сверху"

Воспроизвести медиа

Процесс выворота сферы, описанный в ^[1]

выворот бумажной сферы и поверхность Морина

бумага поверхность Морина (выворот сферы на полпути) с гексагональной симметрией

В дифференциальная топология, выворот сферы это процесс превращения сфера наизнанку в трехмерное пространство. (Слово выворот означает "выворачивание наизнанку". Примечательно, что таким образом можно плавно и непрерывно выворачивать сферу наизнанку (с возможным самопересечения ), не разрезая, не разрывая и не создавая каких-либо складка. Это удивительно как для не математиков, так и для тех, кто понимает регулярная гомотопия, и может рассматриваться как правдоподобный парадокс; это то, что, хотя и верно, на первый взгляд кажется ложным.

Точнее, пусть

{ Displaystyle е двоеточие S ^ {2} to mathbb {R} ^ {3}}

быть стандартом встраивание; тогда есть регулярная гомотопия из погружения

{ displaystyle f_ {t} двоеточие S ^ {2} to mathbb {R} ^ {3}}

такой, что ƒ₀ = ƒ и ƒ₁ = −ƒ.

История

An доказательство существования для выворачивания сферы без складок была впервые создана Стивен Смейл (1957 Трудно представить себе конкретный пример такого поворота, хотя некоторые цифровая анимация были произведены, что несколько упрощает задачу. Первый пример был выставлен благодаря усилиям нескольких математиков, в том числе Арнольд С. Шапиро и Бернар Морен, который был слепым. С другой стороны, гораздо легче доказать, что такой "поворот" существует, и именно это Смейл сделал.

Советник выпускника Смейла Рауль Ботт сначала сказал Смейлу, что результат явно неправильный (Леви 1995 ). Его аргументация заключалась в том, что степень из Карта Гаусса должны сохраняться в таком «повороте» - в частности, следует, что такого превращение из S¹ в р². Но степени отображения Гаусса для вложений ж и -ж в р³ оба равны 1 и не имеют противоположных знаков, как можно было бы ошибочно предположить. Степень отображения Гаусса всех погружений S² в р³ равно 1, поэтому препятствий нет. Термин «правдоподобный парадокс», возможно, более уместен на этом уровне: до работы Смейла не было документально подтвержденных попыток аргументировать за или против выворота S², и более поздние попытки задним числом, так что никогда не было исторического парадокса, связанного с выворотом сферы, только оценка тонкостей его визуализации теми, кто сталкивается с этой идеей впервые.

Видеть час-принцип для дальнейших обобщений.

Доказательство

Первоначальное доказательство Смейла было косвенным: он отождествил (регулярные гомотопические) классы погружений сфер с гомотопической группой Коллектор Штифеля. Поскольку гомотопическая группа, соответствующая погружениям ${ Displaystyle S ^ {2}}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ обращается в нуль, стандартное вложение и вложение наизнанку должны быть регулярными гомотопными. В принципе, доказательство можно развернуть и получить явную регулярную гомотопию, но сделать это непросто.

Есть несколько способов создания наглядных примеров и красивых математическая визуализация:

Промежуточные модели: они состоят из очень особых гомотопий. Это оригинальный метод, впервые примененный Шапиро и Филлипсом через Поверхность мальчика, позже усовершенствованный многими другими. Первоначальные гомотопии половинчатых моделей были построены вручную и работали топологически, но не были минимальными. Фильм, созданный Нельсоном Максом за семилетний период и основанный на проволочных моделях Чарльза Пью (впоследствии украденных из математического факультета в Беркли), был для своего времени `` туром по компьютерной графике ''. эталон компьютерной анимации на многие годы. Более поздняя и окончательная доработка графики (1980-е гг.) минимаксный выворот, который является вариационный метод и состоят из специальных гомотопий (они являются кратчайшими путями относительно Уиллмор энергия ). В свою очередь, понимание поведения энергии Уиллмора требует понимания решений уравнений с частными производными четвертого порядка, и поэтому визуально красивые и вызывающие воспоминания изображения опровергают некоторые очень глубокие математические представления, выходящие за рамки первоначального абстрактного доказательства Смейла.
Терстон гофры: это топологический метод и универсальный; он принимает гомотопию и возмущает ее так, что она становится регулярной гомотопией. Это показано в компьютерной графике. Снаружи разработан в Центр геометрии под руководством Сильвио Леви, Делле Максвелла и Тамара Мунзнер.^[2]
«Вселенная» Эйчисона (2010): здесь используется комбинация топологических и геометрических методов и характерна для действительной регулярной гомотопии между стандартно встроенной 2-сферой и вложением с обратной ориентацией. Это обеспечивает концептуальное понимание процесса, возникающего из конкретной структуры 3-мерной проективной плоскости и лежащей в основе геометрии расслоения Хопфа. Понимание деталей этих математических концепций не требуется, чтобы концептуально оценить возникающий конкретный выворот, который, по сути, требует только понимания конкретной вложенной окружности, нарисованной на торе в 3-м пространстве. Джордж Фрэнсис предложил название «вселенная», производное от слова «холистический», поскольку (после некоторого размышления) полный выворот можно концептуально охватить от начала до конца без наглядных пособий, предоставляемых анимацией. По духу это ближе к идеям, первоначально предложенным Шапиро, и на практике обеспечивает конкретное доказательство выворота, не требующее абстракции, лежащей в основе доказательства Смейла. Частично это показано в Поврай компьютерно-графическая анимация, которую снова легко найти с помощью поиска на YouTube.
Комбинируя вышеуказанные методы, полный выворот сферы можно описать системой замкнутых уравнений, дающих минимальную топологическую сложность ^[1]

Вариации

Шестимерная сфера ${ displaystyle S ^ {6}}$ в семимерном эвклидовом пространстве ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {7}}$ допускает выворот. В очевидном случае 0-мерной сферы ${ displaystyle S ^ {0}}$ (две разные точки) на реальной линии ${ Displaystyle mathbb {R}}$ и описанный выше случай двумерной сферы в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ есть только три случая, когда сфера ${ Displaystyle S ^ {п}}$ встроенный в евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п + 1}}$ допускает выворот.

Галерея эверсионных ступеней

Земельные участки
Линейчатая модель полпути с четверной точкой вид сверху диагональный вид вид сбоку	Закрыто на полпути вид сверху диагональный вид вид сбоку	Управляемая модель смерти тройных точек вид сверху диагональный вид вид сбоку
Линейчатая модель конца петли центрального пересечения вид сверху диагональный вид вид сбоку	Линейчатая модель последней ступени вид сверху диагональный вид вид сбоку