Трехмерное пространство - Three-dimensional space

Для более широкого, менее математического рассмотрения этой темы см. Космос.

«Трехмерный» перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. 3D (значения).

Представление трехмерного Декартова система координат с Икс- ось, направленная в сторону наблюдателя.

Трехмерное пространство (также: 3-х местный или, редко, трехмерное пространство) представляет собой геометрическую установку, в которой три значения (называемые параметры ) необходимы для определения положения элемента (т. е. точка ). Это неформальное значение термина измерение.

В физика и математика, а последовательность из п числа можно понимать как место в п-мерное пространство. Когда п = 3, совокупность всех таких локаций называется трехмерный Евклидово пространство (или просто евклидово пространство, если контекст ясен). Обычно это обозначается символом ℝ³.^[1][2] Это служит трехпараметрической моделью физического вселенная (то есть пространственная часть без учета времени), в которой все известные иметь значение существуют. Хотя это пространство остается наиболее убедительным и полезным способом моделирования мира, как он ощущается,^[3] это только один пример большого разнообразия пространств в трех измерениях, называемых 3-х коллектор. В этом классическом примере, когда три значения относятся к измерениям в разных направлениях (координаты ) можно выбрать любые три направления при условии, что векторов в этих направлениях не все лежат в одном 2-местный (самолет ). Кроме того, в этом случае эти три значения могут быть помечены любой комбинацией трех, выбранной из терминов ширина, высота, глубина, и длина.

В евклидовой геометрии

Системы координат

Основная статья: Система координат

В математике аналитическая геометрия (также называемая декартовой геометрией) описывает каждую точку в трехмерном пространстве с помощью трех координат. Три оси координат даны, каждая перпендикулярна двум другим на источник, точка, в которой они пересекаются. Обычно они маркируются Икс, у, и z. Относительно этих осей положение любой точки в трехмерном пространстве задается упорядоченной тройкой действительные числа, каждое число указывает расстояние от этой точки до источник измеряется вдоль данной оси, которая равна расстоянию от этой точки до плоскости, определяемой двумя другими осями.^[4]

К другим популярным методам описания местоположения точки в трехмерном пространстве относятся: цилиндрические координаты и сферические координаты, хотя существует бесконечное количество возможных методов. Подробнее см. Евклидово пространство.

Ниже представлены изображения вышеупомянутых систем.

• 

  Декартова система координат

• 

  Цилиндрическая система координат

• 

  Сферическая система координат

Линии и плоскости

Две разные точки всегда определяют (прямую) линия. Три различных точки либо коллинеарен или определить уникальный самолет. С другой стороны, четыре различных точки могут быть либо коллинеарными, либо копланарный, или определить все пространство.

Две различные прямые могут либо пересекаться, либо быть параллельно или быть перекос. Две параллельные линии, или две пересекающиеся линии, лежат в одной плоскости, поэтому косые линии - это линии, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

Две разные плоскости могут либо пересекаться на общей линии, либо быть параллельными (т. Е. Не пересекаться). Три разные плоскости, ни одна пара которых не параллельна, могут либо пересекаться на общей линии, либо встречаться в единственной общей точке, либо не иметь общей точки. В последнем случае три линии пересечения каждой пары плоскостей параллельны друг другу.

Линия может лежать в данной плоскости, пересекать эту плоскость в единственной точке или быть параллельной плоскости. В последнем случае на плоскости будут линии, параллельные данной.

А гиперплоскость является подпространством на одну размерность меньше, чем размерность всего пространства. Гиперплоскости трехмерного пространства - это двумерные подпространства, то есть плоскости. В декартовых координатах точки гиперплоскости удовлетворяют единственному линейное уравнение, поэтому плоскости в этом 3-пространстве описываются линейными уравнениями. Линия может быть описана парой независимых линейных уравнений, каждое из которых представляет собой плоскость, имеющую эту линию в качестве общего пересечения.

Теорема Вариньона утверждает, что середины любого четырехугольника в ℝ³ сформировать параллелограмм, а значит, компланарны.

Сферы и шары

Основная статья: Сфера

А перспективная проекция сферы на два измерения

А сфера в 3-м пространстве (также называемый 2-сфера потому что это двумерный объект) состоит из набора всех точек в трехмерном пространстве на фиксированном расстоянии р из центральной точки п. Твердое тело, окруженное сферой, называется мяч (или, точнее, 3 мяча). Объем шара определяется выражением

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$.

Другой тип сфер возникает из четырехугольного шара, трехмерная поверхность которого 3-сфера: точки, равноотстоящие от начала евклидова пространства ℝ⁴. Если у точки есть координаты, п(Икс, у, z, ш), тогда Икс² + у² + z² + ш² = 1 характеризует эти точки на единичной трехмерной сфере с центром в начале координат.

Многогранники

Основная статья: Многогранник

В трех измерениях существует девять правильных многогранников: пять выпуклых Платоновы тела и четыре невыпуклые Многогранники Кеплера-Пуансо.

Правильные многогранники в трех измерениях

Учебный класс	Платоновы тела					Многогранники Кеплера-Пуансо
Симметрия	Тd	Очас		ячас
Группа Коксетера	А3, [3,3]	B3, [4,3]		ЧАС3, [5,3]
Заказ	24	48		120
Обычный многогранник	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	{5/2,5}	{5,5/2}	{5/2,3}	{3,5/2}

Поверхности революции

Основная статья: Поверхность революции

А поверхность генерируется вращением самолета изгиб относительно фиксированной линии в ее плоскости как ось называется поверхность вращения. Плоская кривая называется образующая поверхности. Участок поверхности, образованный пересечением поверхности с плоскостью, перпендикулярной (ортогональной) оси, представляет собой круг.

Простые примеры возникают, когда образующая - линия. Если линия образующей пересекает осевую линию, поверхность вращения является правильной круговой. конус с вершиной (вершиной) точка пересечения. Однако если образующая и ось параллельны, то поверхность вращения круглая. цилиндр.

Квадрические поверхности

Основная статья: Квадрическая поверхность

По аналогии с конические секции, множество точек, декартовы координаты которых удовлетворяют общему уравнению второй степени, а именно

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,}$

куда А, B, C, F, грамм, ЧАС, J, K, L и M настоящие числа, а не все А, B, C, F, грамм и ЧАС равны нулю, называется квадратичная поверхность.^[5]

Есть шесть типов невырожденный квадратичные поверхности:

1. Эллипсоид
2. Гиперболоид одного листа
3. Гиперболоид двух листов
4. Эллиптический конус
5. Эллиптический параболоид
6. Гиперболический параболоид

Вырожденные квадратичные поверхности - это пустое множество, одна точка, одна линия, одна плоскость, пара плоскостей или квадратный цилиндр (поверхность, состоящая из невырожденного конического сечения на плоскости π и все строки ℝ³ через конус, нормальный к π).^[5] Эллиптические конусы иногда также считаются вырожденными квадратичными поверхностями.

И гиперболоид одного листа, и гиперболический параболоид являются линейчатые поверхности, что означает, что их можно составить из семейства прямых линий. Фактически, у каждого есть два семейства образующих, члены каждого семейства не пересекаются, и каждый член одного семейства пересекает, за одним исключением, каждого члена другого семейства.^[6] Каждую семью называют Regulus.

В линейной алгебре

Другой способ просмотра трехмерного пространства можно найти в линейная алгебра, где идея независимости имеет решающее значение. Пространство имеет три измерения, потому что длина коробка не зависит от его ширины или ширины. Говоря техническим языком линейной алгебры, пространство трехмерно, потому что каждая точка в пространстве может быть описана линейной комбинацией трех независимых векторов.

Точечное произведение, угол и длина

Основная статья: Скалярное произведение

Вектор можно представить в виде стрелки. Величина вектора - это его длина, а его направление - это направление стрелки. Вектор в ℝ³ может быть представлена ​​упорядоченной тройкой действительных чисел. Эти числа называются составные части вектора.

Скалярное произведение двух векторов А = [А₁, А₂, А₃] и B = [B₁, B₂, B₃] определяется как:^[7]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}.}$

Величина вектора А обозначается ||А||. Скалярное произведение вектора А = [А₁, А₂, А₃] сам с собой

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2},}$

который дает

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}},}$

формула для Евклидова длина вектора.

Без ссылки на компоненты векторов, скалярное произведение двух ненулевых евклидовых векторов А и B дан кем-то^[8]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

куда θ это угол между А и B.

Перекрестный продукт

Основная статья: Перекрестный продукт

В перекрестное произведение или же векторный продукт это бинарная операция на двух векторов в трехмерном Космос и обозначается символом ×. Перекрестное произведение а × б векторов а и б вектор, который перпендикуляр к обоим и поэтому нормальный к самолету, содержащему их. У него много приложений в математике, физика, и инженерное дело.

Пространство и продукт образуют алгебра над полем, что ни коммутативный ни ассоциативный, но это Алгебра Ли с крестным произведением скобкой Ли.

Можно в п размеры принимают продукт п − 1 векторов, чтобы создать вектор, перпендикулярный им всем. Но если продукт ограничен нетривиальными бинарными произведениями с векторными результатами, он существует только в трех и семь измерений.^[9]

Кросс-произведение относительно правой системы координат

В исчислении

Основная статья: векторное исчисление

Градиент, расхождение и завиток

В прямоугольной системе координат градиент задается формулой

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

Дивергенция непрерывно дифференцируемый векторное поле F = U я + V j + W k равно скаляр -значная функция:

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}.}$

Расширен в Декартовы координаты (видеть Del в цилиндрических и сферических координатах за сферический и цилиндрический координатных представлений) ротор ∇ × F это для F состоит из [F_Икс, F_у, F_z]:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

куда я, j, и k являются единичные векторы для Икс-, у-, и z-axes соответственно. Это расширяется следующим образом:^[10]

${\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }$

Линейные интегралы, поверхностные интегралы и объемные интегралы

Для некоторых скалярное поле ж : U ⊆ р^п → р, интеграл по прямой кусочно гладкий изгиб C ⊂ U определяется как

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$

куда р: [a, b] → C произвольный биективный параметризация кривой C такой, что р(а) и р(б) дают конечные точки C и ${\displaystyle a<b}$.

Для векторное поле F : U ⊆ р^п → р^п, интеграл по прямой кусочно гладкий изгиб C ⊂ U, в направлении р, определяется как

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$

где скалярное произведение и р: [a, b] → C это биективный параметризация кривой C такой, что р(а) и р(б) дают конечные точки C.

А поверхностный интеграл является обобщением кратные интегралы к интеграции по поверхности. Его можно рассматривать как двойной интеграл аналог линейный интеграл. Чтобы найти явную формулу для поверхностного интеграла, нам нужно параметризовать интересующая поверхность, S, рассматривая систему криволинейные координаты на S, словно широта и долгота на сфера. Пусть такая параметризация будет Икс(s, т), куда (s, т) варьируется в зависимости от региона Т в самолет. Тогда поверхностный интеграл определяется выражением

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

где выражение между полосами в правой части - это величина из перекрестное произведение из частные производные из Икс(s, т) и известна как поверхность элемент. Учитывая векторное поле v на S, это функция, которая присваивает каждому Икс в S вектор v(Икс) поверхностный интеграл может быть определен покомпонентно согласно определению поверхностного интеграла скалярного поля; результат - вектор.

А интеграл объема относится к интеграл более 3-размерный домен.

Это также может означать тройной интеграл в пределах региона D в р³ из функция ${\displaystyle f(x,y,z),}$ и обычно записывается как:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

Основная теорема линейных интегралов

Основная статья: Основная теорема линейных интегралов

В основная теорема линейных интегралов, говорит, что линейный интеграл через градиент поле можно оценить, оценив исходное скалярное поле в конечных точках кривой.

Позволять ${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$. потом

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .}$

Теорема Стокса

Основная статья: Теорема Стокса

Теорема Стокса связывает поверхностный интеграл из завиток из векторное поле F над поверхностью Σ в трехмерном евклидовом пространстве до линейный интеграл векторного поля над его границей ∂Σ:

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .}$

Теорема расходимости

Основная статья: Теорема расходимости

Предполагать V это подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (в случае п = 3, V представляет собой объем в трехмерном пространстве), который компактный и имеет кусочно гладкая граница S (также обозначено ∂V = S ). Если F - непрерывно дифференцируемое векторное поле, определенное в окрестности V, то теорема расходимости говорит:^[11]

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS.}$

Левая сторона - это интеграл объема по объему V, правая сторона - это поверхностный интеграл над границей объема V. Замкнутый коллектор ∂V в общем, граница V ориентированный наружу нормали, и п является направленным наружу единичным нормальным полем границы ∂V. (dS может использоваться как сокращение для пdS.)

В топологии

Википедия логотип глобуса в 3-D

Трехмерное пространство обладает рядом топологических свойств, которые отличают его от пространств других размерных чисел. Например, чтобы связать морской узел в куске веревки.^[12]

В дифференциальная геометрия общие трехмерные пространства 3-х коллектор, которые локально напоминают ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$.

В конечной геометрии

Многие идеи измерения можно проверить с помощью конечная геометрия. Самый простой пример - PG (3,2), у которого есть Самолеты Фано как его двумерные подпространства. Это пример Геометрия Галуа, исследование проективная геометрия с помощью конечные поля. Таким образом, для любого поля Галуа GF (q), Существует проективное пространство PG (3,q) трех измерений. Например, любые три косые линии в PG (3,q) содержатся ровно в одном Regulus.^[13]

Смотрите также

• Размерный анализ
• Расстояние от точки до плоскости
• Четырехмерное пространство
• Наклонные линии § Расстояние
• Трехмерный график
• Двумерное пространство

Примечания

1. «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-12.
2. «Евклидово пространство - математическая энциклопедия». encyclopediaofmath.org. Получено 2020-08-12.
3. «Евклидово пространство | геометрия». Энциклопедия Британника. Получено 2020-08-12.
4. Хьюз-Халлетт, Дебора; Маккаллум, Уильям Дж .; Глисон, Эндрю М. (2013). Исчисление: одно- и многомерное (6 изд.). Джон Вили. ISBN  978-0470-88861-2.
5. Браннан, Эсплен и Грей 1999, стр. 34–5
6. Браннан, Эсплен и Грей 1999, стр. 41–2
7. Антон 1994, п. 133
8. Антон 1994, п. 131
9. WS Massey (1983). «Перекрестные произведения векторов в многомерных евклидовых пространствах». Американский математический ежемесячник. 90 (10): 697–701. Дои:10.2307/2323537. JSTOR  2323537. Если требуется только три основных свойства перекрестного произведения ... оказывается, что перекрестное произведение векторов существует только в 3-мерном и 7-мерном евклидовом пространстве.
10. Арфкен, стр. 43.
11. М. Р. Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ. Очерки Шаума (2-е изд.). США: Макгроу Хилл. ISBN  978-0-07-161545-7.
12. Рольфсен, Дейл (1976). Узлы и ссылки. Беркли, Калифорния: опубликовать или погибнуть. ISBN  0-914098-16-0.
13. Альбрехт Бойтельшпахер И Уте Розенбаум (1998) Проективная геометрия, стр. 72, Издательство Кембриджского университета ISBN  0-521-48277-1

Рекомендации

• Антон, Ховард (1994), Элементарная линейная алгебра (7-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-58742-2
• Арфкен, Джордж Б. и Ханс Дж. Вебер. Математические методы для физиков, Academic Press; 6 выпуск (21 июня 2005 г.). ISBN  978-0-12-059876-2.
• Браннан, Дэвид А .; Эсплен, Мэтью Ф .; Грей, Джереми Дж. (1999), Геометрия, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-59787-6

внешняя ссылка

• Словарное определение трехмерный в Викисловарь
• Вайсштейн, Эрик В. «Четырехмерная геометрия». MathWorld.
• Элементарная линейная алгебра - Глава 8: Трехмерная геометрия Кит Мэтьюз из Университет Квинсленда, 1991