Расстояние от точки до плоскости - Distance from a point to a plane

В Евклидово пространство, то расстояние от точки до плоскости - расстояние между данной точкой и ее ортогональной проекцией на плоскость или ближайшей точкой на плоскости.

Его можно найти, начиная с замена переменных который перемещает начало координат, чтобы оно совпало с данной точкой, а затем находит точку на смещенной самолет что ближе всего к источник. Полученная точка имеет Декартовы координаты :

.

Расстояние между началом координат и точкой является .

Преобразование общей проблемы в проблему расстояния от источника

Предположим, мы хотим найти ближайшую точку на плоскости к точке (), где плоскость задается формулой . Мы определяем , , , и , чтобы получить как плоскость, выраженную через преобразованные переменные. Теперь проблема заключается в нахождении ближайшей точки на этой плоскости к исходной точке и ее расстояния от начала координат. Точку на плоскости с точки зрения исходных координат можно найти из этой точки, используя приведенные выше отношения между и , между и , и между и ; расстояние в исходных координатах такое же, как расстояние в пересмотренных координатах.

Переформулировка с использованием линейной алгебры

Формулу для ближайшей к началу координат точки можно выразить более кратко, используя обозначения из линейная алгебра. Выражение в определении плоскости является скалярное произведение , а выражение в решении появляется квадрат норма . Таким образом, если - заданный вектор, плоскость может быть описана как набор векторов для которого а ближайшая точка на этой плоскости - вектор

.[1][2]

В Евклидово расстояние от начала координат до плоскости - норма этой точки,

.

Почему это ближайшая точка

В координатной или векторной формулировках можно проверить, что данная точка лежит на данной плоскости, подставив точку в уравнение плоскости.

Чтобы увидеть, что это ближайшая точка к началу координат на плоскости, обратите внимание, что является скалярным кратным вектора определяющий плоскость, и поэтому ортогонален плоскости. Таким образом, если любая точка на плоскости, кроме сам, то отрезки линии от начала до и из к сформировать прямоугольный треугольник, и теорема Пифагора расстояние от начала координат до является

.

С должно быть положительным числом, это расстояние больше, чем , расстояние от начала координат до .[2]

В качестве альтернативы можно переписать уравнение плоскости, используя точечные произведения с вместо исходного скалярного произведения с (поскольку эти два вектора являются скалярными кратными друг другу), после чего тот факт, что ближайшая точка становится непосредственным следствием Неравенство Коши – Шварца.[1]

Ближайшая точка и расстояние для гиперплоскости и произвольной точки

Векторное уравнение для гиперплоскость в -размерный Евклидово пространство через точку с нормальным вектором является или же куда .[3]Соответствующая декартова форма куда .[3]

Ближайшая точка на этой гиперплоскости к произвольной точке является

и расстояние от к гиперплоскости

.[3]

В декартовой форме ближайшая точка дается выражением за куда

,

и расстояние от к гиперплоскости

.

Таким образом, в точка на плоскости ближайший к произвольной точке является данный

куда

,

а расстояние от точки до плоскости равно

.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Стрэнг, Гилберт; Борре, Кай (1997), Линейная алгебра, геодезия и GPS, SIAM, стр. 22–23, ISBN  9780961408862.
  2. ^ а б Шифрин, Тед; Адамс, Малкольм (2010), Линейная алгебра: геометрический подход (2-е изд.), Macmillan, p. 32, ISBN  9781429215213.
  3. ^ а б c Чейни, Уорд; Кинкейд, Дэвид (2010). Линейная алгебра: теория и приложения. Издательство "Джонс и Бартлетт". С. 450, 451. ISBN  9781449613525.