Расстояние от точки до плоскости - Distance from a point to a plane
В Евклидово пространство, то расстояние от точки до плоскости - расстояние между данной точкой и ее ортогональной проекцией на плоскость или ближайшей точкой на плоскости.
Его можно найти, начиная с замена переменных который перемещает начало координат, чтобы оно совпало с данной точкой, а затем находит точку на смещенной самолет что ближе всего к источник. Полученная точка имеет Декартовы координаты:
.
Расстояние между началом координат и точкой является .
Преобразование общей проблемы в проблему расстояния от источника
Предположим, мы хотим найти ближайшую точку на плоскости к точке (), где плоскость задается формулой . Мы определяем , , , и , чтобы получить как плоскость, выраженную через преобразованные переменные. Теперь проблема заключается в нахождении ближайшей точки на этой плоскости к исходной точке и ее расстояния от начала координат. Точку на плоскости с точки зрения исходных координат можно найти из этой точки, используя приведенные выше отношения между и , между и , и между и ; расстояние в исходных координатах такое же, как расстояние в пересмотренных координатах.
Переформулировка с использованием линейной алгебры
Формулу для ближайшей к началу координат точки можно выразить более кратко, используя обозначения из линейная алгебра. Выражение в определении плоскости является скалярное произведение, а выражение в решении появляется квадрат норма. Таким образом, если - заданный вектор, плоскость может быть описана как набор векторов для которого а ближайшая точка на этой плоскости - вектор
В координатной или векторной формулировках можно проверить, что данная точка лежит на данной плоскости, подставив точку в уравнение плоскости.
Чтобы увидеть, что это ближайшая точка к началу координат на плоскости, обратите внимание, что является скалярным кратным вектора определяющий плоскость, и поэтому ортогонален плоскости. Таким образом, если любая точка на плоскости, кроме сам, то отрезки линии от начала до и из к сформировать прямоугольный треугольник, и теорема Пифагора расстояние от начала координат до является
.
С должно быть положительным числом, это расстояние больше, чем , расстояние от начала координат до .[2]
В качестве альтернативы можно переписать уравнение плоскости, используя точечные произведения с вместо исходного скалярного произведения с (поскольку эти два вектора являются скалярными кратными друг другу), после чего тот факт, что ближайшая точка становится непосредственным следствием Неравенство Коши – Шварца.[1]
Ближайшая точка и расстояние для гиперплоскости и произвольной точки
Векторное уравнение для гиперплоскость в -размерный Евклидово пространство через точку с нормальным вектором является или же куда .[3]Соответствующая декартова форма куда .[3]
Ближайшая точка на этой гиперплоскости к произвольной точке является