Закон косинуса Ламбертса - Lamberts cosine law

«Закон Ламберта» перенаправляется сюда. Для концепции в логике см. Закон Ламберта (логика).

В оптика, Закон косинусов Ламберта говорит, что интенсивность излучения или же интенсивность света наблюдается с идеальной диффузно отражающий поверхностный или идеальный диффузный радиатор прямо пропорциональный к косинус угла θ между направлением падающего света и нормальная поверхность.^[1][2] Закон также известен как закон излучения косинуса^[3] или же Закон эмиссии Ламберта. Он назван в честь Иоганн Генрих Ламберт, от его Фотометрия, опубликовано в 1760 году.^[4]

Поверхность, подчиняющаяся закону Ламберта, называется Ламбертианский, и экспонаты Ламбертовский коэффициент отражения. Такая поверхность имеет такой же сияние если смотреть под любым углом. Это означает, например, что для человеческого глаза он имеет такую ​​же видимую яркость (или яркость ). Он имеет такое же сияние, потому что, хотя излучаемая мощность от данного элемента площади уменьшается на косинус угла излучения, телесный угол, охватываемый поверхностью, видимой наблюдателю, уменьшается на ту же самую величину. Поскольку соотношение между мощностью и телесным углом постоянно, яркость (мощность на единицу телесного угла на единицу площади проекции источника) остается неизменной.

Ламбертовские рассеиватели и радиаторы

Когда элемент площади излучается в результате освещения внешним источником, сияние (энергия или фотоны / время / площадь) приземление на этот элемент площади будет пропорционально косинусу угла между источником освещения и нормалью. Затем ламбертовский рассеиватель будет рассеивать этот свет по тому же закону косинуса, что и ламбертовский излучатель. Это означает, что, хотя яркость поверхности зависит от угла от нормали к источнику освещения, она не будет зависеть от угла от нормали к наблюдателю. Например, если Луна были ламбертовским рассеивателем, можно было бы ожидать, что его рассеянная яркость заметно уменьшится к терминатор из-за увеличенного угла падения солнечного света на поверхность. Тот факт, что он не уменьшается, показывает, что Луна не является ламбертовским рассеивателем и, фактически, имеет тенденцию рассеивать больше света в косые углы чем ламбертовский рассеиватель.

Излучение ламбертовского излучателя не зависит от количества падающего излучения, а скорее от излучения, исходящего от самого излучающего тела. Например, если солнце были ламбертовским излучателем, можно было бы ожидать увидеть постоянную яркость по всему солнечному диску. То, что солнце проявляет потемнение конечностей в видимой области показывает, что это не ламбертовский излучатель. А черное тело это пример ламбертовского радиатора.

Детали эффекта равной яркости

Рисунок 1: Скорость излучения (фотонов / с) в нормальном и нестандартном направлениях. Число фотонов в секунду, направленных в любой клин, пропорционально площади клина.

Рисунок 2: Наблюдаемая интенсивность (фотоны / (с · м^2· Sr)) для нормального и ненормального наблюдателя; dA0 площадь апертуры наблюдения и dΩ - телесный угол, образуемый апертурой с точки зрения элемента излучающей области.

Ситуация для ламбертовской поверхности (излучающая или рассеивающая) проиллюстрирована на рисунках 1 и 2. Для концептуальной ясности мы будем думать в терминах фотоны скорее, чем энергия или же световая энергия. Клинья в круг каждый представляет собой равный угол dΩ, произвольно выбранного размера, а для ламбертовской поверхности количество фотонов в секунду, испускаемых в каждый клин, пропорционально площади клина.

Длина каждого клина - это произведение диаметр круга и cos (θ). Максимальная скорость излучения фотонов на единицу телесный угол по нормали и убывает до нуля при θ = 90 °. С математической точки зрения сияние по нормали я фотоны / (с · м²· Sr), а количество фотонов в секунду, испускаемых в вертикальный клин, равно я dΩ dA. Число фотонов в секунду, излучаемых в клин под углом θ является я cos (θ) dΩ dA.

Рисунок 2 представляет то, что видит наблюдатель. Наблюдатель, находящийся прямо над элементом площади, будет видеть сцену через отверстие в области. dA₀ и элемент площади dA образует (телесный) угол dΩ₀, которая представляет собой часть общего углового поля зрения наблюдателя. Поскольку размер клина dΩ было выбрано произвольно, для удобства мы можем предположить без ограничения общности, что он совпадает с телесным углом, образуемым апертурой, если «смотреть» из геометрического места элемента излучающей области dA. Таким образом, нормальный наблюдатель будет записывать то же самое. я dΩ dA количество фотонов в секунду, полученное выше, и будет измерять яркость

${\displaystyle I_{0}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}}$ фотоны / (с · м²· Ср).

Наблюдатель под углом θ к нормальному будет видеть сцену через ту же апертуру области dA₀ (все еще соответствует dΩ клин) и с этого косого обзора элемент площади dA укорочен и образует (телесный) угол dΩ₀ cos (θ). Этот наблюдатель будет записывать я cos (θ) dΩ dA фотонов в секунду, и поэтому будет измеряться яркость

${\displaystyle I_{0}={\frac {I\cos(\theta )\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,\cos(\theta )\,dA_{0}}}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}}$ фотоны / (с · м²· Ср),

что то же самое, что и нормальный наблюдатель.

Связь пиковой силы света и светового потока

В целом интенсивность света точки на поверхности различаются по направлению; для ламбертовской поверхности это распределение определяется законом косинуса с максимальной силой света в нормальном направлении. Таким образом, когда выполняется предположение Ламберта, мы можем вычислить общую световой поток, ${\displaystyle F_{tot}}$, с пика интенсивность света, ${\displaystyle I_{max}}$, интегрируя закон косинуса:

${\displaystyle F_{tot}=\int \limits _{0}^{2\pi }\,\int \limits _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )I_{max}\,\sin(\theta )\,\operatorname {d} \theta \,\operatorname {d} \phi }$

${\displaystyle =2\pi \cdot I_{max}\int \limits _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\sin(\theta )\,\operatorname {d} \theta }$

${\displaystyle =2\pi \cdot I_{max}\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin(2\theta )}{2}}\,\operatorname {d} \theta }$

и так

${\displaystyle F_{tot}=\pi \,\mathrm {sr} \cdot I_{max}}$

куда ${\displaystyle \sin(\theta )}$ является определителем Матрица якобиана для единичная сфера, и понимая, что ${\displaystyle I_{max}}$ световой поток на стерадиан.^[5] Точно так же пиковая интенсивность будет ${\displaystyle 1/(\pi \,\mathrm {sr} )}$ от полного излучаемого светового потока. Для ламбертовских поверхностей такой же коэффициент ${\displaystyle \pi \,\mathrm {sr} }$ относится яркость к световой поток, интенсивность излучения к лучистый поток, и сияние к лучистая эмиссия.^{[нужна цитата ]} Радианы и стерадианы, конечно, безразмерны, поэтому "rad" и "sr" включены только для ясности.

Пример: поверхность с яркостью, скажем, 100 кд / м.² (= 100 нит, типичный монитор ПК), если это идеальный излучатель Ламберта, будет иметь световое излучение 314 лм / м². Если его площадь 0,1 м² (~ 19-дюймовый монитор), то общий излучаемый свет или световой поток, таким образом, будет 31,4 лм.

Смотрите также

• Пропускание
• Отражательная способность
• Пассивная солнечная конструкция здания
• Путь солнца

Рекомендации

1. Справочник RCA по электрооптике, стр.18 и далее
2. Современная оптическая инженерия, Уоррен Дж. Смит, McGraw-Hill, стр. 228, 256
3. Педротти и Педротти (1993). Введение в оптику. Prentice Hall. ISBN  0135015456.
4. Ламберт, Иоганн Генрих (1760). Фотометрия, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae. Эберхард Клетт.
5. Инкропера и ДеВитт, Основы тепломассообмена, 5-е изд., С.710.