Теорема об удалении - Excision theorem

В алгебраическая топология, филиал математика, то теорема об удалении это теорема о относительная гомология и один из Аксиомы Эйленберга – Стинрода. Учитывая топологическое пространство ${ displaystyle X}$ и подпространства ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle U}$ такой, что ${ displaystyle U}$ также является подпространством ${ displaystyle A}$ , теорема гласит, что при определенных обстоятельствах мы можем вырезать (акциз) ${ displaystyle U}$ из обоих пространств так, что относительные гомологии пар ${ Displaystyle (Х setminus U, A setminus U)}$ в ${ Displaystyle (Х, А)}$ изоморфны.

Это помогает в вычислении особые гомологии групп, так как иногда после вырезания правильно выбранного подпространства мы получаем что-то более простое для вычисления.

Теорема

Заявление

Если ${ Displaystyle U substeq A substeq X}$ как указано выше, мы говорим, что ${ displaystyle U}$ возможно вырезанный если карта включения пары ${ Displaystyle (Х setminus U, A setminus U)}$ в ${ Displaystyle (Х, А)}$ индуцирует изоморфизм на относительных гомологиях:

{ Displaystyle Н_ {п} (Икс setminus U, A setminus U) cong H_ {n} (X, A)}

Теорема утверждает, что если закрытие из ${ displaystyle U}$ содержится в интерьер из ${ displaystyle A}$ , тогда ${ displaystyle U}$ могут быть вырезаны.

Часто подпространства, которые не удовлетворяют этому критерию включения, все же могут быть вырезаны - достаточно иметь возможность найти деформационный отвод подпространств на подпространства, которые ему удовлетворяют.

Пробный эскиз

Доказательство теоремы об удалении довольно интуитивно понятно, хотя детали довольно сложны. Идея состоит в том, чтобы разделить симплексы в относительный цикл в ${ Displaystyle (Х, А)}$ чтобы получить еще одну цепочку, состоящую из «меньших» симплексов, и продолжая процесс до тех пор, пока каждый симплекс в цепочке не окажется полностью внутри ${ displaystyle A}$ или интерьер ${ Displaystyle X setminus U}$ . Поскольку они образуют открытую крышку для ${ displaystyle X}$ и симплексы компактный, мы можем сделать это за конечное число шагов. Этот процесс оставляет исходный класс гомологии цепи неизменным (это говорит о том, что оператор подразделения равен цепной гомотопный к тождественному отображению на гомологиях), а в относительных гомологиях ${ Displaystyle Н_ {п} (Х, А)}$ , то это говорит о том, что все термины, полностью содержащиеся внутри ${ displaystyle U}$ можно отбросить, не затрагивая класс гомологии цикла. Это позволяет нам показать, что отображение включения является изоморфизмом, поскольку каждый относительный цикл эквивалентен циклу, исключающему ${ displaystyle U}$ полностью.

Приложения

Аксиомы Эйленберга – Стинрода

Теорема об удалении считается одной из аксиом Эйленберга – Стинрода.

Последовательности Майера-Виеториса

В Последовательность Майера – Виеториса может быть получен с помощью комбинации теоремы об удалении и длинной точной последовательности.^[1]

Примеры

Смотрите также

Теорема гомотопического вырезания

Библиография

Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1
Хэтчер, Аллен, Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002.

[1] См., Например, Hatcher 2002, p.149.

[1]