Пониженная гомология - Reduced homology

В математика, пониженная гомология это незначительное изменение, внесенное в теория гомологии в алгебраическая топология, призванный показать, что все группы гомологии нуль. Это изменение требуется для того, чтобы делать заявления без некоторых исключительных случаев (Александр двойственность являясь примером).

Если п является одноточечным пространством, то с обычными определениями группа целочисленных гомологий

ЧАС₀(п)

изоморфен ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (ан бесконечная циклическая группа ), а для я ≥ 1 имеем

ЧАС_я(п) = {0}.

В более общем плане, если Икс это симплициальный комплекс или конечный CW комплекс, то группа ЧАС₀(Икс) это свободная абелева группа с связанные компоненты из Икс как генераторы. Приведенные гомологии должны заменить эту группу ранга р скажем, по рангу р - 1. В противном случае группы гомологий должны оставаться неизменными. An для этого случая способ сделать это - думать о 0-м классе гомологии не как о формальная сумма компонентов связности, но как такая формальная сумма, в которой коэффициенты в сумме равны нулю.

В обычном определении гомология пространства Икс, мы рассматриваем цепной комплекс

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

и определим группы гомологий как ${\displaystyle H_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$.

Чтобы определить приведенные гомологии, мы начнем с дополненный цепной комплекс

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0}$

куда ${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$. Теперь определим уменьшенный группы гомологии

${\displaystyle {\tilde {H_{n}}}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ для положительного п и ${\displaystyle {\tilde {H}}_{0}(X)=\ker(\epsilon )/\mathrm {im} (\partial _{1})}$.

Можно показать, что ${\displaystyle H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z} }$; очевидно ${\displaystyle H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)}$ для всех положительных п.

Вооружившись этим модифицированным комплексом, стандартные способы получения гомологии с коэффициентами путем применения тензорное произведение, или же уменьшенный группы когомологий от коцепьевой комплекс сделано с использованием Hom функтор, может быть применено.

Рекомендации

• Хэтчер, А., (2002) Алгебраическая топология Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79540-0. Подробное обсуждение теорий гомологии симплициальных комплексов и многообразий, особых гомологий и т. Д.