Кусочно - Piecewise

График кусочно-линейной функции ${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.}$

В математика, а кусочно-определенная функция (также называемый кусочная функция, а гибридная функция, или же определение по делам) это функция определяется несколькими подфункциями, где каждая подфункция применяется к разному интервалу в домене.^[1][2][3] Кусочно - это фактически способ выражения функции, а не характеристика самой функции, но с дополнительными уточнениями он может описывать природу функции.

Отдельное, но связанное с этим понятие - свойство, сохраняющееся кусочно для функции, используемое, когда область может быть разделены на интервалы на котором это свойство выполняется. В отличие от приведенного выше понятия, это фактически свойство самой функции. В качестве примера изображена кусочно-линейная функция (которая также бывает непрерывной).

Обозначения и интерпретация

График функции абсолютного значения, у = |Икс|.

Кусочные функции могут быть определены с использованием общих функциональная запись^[4], где тело функции - это массив функций и связанных поддоменов. Эти поддомены вместе должны охватывать все домен; часто также требуется, чтобы они попарно не пересекались, т. е. образовывали разбиение области.^[5] Для того чтобы общую функцию можно было назвать «кусочной», подобласти обычно должны быть интервалами (некоторые могут быть вырожденными интервалами, то есть одиночными точками или неограниченными интервалами). Для ограниченных интервалов количество подобластей должно быть конечным, для неограниченных интервалов часто требуется только локальное конечное число. Например, рассмотрим кусочное определение абсолютная величина функция:^[2]

${\displaystyle |x|={\begin{cases}-x,&{\mbox{if }}x<0\\x,&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$.

Для всех значений Икс меньше нуля, первая функция (-Икс), который отменяет знак входного значения, делая отрицательные числа положительными. Для всех значений Икс больше или равно нулю, вторая функция (Икс), который тривиально оценивает само входное значение.

Следующая таблица документирует функцию абсолютного значения при определенных значениях Икс:

Икс	ж(Икс)	Используемая функция
−3	3	−Икс
−0.1	0.1	−Икс
0	0	Икс
1/2	1/2	Икс
5	5	Икс

Здесь обратите внимание, что для оценки кусочной функции при заданном входном значении необходимо выбрать соответствующий субдомен, чтобы выбрать правильную функцию и получить правильное выходное значение.

Непрерывность и дифференцируемость кусочных функций

Кусочная функция, состоящая из разных квадратичные функции по обе стороны от ${\displaystyle x_{0}}$.

Кусочная функция непрерывный на заданном интервале в своей области, если выполняются следующие условия:

• составляющие его функции непрерывны на соответствующих интервалах (подобластях),
• нет разрыва в каждой конечной точке поддоменов в пределах этого интервала.

Изображенная функция, например, кусочно-непрерывна во всех своих подобластях, но не является непрерывной во всей области, так как она содержит скачкообразный разрыв в точке ${\displaystyle x_{0}}$. Закрашенный кружок указывает, что значение правой функциональной части используется в этой позиции.

Чтобы кусочная функция была дифференцируемой на данном интервале в ее области определения, в дополнение к условиям непрерывности, указанным выше, должны выполняться следующие условия:

• составляющие его функции дифференцируемы на соответствующих открыто интервалы,
• односторонние производные существуют на всех концах интервалов,
• в точках соприкосновения двух подынтервалов совпадают соответствующие односторонние производные двух соседних подынтервалов.

Приложения

В прикладном математическом анализе было обнаружено, что кусочные функции согласуются со многими модели зрительной системы человека, где изображения на первом этапе воспринимаются как состоящие из гладких областей, разделенных краями.^[6]Особенно, дубленки были использованы в качестве системы представления для обеспечения разреженных приближений этого класса моделей в 2D и 3D.

Общие примеры

• Кусочно-линейная функция, кусочная функция, составленная из отрезков
  • Ступенчатая функция, кусочная функция, составленная из постоянных функций
    • Функция товарного вагона,
    • Ступенчатая функция Хевисайда^[2]
    • Функция знака
  • Абсолютная величина^[2]
  • Треугольная функция
• Нарушенный степенной закон, кусочная функция, составленная из степенных законов
• Сплайн, кусочная функция, составленная из полиномиальных функций, обладающая высокой степенью гладкости в местах соединения частей полинома
  • B-шлиц
• PDIFF
• ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$ и некоторые другие общие Функции удара. Они бесконечно дифференцируемы, но аналитичность сохраняется только кусочно.
• Непрерывные функции в вещественных числах не обязательно должны быть ограниченными или равномерно непрерывными, они всегда кусочно ограничены и кусочно равномерно непрерывны.

Смотрите также

• Кусочно-линейное продолжение

Рекомендации

1. «Кусочные функции». www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-24.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Кусочная функция». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-24.
3. «Кусочные функции». brilliant.org. Получено 2020-09-29.
4. «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-24.
5. Возможным более слабым требованием является согласование всех определений пересекающихся подобластей.
6. Кутыниок, Гитта; Лабате, Деметрио (2012). «Введение в стрижку» (PDF). Shearlets. Биркхойзер: 1–38.