Александр двойственность - Alexander duality

В математика, Александр двойственность относится к теория двойственности предвещает результат 1915 г. Дж. В. Александер, и впоследствии получили дальнейшее развитие, в частности, Павел Александров и Лев Понтрягин. Это относится к теория гомологии свойства дополнения к подпространство Икс в Евклидово пространство, а сфера, или другой многообразие. Это обобщено Двойственность Спаниера – Уайтхеда.

Современное заявление

Позволять ${\displaystyle X}$ быть компактный, локально сокращаемый подпространство сфера ${\displaystyle S^{n}}$ измерения п. Позволять ${\displaystyle S^{n}\setminus X}$ быть дополнением ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle S^{n}}$. Тогда если ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ означает пониженная гомология или же редуцированные когомологии, с коэффициентами в заданном абелева группа, существует изоморфизм

${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(S^{n}\setminus X)\cong {\tilde {H}}^{n-q-1}(X)}$

для всех ${\displaystyle q\geq 0}$. Обратите внимание, что мы можем отказаться от локальной сжимаемости как части гипотезы, если мы используем Когомологии Чеха, который предназначен для борьбы с локальными патологиями.

Результат Александра 1915 года

Возвращаясь к оригинальной работе Александра, предполагается, что Икс это симплициальный комплекс.

У Александра было мало современного оборудования, и его результат был только для Бетти числа, с учетом коэффициентов по модулю 2. Чего ожидать, исходя из примеров. Например, Клиффорд тор строительство в 3-сфера показывает, что дополнение к полноторие - другое полноторие; который будет открытым, если другой замкнут, но это не влияет на его гомологию. Каждое полноторие принадлежит гомотопия точка зрения круг. Если мы просто запишем числа Бетти

1, 1, 0, 0

круга (до ${\displaystyle H_{3}}$, поскольку мы находимся в 3-сфере), то обратим как

0, 0, 1, 1

а затем сдвиньте один влево, чтобы получить

0, 1, 1, 0

возникает трудность, поскольку мы не получаем того, с чего начали. С другой стороны, такая же процедура применяется к уменьшенный Числа Бетти, для которых начальное число Бетти уменьшается на 1, начинаются с

0, 1, 0, 0

и дает

0, 0, 1, 0

откуда

0, 1, 0, 0.

Этот делает тренироваться, предсказывая уменьшенные числа Бетти дополнения.

Прототипом здесь является Теорема Жордана, который топологически касается дополнения круг в Сфера Римана. Он также рассказывает ту же историю. У нас есть честные номера Бетти

1, 1, 0

круга, и поэтому

0, 1, 1

перевернув и

1, 1, 0

сдвинувшись влево. Это дает нечто отличное от того, что утверждает теорема Джордана, а именно, что есть две компоненты, каждая из которых стягиваемый (Теорема Шенфлиса, чтобы быть точным в отношении того, что здесь используется). То есть правильный ответ в честных числах Бетти:

2, 0, 0.

Опять же, работают уменьшенные числа Бетти. С ними мы начнем с

0, 1, 0

закончить с

1, 0, 0.

Таким образом, из этих двух примеров можно вывести формулировку Александра: уменьшенные числа Бетти ${\displaystyle {\tilde {b}}_{i}}$ связаны в дополнениях

${\displaystyle {\tilde {b}}_{i}\to {\tilde {b}}_{n-i-1}}$.

Рекомендации

• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология (PDF). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 254. ISBN  0-521-79540-0.
• "Александровская двойственность", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

дальнейшее чтение

• Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005). Комбинаторная коммутативная алгебра. Тексты для выпускников по математике. 227. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. Гл. 5 Александр Двойственность. ISBN  0-387-22356-8.