Уиллмор энергия - Willmore energy

Скульптура Willmore Surface в Даремском университете памяти Томаса Уиллмора

В дифференциальная геометрия, то Уиллмор энергия количественная мера того, сколько поверхность отклоняется от раунда сфера. Математически энергия Уиллмора гладкий; плавный закрытая поверхность встроенный в трехмерном Евклидово пространство определяется как интеграл площади средняя кривизна минус Гауссова кривизна. Назван в честь английского геометра. Томас Уиллмор.

Определение

Выраженная символически, энергия Уиллмора S является:

{ Displaystyle { mathcal {W}} = int _ {S} H ^ {2} , dA- int _ {S} K , dA}

куда ${ displaystyle H}$ это средняя кривизна, ${ displaystyle K}$ это Гауссова кривизна, и dA это форма площади S. Для закрытой поверхности Теорема Гаусса – Бонне, интеграл от гауссовой кривизны может быть вычислен через Эйлерова характеристика ${ Displaystyle чи (S)}$ поверхности, поэтому

{ Displaystyle int _ {S} К , dA = 2 пи чи (S),}

который является топологический инвариант и, таким образом, не зависит от конкретного вложения в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ это было выбрано. Таким образом, энергия Уиллмора может быть выражена как

{ Displaystyle { mathcal {W}} = int _ {S} H ^ {2} , dA-2 pi chi (S)}

Альтернативная, но эквивалентная формула:

{ Displaystyle { mathcal {W}} = {1 более 4} int _ {S} (k_ {1} -k_ {2}) ^ {2} , dA}

куда ${ displaystyle k_ {1}}$ и ${ displaystyle k_ {2}}$ являются основные кривизны поверхности.

Характеристики

Энергия Уиллмора всегда больше или равна нулю. Вокруг сфера имеет нулевую энергию Уиллмора.

Энергию Уиллмора можно рассматривать как функционал на пространстве вложений данной поверхности в смысле вариационное исчисление, и можно варьировать вложение поверхности, не изменяя ее топологию.

Критические точки

Основная проблема в вариационное исчисление найти критические точки и минимумы функционала.

Для данного топологического пространства это эквивалентно нахождению критических точек функции

{ displaystyle int _ {S} H ^ {2} , dA}

поскольку эйлерова характеристика постоянна.

(Локальные) минимумы энергии Уиллмора можно найти с помощью градиентный спуск, который в этом контексте называется потоком Уиллмора.

Для вложений сферы в 3-пространство критические точки классифицированы:^[1] они все конформные преобразования из минимальные поверхности, круглая сфера является минимумом, а все другие критические значения - целые числа больше или равные 4 ${ displaystyle pi}$ . Их называют поверхностями Уиллмора.

Уиллмор Флоу

В Уиллмор Флоу это геометрический поток соответствует энергии Уиллмора; это ${ displaystyle L ^ {2}}$ -градиентный поток.

{ Displaystyle е [{ mathcal {M}}] = { frac {1} {2}} int _ { mathcal {M}} H ^ {2} , mathrm {d} A}

куда ЧАС стоит за средняя кривизна из многообразие ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ .

Линии потока удовлетворяют дифференциальному уравнению:

{ displaystyle partial _ {t} x (t) = - nabla { mathcal {W}} [x (t)] ,}

куда ${ displaystyle x}$ - точка, принадлежащая поверхности.

Этот поток приводит к проблеме эволюции в дифференциальная геометрия: поверхность ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ эволюционирует во времени, чтобы следовать за вариациями наискорейшего спуска энергии. подобно поверхностная диффузия это поток четвертого порядка, так как изменение энергии содержит четвертые производные.

Приложения

Клеточные мембраны имеют тенденцию располагаться так, чтобы минимизировать энергию Уиллмора.^[2]
Энергия Уиллмора используется для построения класса оптимальных выворот сферы, то минимаксный выворот.

Смотрите также

Гипотеза Уиллмора

Примечания

^ Брайант, Роберт Л. (1984), «Теорема двойственности для поверхностей Уиллмора», Журнал дифференциальной геометрии, 20 (1): 23–53, Г-Н 0772125.
^ Мюллер, Стефан; Рёгер, Маттиас (май 2014 г.). «Замкнутые конструкции с наименьшей энергией изгиба». Журнал дифференциальной геометрии. 97 (1): 109–139. Дои:10.4310 / jdg / 1404912105.