Наклонные линии - Skew lines

Прямоугольный параллелепипед. Линия, проходящая через сегмент AD, и линия, проходящая через сегмент B₁B - наклонные линии, потому что они не находятся в одной плоскости.

В трехмерная геометрия, косые линии два линии это не пересекаться и не параллельно. Простым примером пары косых линий является пара прямых, проходящих через противоположные края правильный тетраэдр. Две прямые, лежащие в одной плоскости, должны либо пересекать друг друга, либо быть параллельны, поэтому наклонные линии могут существовать только в трех или более. размеры. Две линии перекосятся тогда и только тогда, когда они не совпадают. копланарный.

Общая позиция

Если четыре точки выбраны случайным образом равномерно в пределах единицы куб, они будут почти наверняка определить пару косых линий. После выбора первых трех точек четвертая точка будет определять линию без перекоса, если и только если она копланарна с первыми тремя точками. Однако плоскость, проходящая через первые три точки, образует подмножество нулевой меры куба, и вероятность того, что четвертая точка лежит на этой плоскости, равна нулю. В противном случае линии, определяемые точками, будут наклонены.

Точно так же в трехмерном пространстве очень небольшое возмущение любых двух параллельных или пересекающихся прямых почти наверняка превратит их в косые. Следовательно, любые четыре точки в общая позиция всегда образуют косые линии.

В этом смысле косые линии являются «обычным» случаем, а параллельные или пересекающиеся прямые - частными случаями.

Формулы

Проверка на асимметрию

Если каждая линия в паре косых линий определяется двумя точки что он проходит, то эти четыре точки не должны быть копланарными, поэтому они должны быть вершины из тетраэдр ненулевого объем. И наоборот, любые две пары точек, определяющие тетраэдр ненулевого объема, также определяют пару косых линий. Следовательно, проверка того, определяют ли две пары точек косые прямые, заключается в применении формулы для объема тетраэдра в терминах его четырех вершин. Обозначая одну точку как вектор 1 × 3 $а$ три элемента которого являются тремя значениями координат точки, а также обозначают $б$ , $c$ , и $d$ для других точек, мы можем проверить, проходит ли линия $а$ и $б$ наклонен к линии через $c$ и $d$ проверив, дает ли формула объема тетраэдра ненулевой результат:

{ displaystyle V = { frac {1} {6}} left | det left [{ begin {matrix} mathbf {a} - mathbf {b} mathbf {b} - mathbf {c} mathbf {c} - mathbf {d} end {matrix}} right] right |.}

Ближайшие точки

Выражая две линии как векторы:

{ displaystyle { text {Line 1:}} ; mathbf {v_ {1}} = mathbf {p_ {1}} + t_ {1} mathbf {d_ {1}}}

{ displaystyle { text {Line 2:}} ; mathbf {v_ {2}} = mathbf {p_ {2}} + t_ {2} mathbf {d_ {2}}}

В перекрестное произведение из ${ displaystyle mathbf {d_ {1}}}$ и ${ displaystyle mathbf {d_ {2}}}$ перпендикулярно линиям.

{ Displaystyle mathbf {п} = mathbf {d_ {1}} times mathbf {d_ {2}}}

Плоскость, образованная переводами линии 2 по ${ Displaystyle mathbf {п}}$ содержит точку ${ displaystyle mathbf {p_ {2}}}$ и перпендикулярно ${ Displaystyle mathbf {n_ {2}} = mathbf {d_ {2}} times mathbf {n}}$ .

Следовательно, точка пересечения линии 1 с вышеупомянутой плоскостью, которая также является точкой на линии 1, ближайшей к линии 2, определяется выражением

{ displaystyle mathbf {c_ {1}} = mathbf {p_ {1}} + { frac {( mathbf {p_ {2}} - mathbf {p_ {1}}) cdot mathbf {n_ {2}}} { mathbf {d_ {1}} cdot mathbf {n_ {2}}}} mathbf {d_ {1}}}

Точно так же точка на линии 2, ближайшая к линии 1, имеет вид (где ${ Displaystyle mathbf {n_ {1}} = mathbf {d_ {1}} times mathbf {n}}$ )

{ displaystyle mathbf {c_ {2}} = mathbf {p_ {2}} + { frac {( mathbf {p_ {1}} - mathbf {p_ {2}}) cdot mathbf {n_ {1}}} { mathbf {d_ {2}} cdot mathbf {n_ {1}}}} mathbf {d_ {2}}}

Сейчас же, ${ displaystyle mathbf {c_ {1}}}$ и ${ Displaystyle mathbf {c_ {2}}}$ образуют самый короткий отрезок, соединяющий Линию 1 и Линию 2.

Расстояние

Расстояние между ближайшими точками в двух наклонных линиях можно выразить векторами:

{ Displaystyle mathbf {x} = mathbf {a} + lambda mathbf {b};}

{ displaystyle mathbf {y} = mathbf {c} + mu mathbf {d}.}

Здесь вектор 1 × 3 $Икс$ представляет собой произвольную точку на линии, проходящей через конкретную точку $а$ с $б$ представляющий направление линии и значение действительного числа ${ displaystyle lambda}$ определение положения точки на линии, и аналогично для произвольной точки $y$ на линии через определенную точку $c$ в направлении $d$ .

В перекрестное произведение из б и d перпендикулярна линиям, как и единичный вектор

{ displaystyle mathbf {n} = { frac { mathbf {b} times mathbf {d}} {| mathbf {b} times mathbf {d} |}}}

Расстояние между линиями тогда^[1]

{ displaystyle d = | mathbf {n} cdot ( mathbf {c} - mathbf {a}) |.}

(если |б × d| равно нулю, линии параллельны, и этот метод использовать нельзя).

Более двух строк

Конфигурации

А конфигурация косых линий - это набор линий, в которых все пары скошены. Говорят, что две конфигурации изотопический если возможно непрерывно преобразовывать одну конфигурацию в другую, сохраняя на протяжении всего преобразования инвариант, что все пары линий остаются перекосами. Любые две конфигурации из двух линий легко увидеть как изотопные, а конфигурации с одинаковым количеством линий в размерах больше трех всегда изотопны, но существует несколько неизотопных конфигураций из трех или более линий в трех измерениях (Виро и Виро 1990 ). Количество неизотопных конфигураций п линии в р³, начинается с п = 1, является

1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... (последовательность A110887 в OEIS ).

Линейчатые поверхности

А расслоение из проективное пространство косыми линиями на вложенных гиперболоиды.

Если повернуть линию L вокруг другой линии M перекос, но не перпендикулярно ему, поверхность вращения унесен L это гиперболоид одного листа. Например, три гиперболоида, видимые на иллюстрации, могут быть сформированы таким образом, вращая линию L вокруг центральной белой вертикальной линии M. Копии L внутри этой поверхности образуют Regulus; гиперболоид также содержит второе семейство линий, которые также наклонены к M на том же расстоянии, что и L от него, но с противоположным углом, образующим противоположный регулятор. Два регулятора отображают гиперболоид в виде линейчатая поверхность.

An аффинное преобразование эта линейчатая поверхность дает поверхность, которая обычно имеет эллиптическое поперечное сечение, а не круговое поперечное сечение, полученное вращением L вокруг L '; такие поверхности также называют гиперболоидами одного листа, и они снова управляются двумя семействами взаимно наклонных линий. Третий тип линейчатой поверхности - это гиперболический параболоид. Подобно гиперболоиду одного листа, гиперболоидный параболоид имеет два семейства наклонных линий; в каждом из двух семейств линии параллельны общей плоскости, но не друг другу. Любые три наклонные линии в р³ лежат ровно на одной линейчатой поверхности одного из этих типов (Гильберт и Кон-Фоссен, 1952 г. ).

Теорема Галлуччи

Если все три наклонные линии пересекаются с тремя другими наклонными линиями, любая трансверсаль первого набора из трех встречает любую трансверсаль второго набора.^[2]^[3]

Наклонить квартиры в больших размерах

В многомерном пространстве a плоский измерения k называется k-плоский. Таким образом, линию можно также назвать 1-бемольской.

Обобщая понятие косые линии к d-мерное пространство, я-квартира и j-квартира может быть перекос если $я + j < d$ . Как и в случае с линиями в 3-м пространстве, наклонные плоскости - это те, которые не параллельны и не пересекаются.

В аффинный d-Космос, две плоскости любого размера могут быть параллельны. проективное пространство, параллелизма не существует; две квартиры должны либо пересекаться, либо быть перекосом. $я$ - множество точек на я-плоский, и пусть $J$ - множество точек на j-плоск. в проекции d-пространство, если $я + j \geq d$ затем пересечение $я$ и $J$ должен содержать (я+j−d)-плоский. (А 0-плоский - это точка.)

В любой геометрии, если $я$ и $J$ пересекаться в k-плоский, для $k \geq 0$ , то точки $я \cup J$ определить (я+j−k)-плоский.

Смотрите также

Примечания

^ Вайсштейн, Эрик В. "Линия-Линия Расстояние". MathWorld.
^ Х. С. М. Коксетер (1969) Введение в геометрию, 2-е издание, стр. 257, Джон Уайли и сыновья
^ Дж. Галлуччи (1906) "Студия делла фигуа делле отто ретте и суе приложения алла геометрии дель тетраэдро и алла теория делла конфигурации", Rendiconto dell’Accademia della Scienza fisiche e matematiche (3) 12: 49–79

внешняя ссылка

[1] Вайсштейн, Эрик В. "Линия-Линия Расстояние". MathWorld.

[2] Х. С. М. Коксетер (1969) Введение в геометрию, 2-е издание, стр. 257, Джон Уайли и сыновья

[3] Дж. Галлуччи (1906) "Студия делла фигуа делле отто ретте и суе приложения алла геометрии дель тетраэдро и алла теория делла конфигурации", Rendiconto dell’Accademia della Scienza fisiche e matematiche (3) 12: 49–79

[1]

[2]

[3]