Относительная гомология - Relative homology

В алгебраическая топология, филиал математика, то (особые) гомологии топологического пространства относительно подпространство - это конструкция в особые гомологии, за пары пространств. Относительная гомология полезна и важна по нескольким причинам. Интуитивно это помогает определить, какая часть абсолютного группа гомологии происходит из какого подпространства.

Определение

Учитывая подпространство ${\displaystyle A\subseteq X}$можно сформировать короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0}$,

куда ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$ обозначает особые цепи на пространстве Икс. Граничная карта на ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$ листья ${\displaystyle C_{\bullet }(A)}$ инвариантный^а и поэтому спускается на карту границ ${\displaystyle \partial '_{\bullet }}$ от частного. Если обозначить это частное через ${\displaystyle C_{n}(X,A):=C_{n}(X)/C_{n}(A)}$, тогда мы имеем сложный

${\displaystyle \cdots \longrightarrow C_{n}(X,A){\xrightarrow {\partial '_{n}}}C_{n-1}(X,A)\longrightarrow \cdots }$.

По определению п^th группа относительных гомологий пары пространств ${\displaystyle (X,A)}$ является

${\displaystyle H_{n}(X,A):=\ker \partial '_{n}/\operatorname {im} \partial '_{n+1}.}$

Говорят, что относительная гомология задается относительные циклы, цепи, границы которых являются цепями на А, по модулю относительные границы (цепи, гомологичные цепи на А, т.е. цепочки, которые были бы границами, по модулю А опять таки).^[1]

Характеристики

Вышеупомянутые короткие точные последовательности, определяющие относительные цепные группы, приводят к цепному комплексу коротких точных последовательностей. Приложение лемма о змеях затем дает длинная точная последовательность

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A){\stackrel {i_{*}}{\to }}H_{n}(X){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(X,A){\stackrel {\partial }{\to }}H_{n-1}(A)\to \cdots .}$

Соединительная карта ${\displaystyle \partial }$ берет относительный цикл, представляя класс гомологии в ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$, к его границе (которая представляет собой цикл в А).^[2]

Следует, что ${\displaystyle H_{n}(X,x_{0})}$, куда ${\displaystyle x_{0}}$ это точка в Икс, это п-го пониженная гомология группа Икс. Другими словами, ${\displaystyle H_{i}(X,x_{0})=H_{i}(X)}$ для всех ${\displaystyle i>0}$. Когда ${\displaystyle i=0}$, ${\displaystyle H_{0}(X,x_{0})}$ свободный модуль на один ранг меньше, чем ${\displaystyle H_{0}(X)}$. Связная компонента, содержащая ${\displaystyle x_{0}}$ становится тривиальным в относительной гомологии.

В теорема об удалении говорит, что удаление достаточно хорошего подмножества ${\displaystyle Z\subset A}$ покидает группы относительных гомологий ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$ без изменений. Используя длинную точную последовательность пар и теорему об вырезании, можно показать, что ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$ такой же, как п-я редуцированная группа гомологий факторпространства ${\displaystyle X/A}$.

Относительная гомология легко распространяется на тройную ${\displaystyle (X,Y,Z)}$ за ${\displaystyle Z\subset Y\subset X}$.

Можно определить Эйлерова характеристика на пару ${\displaystyle Y\subset X}$ к

${\displaystyle \chi (X,Y)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {rank} H_{j}(X,Y)}$.

Из точности последовательности следует, что эйлерова характеристика равна добавка, т.е. если ${\displaystyle Z\subset Y\subset X}$, надо

${\displaystyle \chi (X,Z)=\chi (X,Y)+\chi (Y,Z)}$.

Локальная гомология

В ${\displaystyle n}$-го группа локальных гомологий пространства ${\displaystyle X}$ в какой-то момент ${\displaystyle x_{0}}$, обозначенный

${\displaystyle H_{n,\{x_{0}\}}(X)}$

определяется как группа относительных гомологий ${\displaystyle H_{n}(X,X\setminus \{x_{0}\})}$. Неформально это «локальные» гомологии ${\displaystyle X}$ рядом с ${\displaystyle x_{0}}$.

Локальные гомологии конуса CX в начале координат

Один простой пример локальной гомологии - вычисление локальных гомологий конус (топология) пространства в начале конуса. Напомним, что конус определяется как фактор-пространство

${\displaystyle CX=(X\times I)/(X\times \{0\})}$,

куда ${\displaystyle X\times \{0\}}$ имеет топологию подпространства. Тогда происхождение ${\displaystyle x_{0}=0}$ класс эквивалентности точек ${\displaystyle [X\times 0]}$. Используя интуицию, что локальная группа гомологий ${\displaystyle H_{*,\{x_{0}\}}(CX)}$ из ${\displaystyle CX}$ в ${\displaystyle x_{0}}$ фиксирует гомологию ${\displaystyle CX}$ "около" начала координат, следует ожидать, что это гомология ${\displaystyle H_{*}(X)}$ поскольку ${\displaystyle CX\setminus \{x_{0}\}}$ имеет гомотопический ретракт к ${\displaystyle X}$. Затем вычисление локальных когомологий может быть выполнено с использованием длинной точной последовательности в гомологиях

${\displaystyle {\begin{aligned}\to &H_{n}(CX\setminus \{x_{0}\})\to H_{n}(CX)\to H_{n,\{x_{0}\}}(CX)\\\to &H_{n-1}(CX\setminus \{x_{0}\})\to H_{n-1}(CX)\to H_{n-1,\{x_{0}\}}(CX)\end{aligned}}}$.

Поскольку конус пространства стягиваемый, все средние группы гомологий равны нулю, что дает изоморфизм

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n,\{x_{0}\}}(CX)&\cong H_{n-1}(CX\setminus \{x_{0}\})\\&\cong H_{n-1}(X)\end{aligned}}}$,

поскольку ${\displaystyle CX\setminus \{x_{0}\}}$ поддается ${\displaystyle X}$.

В алгебраической геометрии

Обратите внимание, что предыдущая конструкция может быть доказана в Алгебраическая геометрия с использованием аффинный конус из проективное разнообразие ${\displaystyle X}$ с помощью Локальные когомологии.

Локальные гомологии точки на гладком многообразии

Другое вычисление для локальных гомологий можно вычислить в точке ${\displaystyle p}$ многообразия ${\displaystyle M}$. Тогда пусть ${\displaystyle K}$ быть компактной окрестностью ${\displaystyle p}$ изоморфен замкнутому диску ${\displaystyle \mathbb {D} ^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\leq 1\}}$ и разреши ${\displaystyle U=M\setminus K}$. С использованием теорема об удалении существует изоморфизм групп относительных гомологий

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(M,M\setminus \{p\})&\cong H_{n}(M\setminus U,M\setminus (U\cup \{p\}))\\&=H_{n}(K,K\setminus \{p\})\end{aligned}}}$,

следовательно, локальные гомологии точки сводятся к локальным гомологиям точки в замкнутом шаре ${\displaystyle \mathbb {D} ^{n}}$. В силу гомотопической эквивалентности

${\displaystyle \mathbb {D} ^{n}\setminus \{0\}\simeq S^{n-1}}$

и факт

${\displaystyle H_{k}(\mathbb {D} ^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\0&k\neq 0\end{cases}}}$,

единственная нетривиальная часть длинной точной последовательности пары ${\displaystyle (\mathbb {D} ,\mathbb {D} \setminus \{0\})}$ является

${\displaystyle 0\to H_{n,\{0\}}(\mathbb {D} ^{n})\to H_{n-1}(S^{n-1})\to 0}$,

следовательно, единственной ненулевой группой локальных гомологий является ${\displaystyle H_{n,\{0\}}(\mathbb {D} ^{n})}$.

Функциональность

Как и в случае абсолютных гомологий, непрерывные отображения между пространствами индуцируют гомоморфизмы между группами относительных гомологий. Фактически, это отображение является в точности индуцированным отображением на группах гомологий, но оно спускается до фактора.

Позволять ${\displaystyle (X,A)}$ и ${\displaystyle (Y,B)}$ пары пространств такие, что ${\displaystyle A\subseteq X}$ и ${\displaystyle B\subseteq Y}$, и разреши ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ - непрерывное отображение. Тогда существует индуцированное отображение ${\displaystyle f_{\#}\colon C_{n}(X)\to C_{n}(Y)}$ на (абсолютных) цепных группах. Если ${\displaystyle f(A)\subseteq B}$, тогда ${\displaystyle f_{\#}(C_{n}(A))\subseteq C_{n}(B)}$. Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{X}&:C_{n}(X)\longrightarrow C_{n}(X)/C_{n}(A)\\\pi _{Y}&:C_{n}(Y)\longrightarrow C_{n}(Y)/C_{n}(B)\\\end{aligned}}}$

быть естественные проекции которые переводят элементы в их классы эквивалентности в факторгруппы. Тогда карта ${\displaystyle \pi _{Y}\circ f_{\#}\colon C_{n}(X)\to C_{n}(Y)/C_{n}(B)}$ является гомоморфизмом групп. С ${\displaystyle f_{\#}(C_{n}(A))\subseteq C_{n}(B)=\ker \pi _{Y}}$, эта карта спускается до частного, вызывая четко определенную карту ${\displaystyle \varphi \colon C_{n}(X)/C_{n}(A)\to C_{n}(Y)/C_{n}(B)}$ такая, что коммутирует следующая диаграмма:

.^[3]

Цепные отображения индуцируют гомоморфизмы между группами гомологий, поэтому ${\displaystyle f}$ индуцирует карту ${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}(X,A)\to H_{n}(Y,B)}$ на группах относительных гомологий.^[2]

Примеры

Одним из важных способов использования относительных гомологий является вычисление групп гомологий фактор-пространств ${\displaystyle X/A}$. В случае, если ${\displaystyle A}$ является подпространством ${\displaystyle X}$ выполняется условие мягкой регулярности, что существует окрестность ${\displaystyle A}$ который имеет ${\displaystyle A}$ как деформационный ретракт, то группа ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X/A)}$ изоморфен ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$. Мы можем немедленно использовать этот факт для вычисления гомологии сферы. Мы можем реализовать ${\displaystyle S^{n}}$ как частное n-диска по его границе, т. е. ${\displaystyle S^{n}=D^{n}/S^{n-1}}$. Применение точной последовательности относительных гомологий дает следующее:
${\displaystyle \cdots \to {\tilde {H}}_{n}(D^{n})\rightarrow H_{n}(D^{n},S^{n-1})\rightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(D^{n})\to \cdots .}$

Поскольку диск стягиваем, мы знаем, что его редуцированные группы гомологий обращаются в нуль во всех измерениях, поэтому приведенная выше последовательность схлопывается до короткой точной последовательности:

${\displaystyle 0\rightarrow H_{n}(D^{n},S^{n-1})\rightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow 0.}$

Следовательно, мы получаем изоморфизмы ${\displaystyle H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})}$. Теперь мы можем продолжить по индукции, чтобы показать, что ${\displaystyle H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong \mathbb {Z} }$. Теперь, потому что ${\displaystyle S^{n-1}}$ есть деформационный ретракт подходящей окрестности себя в ${\displaystyle D^{n}}$мы получаем это ${\displaystyle H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong {\tilde {H}}_{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z} .}$

Другой проницательный геометрический пример - относительная гомология ${\displaystyle (X=\mathbb {C} ^{*},D=\{1,\alpha \})}$ куда ${\displaystyle \alpha \neq 0,1}$. Тогда мы можем использовать длинную точную последовательность

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H_{1}(D)\to H_{1}(X)\to H_{1}(X,D)\\&\to H_{0}(D)\to H_{0}(X)\to H_{0}(X,D)\end{aligned}}={\begin{aligned}0&\to 0\to \mathbb {Z} \to H_{1}(X,D)\\&\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to \mathbb {Z} \to 0\end{aligned}}}$

Используя точность последовательности, видим, что ${\displaystyle H_{1}(X,D)}$ содержит петлю ${\displaystyle \sigma }$ против часовой стрелки вокруг начала координат. Поскольку ядро ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {Z} \to H_{1}(X,D)}$ вписывается в точную последовательность

${\displaystyle 0\to \operatorname {coker} (\phi )\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to \mathbb {Z} \to 0}$

он должен быть изоморфен ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Одним из генераторов коядра является ${\displaystyle 1}$-цепь ${\displaystyle [1,\alpha ]}$ так как его граничная карта

${\displaystyle \partial ([1,\alpha ])=[\alpha ]-[1]}$

Смотрите также

• Теорема об исключении
• Последовательность Майера – Виеториса

Примечания

^ т.е., граница ${\displaystyle \partial \colon C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)}$ карты ${\displaystyle C_{n}(A)}$ к ${\displaystyle C_{n-1}(A)}$

Рекомендации

• «Группы относительной гомологии». PlanetMath.
• Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию, Springer-Verlag, ISBN  0-387-96678-1

Специфический

1. Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521795401. OCLC  45420394.
2. Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 118–119. ISBN  9780521795401. OCLC  45420394.
3. Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN  9780471452348. OCLC  248917264.