Степень непрерывного отображения - Degree of a continuous mapping

Эта статья посвящена термину «степень», который используется в алгебраической топологии. Для использования в других целях см. Степень (значения).

Карта степени два сфера на себя.

В топология, то степень из непрерывное отображение между двумя компактный ориентированный коллекторы того же самого измерение число, которое представляет, сколько раз домен коллектор оборачивается вокруг классифицировать многообразие при отображении. Степень всегда целое число, но может быть положительным или отрицательным в зависимости от ориентации.

Степень карты была впервые определена Брауэр,^[1] кто показал, что степень гомотопия инвариантный (инвариантный среди гомотопий) и использовал его для доказательства Теорема Брауэра о неподвижной точке. В современной математике степень отображения играет важную роль в топологии и геометрия. В физика степень непрерывной карты (например, карта из космоса в некоторый набор параметров порядка) является одним из примеров топологическое квантовое число.

Определения степени

Из S^п к S^п

Самый простой и важный случай - это степень непрерывная карта от ${\displaystyle n}$-сфера ${\displaystyle S^{n}}$ себе (в случае ${\displaystyle n=1}$, это называется номер намотки ):

Позволять ${\displaystyle f\colon S^{n}\to S^{n}}$ - непрерывное отображение. потом ${\displaystyle f}$ индуцирует гомоморфизм ${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}\left(S^{n}\right)\to H_{n}\left(S^{n}\right)}$, куда ${\displaystyle H_{n}\left(\cdot \right)}$ это ${\displaystyle n}$th группа гомологии. Учитывая тот факт, что ${\displaystyle H_{n}\left(S^{n}\right)\cong \mathbb {Z} }$, Мы видим, что ${\displaystyle f_{*}}$ должен иметь форму ${\displaystyle f_{*}\colon x\mapsto \alpha x}$ для некоторых фиксированных ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$.Этот ${\displaystyle \alpha }$ тогда называется степенью ${\displaystyle f}$.

Между коллекторами

Алгебраическая топология

Позволять Икс и Y быть закрытым связаны ориентированный м-размерный коллекторы. Ориентируемость многообразия означает, что его вершина группа гомологии изоморфен Z. Выбор ориентации означает выбор генератора топ-группы гомологий.

Непрерывная карта ж : Икс→Y индуцирует гомоморфизм ж_* из ЧАС_м(Икс) к ЧАС_м(Y). Позволять [Икс], соотв. [Y] - выбранный генератор ЧАС_м(Икс), соотв. ЧАС_м(Y) (или фундаментальный класс из Икс, Y). Затем степень из ж определяется как ж_*([Икс]). Другими словами,

${\displaystyle f_{*}([X])=\deg(f)[Y]\,.}$

Если у в Y и ж ⁻¹(у) - конечное множество, степень ж можно вычислить, рассматривая м-й группы локальных гомологий из Икс в каждой точке ж ⁻¹(у).

Дифференциальная топология

На языке дифференциальной топологии степень гладкого отображения может быть определена следующим образом: Если ж гладкое отображение, область определения которого является компактным многообразием и п это обычное значение из ж, рассмотрим конечное множество

${\displaystyle f^{-1}(p)=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\,.}$

К п являясь обычным значением, в окрестности каждого Икс_я карта ж местный диффеоморфизм (это карта покрытия ). Диффеоморфизмы могут быть как сохраняющими ориентацию, так и меняющими ориентацию. Позволять р быть количеством баллов Икс_я на котором ж сохраняет ориентацию и s быть числом, на котором ж меняет ориентацию. Когда домен ж подключен, номер р − s не зависит от выбора п (хотя п нет!) и один определяет степень из ж быть р − s. Это определение совпадает с приведенным выше алгебраическим топологическим определением.

То же определение работает для компактных многообразий с граница но потом ж должен отправить границу Икс к границе Y.

Можно также определить степень по модулю 2 (град₂(ж)) так же, как и раньше, но с фундаментальный класс в Z₂ гомология. В этом случае deg₂(ж) является элементом Z₂ (в поле с двумя элементами ) многообразия не обязательно должны быть ориентируемыми, и если п это количество прообразов п как и раньше, то град₂(ж) является п по модулю 2.

Интеграция дифференциальные формы дает соединение между (C^∞-)особые гомологии и когомологии де Рама: ${\displaystyle \langle c,\omega \rangle =\int _{c}\omega }$, куда ${\displaystyle c}$ класс гомологии, представленный циклом ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle \omega }$ замкнутая форма, представляющая класс когомологий де Рама. Для гладкой карты ж : Икс→Y между ориентируемыми м-многообразий

${\displaystyle \langle f_{*}[c],[\omega ]\rangle =\langle [c],f^{*}[\omega ]\rangle ,}$

куда ж_* и ж* - индуцированные отображения на цепях и формах соответственно. С ж_*[Икс] = град ж · [Y], у нас есть

${\displaystyle \deg f\int _{Y}\omega =\int _{X}f^{*}\omega \,}$

для любого м-форма ω на Y.

Карты из закрытого региона

Если ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ограниченный область, край, ${\displaystyle f:{\bar {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}}$ гладкий, ${\displaystyle p}$ а обычное значение из ${\displaystyle f}$ и${\displaystyle p\notin f(\partial \Omega )}$, то степень ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)}$ определяется формулой

${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p):=\sum _{y\in f^{-1}(p)}\operatorname {sgn} \det(1-Df(y))}$

куда ${\displaystyle Df(y)}$ это Матрица Якоби из ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle y}$. Это определение степени можно естественным образом расширить для нерегулярных значений ${\displaystyle p}$ такой, что ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg(f,\Omega ,p')}$ куда ${\displaystyle p'}$ точка близка к ${\displaystyle p}$.

Степень удовлетворяет следующим свойствам:^[2]

• Если ${\displaystyle \deg(f,{\bar {\Omega }},p)\neq 0}$, то существует ${\displaystyle x\in \Omega }$ такой, что ${\displaystyle f(x)=p}$.
• ${\displaystyle \deg(\operatorname {id} ,\Omega ,y)=1}$ для всех ${\displaystyle y\in \Omega }$.
• Свойство разложения:

${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega _{1},y)+\deg(f,\Omega _{2},y)}$, если ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$ непересекающиеся части ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}}$ и ${\displaystyle y\not \in f({\overline {\Omega }}\setminus (\Omega _{1}\cup \Omega _{2}))}$.

• Гомотопическая инвариантность: Если ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ гомотопически эквивалентны через гомотопию ${\displaystyle F(t)}$ такой, что ${\displaystyle F(0)=f,\,F(1)=g}$ и ${\displaystyle p\notin F(t)(\partial \Omega )}$, тогда ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg(g,\Omega ,p)}$
• Функция ${\displaystyle p\mapsto \deg(f,\Omega ,p)}$ локально постоянна на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-f(\partial \Omega )}$

Эти свойства однозначно характеризуют степень, и степень может быть определена ими аксиоматическим образом.

Аналогичным образом мы могли бы определить степень отображения между компактно ориентированными многообразия с краем.

Характеристики

Степень карты - это гомотопия инвариантный; причем для непрерывных карт из сфера для себя это полный гомотопический инвариант, т.е. два отображения ${\displaystyle f,g:S^{n}\to S^{n}\,}$ гомотопны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \deg(f)=\deg(g)}$.

Другими словами, степень - это изоморфизм между ${\displaystyle [S^{n},S^{n}]=\pi _{n}S^{n}}$ и ${\displaystyle \mathbf {Z} }$.

Более того, Теорема Хопфа заявляет, что для любого ${\displaystyle n}$-мерная замкнутая ориентированная многообразие M, две карты ${\displaystyle f,g:M\to S^{n}}$ гомотопны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \deg(f)=\deg(g).}$

Самостоятельная карта ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$ из п-сфера расширяется до карты ${\displaystyle F:B_{n}\to S^{n}}$ от п-бол в п-сфера тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \deg(f)=0}$. (Здесь функция F расширяет ж в том смысле, что ж это ограничение F к ${\displaystyle S^{n}}$.)

Расчет степени

Существует алгоритм вычисления топологической степени deg (ж, B, 0) непрерывной функции ж из п-габаритная коробка B (продукт п интервалы) к ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, куда ж дается в виде арифметических выражений.^[3] Реализация алгоритма доступна в TopDeg - программный инструмент для вычисления степени (LGPL-3).

Смотрите также

• Номер покрытия, термин с таким же названием. Обратите внимание, что он не обобщает номер намотки, а описывает покрытия множества шарами.
• Плотность (многогранник), многогранный аналог
• Теория топологической степени

Примечания

1. Брауэр, Л. Э. Дж. (1911). "Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten". Mathematische Annalen. 71 (1): 97–115. Дои:10.1007 / bf01456931. S2CID  177796823.
2. Танцовщица, Э. Н. (2000). Вариационное исчисление и уравнения с частными производными. Springer-Verlag. С. 185–225. ISBN  3-540-64803-8.
3. Франек, Питер; Ратшан, Стефан (2015). «Вычисление эффективной топологической степени на основе интервальной арифметики». Математика вычислений. 84 (293): 1265–1290. Дои:10.1090 / S0025-5718-2014-02877-9. ISSN  0025-5718. S2CID  17291092.

Рекомендации

• Фландерс, Х. (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам. Дувр.
• Хирш, М. (1976). Дифференциальная топология. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90148-5.
• Милнор, Дж. (1997). Топология с отличительной точки зрения. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-04833-8.
• Outerelo, E .; Руис, Дж. М. (2009). Отображение теории степени. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4915-6.

внешняя ссылка

• "Степень Брауэра", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Познакомимся со степенью картографии , Раде Т. Зивальевич.