Нормальный (геометрия) - Normal (geometry)

Эта статья про нормаль к трехмерным поверхностям. Для нормальных к 3D кривым см. Формулы Френе – Серре.

Многоугольник и два его нормальных вектора

Нормаль к поверхности в точке совпадает с нормалью к касательной плоскости к поверхности в той же точке.

В геометрия, а нормальный такой объект, как линия, луч, или вектор это перпендикуляр к заданному объекту. Например, в двух измерениях нормальная линия к кривой в данной точке - это линия, перпендикулярная касательная линия к кривой в точке. вектор нормали может иметь длину единицу (a единичный вектор ) или его длина может представлять кривизну объекта (a вектор кривизны ); его алгебраический знак может указывать на стороны (внутренние или внешние).

В трех измерениях нормальная поверхность, или просто нормальный, в поверхность в точке п это вектор перпендикуляр к касательная плоскость поверхности на п. Слово «нормальный» также используется как прилагательное: линия нормальный к самолет, то нормальный компонент сила, то нормальный вектори т. д. Понятие нормальности обобщается на ортогональность (прямые углы ).

Концепция была обобщена на дифференцируемые многообразия произвольной размерности, вложенной в Евклидово пространство. В нормальное векторное пространство или нормальное пространство многообразия в точке п - множество векторов, ортогональных касательное пространство в п. Нормальные векторы представляют особый интерес в случае плавные кривые и гладкие поверхности.

Нормаль часто используется в 3D компьютерная графика (обратите внимание на сингулярность, так как будет определена только одна нормаль), чтобы определить ориентацию поверхности к источник света за плоская штриховка, или ориентация каждого из углов поверхности (вершины ) для имитации изогнутой поверхности с Затенение по Фонгу.

Нормально к поверхностям в трехмерном пространстве

Изогнутая поверхность, показывающая единичные векторы нормали (синие стрелки) к поверхности

Расчет нормали к поверхности

Для выпуклый многоугольник (например, треугольник ) нормаль к поверхности может быть вычислена как вектор перекрестное произведение двух (непараллельных) ребер многоугольника.

Для самолет заданный уравнением ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$, вектор ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$ это нормально.

Для плоскости, уравнение которой задано в параметрической форме

${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} }$,

где р₀ точка на плоскости и п, q - непараллельные векторы, указывающие вдоль плоскости, нормаль к плоскости - это вектор, нормальный к обоим п и q, который можно найти как перекрестное произведение ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} }$.

Если (возможно, не плоская) поверхность S в 3-м пространстве р³ является параметризованный по системе криволинейные координаты р(s, т) = (x (s, t), y (s, t), z (s, t)), причем s и т настоящий переменных, то нормаль к S по определению является нормалью к касательной плоскости, заданной перекрестным произведением частные производные

${\displaystyle \mathbf {n} ={\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}.}$

Если поверхность S дано неявно как набор точек ${\displaystyle (x,y,z)}$ удовлетворение ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$, то нормаль в точке ${\displaystyle (x,y,z)}$ на поверхности задается градиент

${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).}$

поскольку градиент в любой точке перпендикулярен установленному уровню С.

Для поверхности S в р³ заданный как график функции ${\displaystyle z=f(x,y)}$, направленная вверх нормаль может быть найдена либо с помощью параметризации ${\displaystyle \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y))}$, давая:

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}})\times (0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}})=(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1);}$

или проще из его неявной формы ${\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0}$, давая ${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1)}$.

Поскольку поверхность не имеет касательной плоскости в точке особая точка, в этой точке у него нет четко определенной нормали: например, вершина конус. В общем, можно определить нормаль почти всюду для поверхности, которая Липшицева непрерывная.

Выбор нормального

Векторное поле нормалей к поверхности

Нормаль к (гипер) поверхности обычно масштабируется так, чтобы иметь длина единицы, но он не имеет однозначного направления, поскольку его противоположность также является единичной нормалью. Для поверхности, которая является топологическая граница набора в трех измерениях, можно различить направленный внутрь нормальный и внешняя нормаль. Для ориентированная поверхность, нормаль обычно определяется правило правой руки или его аналог в более высоких измерениях.

Если нормаль строится как векторное произведение касательных векторов (как описано в тексте выше), это псевдовектор.

Преобразование нормалей

Примечание: в этом разделе мы используем только верхнюю матрицу 3x3, поскольку перевод не имеет отношения к вычислению.

При применении преобразования к поверхности часто бывает полезно получить нормали для результирующей поверхности из исходных нормалей.

В частности, учитывая матрицу преобразования 3x3 M, мы можем определить матрицу W который преобразует вектор п перпендикулярно касательной плоскости т в вектор п ' перпендикулярно преобразованной касательной плоскости М т, по следующей логике:

Написать п ' так как W n. Мы должны найти W.

${\displaystyle W\mathbb {n} {\text{ perpendicular to }}M\mathbb {t} }$

${\displaystyle \iff (W\mathbb {n} )\cdot (M\mathbb {t} )=0}$

${\displaystyle \iff (W\mathbb {n} )^{T}(M\mathbb {t} )=0}$

${\displaystyle \iff (\mathbb {n} ^{T}W^{T})(M\mathbb {t} )=0}$

${\displaystyle \iff \mathbb {n} ^{T}(W^{T}M)\mathbb {t} =0}$

Ясно выбирая W такой, что ${\displaystyle W^{T}M=I}$, или ${\displaystyle W=(M^{-1})^{T}}$, будет удовлетворять приведенному выше уравнению, давая ${\displaystyle W\mathbb {n} }$ перпендикулярно ${\displaystyle M\mathbb {t} }$, или п ' перпендикулярно t ′, как требуется.

Следовательно, при преобразовании нормалей к поверхности следует использовать обратное транспонирование линейного преобразования. Обратное транспонирование равно исходной матрице, если матрица ортонормирована, то есть чисто вращательная без масштабирования или сдвига.

Гиперповерхности в п-мерное пространство

Для ${\displaystyle (n{-}1)}$-размерный гиперплоскость в п-мерное пространство р^п заданный его параметрическим представлением

${\displaystyle \mathbf {r} (t_{1},\ldots ,t_{n-1})=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {p} _{n{-}1}}$,

где п₀ точка на гиперплоскости и п_я за я = 1, ..., п-1 - линейно независимые векторы, указывающие вдоль гиперплоскости, нормалью к гиперплоскости является любой вектор ${\displaystyle \mathbf {n} }$ в пустое пространство матрицы ${\displaystyle P=[\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{n-1}]}$, смысл ${\displaystyle P\mathbf {n} =\mathbf {0} }$. То есть любой вектор, ортогональный всем векторам в плоскости, по определению является нормалью к поверхности. В качестве альтернативы, если гиперплоскость определяется как набор решений одного линейного уравнения ${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c}$, то вектор ${\displaystyle \mathbb {n} =(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ это нормально.

Определение нормали к поверхности в трехмерном пространстве может быть расширено до (п-1) -мерный гиперповерхности в р^п. Гиперповерхность может быть локально определяется неявно как набор точек ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ удовлетворяющий уравнению ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0}$, где ${\displaystyle F}$ дано скалярная функция. Если ${\displaystyle F}$ является непрерывно дифференцируемый то гиперповерхность является дифференцируемое многообразие в окрестности точек, где градиент не равно нулю. В этих точках вектор нормали задается градиентом:

${\displaystyle \mathbb {n} =\nabla F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.}$

В нормальная линия - одномерное подпространство с базой {п}.

Разновидности, определяемые неявными уравнениями в п-мерное пространство

А дифференциальное разнообразие определяется неявными уравнениями в п-мерное пространство р^п - множество общих нулей конечного множества дифференцируемых функций из п переменные

${\displaystyle f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

В Матрица якобиана из разнообразия k×п матрица, чья я-я строка - это градиент ж_я. Посредством теорема о неявной функции, сорт является многообразие в окрестности точки, где матрица Якоби имеет ранг k. В такой момент п, то нормальное векторное пространство - векторное пространство, порожденное значениями в п векторов градиента ж_я.

Другими словами, разнообразие определяется как пересечение k гиперповерхности, а нормальное векторное пространство в точке - это векторное пространство, порожденное векторами нормалей гиперповерхностей в точке.

В нормальное (аффинное) пространство в какой-то момент п из разнообразия аффинное подпространство проходя через п и порождается нормальным векторным пространством в точке п.

Эти определения могут быть расширены дословно в точки, где многообразие не является многообразием.

пример

Позволять V - многообразие, определяемое в трехмерном пространстве уравнениями

${\displaystyle x\,y=0,\quad z=0\,.}$

Это разнообразие представляет собой объединение Иксось и у-ось.

В какой-то момент (а, 0, 0), где а ≠ 0, строки матрицы Якоби равны (0, 0, 1) и (0, а, 0). Таким образом, нормальное аффинное пространство - это плоскость уравнения Икс = а. Аналогично, если б ≠ 0нормальная плоскость в точке (0, б, 0) плоскость уравнения у = б.

В точке (0, 0, 0) строки матрицы Якоби (0, 0, 1) и (0, 0, 0). Таким образом, нормальное векторное пространство и нормальное аффинное пространство имеют размерность 1, а нормальное аффинное пространство - это z-ось.

Использует

• Нормали к поверхности полезны при определении поверхностные интегралы из векторные поля.
• Нормали поверхности обычно используются в 3D компьютерная графика за освещение расчеты (см. Закон косинусов Ламберта ), часто корректируемый нормальное отображение.
• Слои визуализации содержащая поверхностную нормальную информацию, может использоваться в Цифровой композитинг для изменения видимого освещения визуализируемых элементов.^{[нужна цитата ]}
• В компьютерное зрение, формы 3D-объектов оцениваются по нормалям поверхности с использованием фотометрическое стерео.^[1]

Нормаль в геометрической оптике

Основная статья: Зеркальное отражение

Схема зеркального отражения

В нормальный луч это направленный наружу луч перпендикуляр на поверхность оптическая среда в заданной точке.^[2] В отражение света, то угол падения и угол отражения - соответственно угол между нормалью и падающий луч (на плоскость падения ) и угол между нормалью и отраженный луч.

Смотрите также

• Вектор нормали эллипсоида
• Псевдовектор
• Двойное пространство
• Вершина нормальная

использованная литература

1. Инь Ву. «Радиометрия, BRDF и фотометрическое стерео» (PDF). Северо-Западный университет.
2. "Закон отражения". Учебник по физике. В архиве из оригинала 27 апреля 2009 г.. Получено 2008-03-31.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Нормальный вектор». MathWorld.
• An объяснение нормальных векторов из Microsoft MSDN
• Очистить псевдокод для вычисление нормали к поверхности из треугольника или многоугольника.