GF (2) - GF(2)

GF (2) (также F₂, Z/2Z или Z₂) это граммАлоис жполе из двух элементов. Это самый маленький поле.

Определение

Эти два элемента почти всегда называются 0 и 1, так как добавка и мультипликативные тождества, соответственно.

Операция добавления поля представлена ​​в таблице ниже, которая соответствует логический XOR операция.

+	0	1
0	0	1
1	1	0

Операция умножения поля соответствует логическое И операция.

×	0	1
0	0	0
1	0	1

Можно также определить GF (2) как кольцо частного из кольцо целых чисел Z посредством идеальный 2Z из всех четные числа: GF (2) = Z/2Z.

Характеристики

Основная статья: конечное поле

Поскольку GF (2) является полем, многие знакомые свойства систем счисления, такие как рациональное число и действительные числа сохраняются:

• дополнение имеет элемент идентичности (0) и обратный для каждого элемента;
• умножение имеет единичный элемент (1) и обратный для каждого элемента, кроме 0;
• сложение и умножение коммутативный и ассоциативный;
• умножение распределительный сверх сложения.

К свойствам, которые не известны по реальным числам, относятся:

• каждый элемент Икс GF (2) удовлетворяет Икс + Икс = 0 и, следовательно, -Икс = Икс; это означает, что характеристика GF (2) равно 2;
• каждый элемент Икс GF (2) удовлетворяет Икс² = Икс (т.е. идемпотент относительно умножения); это пример Маленькая теорема Ферма. GF (2) - это Только поле с этим свойством (Доказательство: если ${displaystyle x^{2}=x}$, то либо ${displaystyle x=0}$ или ${displaystyle xeq 0}$. В последнем случае, Икс должен иметь мультипликативный обратный, и в этом случае деление обеих частей на Икс дает ${displaystyle x=1}$. Все большие поля содержат элементы, отличные от 0 и 1, и эти элементы не могут удовлетворять этому свойству).

Приложения

Из-за перечисленных выше алгебраических свойств многие знакомые и мощные математические инструменты работают в GF (2) так же, как и в других областях. Например, матричные операции, в том числе инверсия матрицы, может применяться к матрицам с элементами в GF (2) (видеть матричное кольцо ).

Любой группа V с собственностью v + v = 0 для каждого v в V (т.е. каждый элемент является инволюция ) обязательно абелевский и может быть превращен в векторное пространство над GF (2) естественным образом, определяя 0v = 0 и 1v = v. Это векторное пространство будет иметь основа, подразумевая, что количество элементов V должно быть степенью 2 (или бесконечной).

В современном компьютеры, данные представлены битовые строки фиксированной длины, называемой машинные слова. Они наделены структурой векторное пространство над GF (2). Дополнением к этому векторному пространству является побитовая операция называется XOR (Эксклюзивный или). В побитовое И - еще одна операция над этим векторным пространством, которая делает его Булева алгебра, структура, лежащая в основе всех Информатика. Эти пространства также можно дополнить операцией умножения, которая превращает их в поле GF (2^п), но операция умножения не может быть побитовой. Когда п является степенью двойки, операция умножения может быть Ним-умножение; как вариант, для любого п, можно использовать умножение многочленов над GF (2) по модулю a примитивный многочлен.

Смотрите также

• Поле с одним элементом

Рекомендации

• Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1997). Конечные поля. Энциклопедия математики и ее приложений. 20 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-39231-4. Zbl  0866.11069.