Нормальная форма Гессена - Hesse normal form

Рисование нормали (красным цветом) и расстояния от начала координат до линии (зеленым цветом), вычисленное с помощью нормальной формы Гессе

В Нормальная форма Гессена названный в честь Отто Гессе, - уравнение, используемое в аналитическая геометрия, и описывает линия в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ или самолет в Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ или гиперплоскость в более высоких измерениях.^[1][2] Он в основном используется для расчета расстояний (см. расстояние от точки до плоскости и расстояние от точки до линии ).

В векторных обозначениях он записывается как

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

Точка ${\displaystyle \cdot }$ указывает на скалярное произведение или же скалярное произведение.Вектор ${\displaystyle {\vec {n}}_{0}}$ представляет единица измерения нормальный вектор из E или же грамм, который указывает от начала системы координат до плоскости (или линии в 2D). Расстояние ${\displaystyle d\geq 0}$ это расстояние от начала координат до плоскости (или линии).

Этому уравнению удовлетворяют все точки п, лежащий точно в плоскости E (или в 2D, на линии грамм), описываемый вектором местоположения ${\displaystyle {\vec {r}}}$ который указывает от начала системы координат до п.

Вывод / расчет из нормальной формы

Примечание. Для простоты в следующем выводе обсуждается трехмерный случай. Однако это также применимо в 2D.

В нормальной форме

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,}$

плоскость задается нормальным вектором ${\displaystyle {\vec {n}}}$ а также произвольный вектор положения ${\displaystyle {\vec {a}}}$ точки ${\displaystyle A\in E}$. Направление ${\displaystyle {\vec {n}}}$ выбирается так, чтобы выполнялось неравенство

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,}$

Разделив вектор нормали ${\displaystyle {\vec {n}}}$ своим величина ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$, получаем единичный (или нормированный) вектор нормали

${\displaystyle {\vec {n}}_{0}={{\vec {n}} \over {|{\vec {n}}|}}\,}$

и приведенное выше уравнение можно переписать как

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0.\,}$

Подстановка

${\displaystyle d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,}$

получаем нормальную форму Гессе

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

На этой диаграмме d расстояние от начала координат. Потому что ${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d}$ справедливо для каждой точки на плоскости, это верно и для точки Q (точка, где вектор из начала координат пересекает плоскость E), с ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{s}}$, согласно определению Скалярное произведение

${\displaystyle d={\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}_{0}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec {n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s}|.\,}$

Величина ${\displaystyle |{\vec {r}}_{s}|}$ из ${\displaystyle {{\vec {r}}_{s}}}$ - кратчайшее расстояние от начала координат до плоскости.

Рекомендации

1. Бохер, Максим (1915), Плоская аналитическая геометрия: вводные главы по дифференциальному исчислению, Х. Холт, стр. 44.
2. Джон Винс: Геометрия для компьютерной графики. Springer, 2005 г., ISBN  9781852338343, стр.42, 58, 135, 273

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Гессенская нормальная форма». MathWorld.