Хаусдорфово измерение - Hausdorff dimension

Пример нецелочисленных измерений. Первые четыре итерации из Кривая Коха, где после каждой итерации все исходные линейные сегменты заменяются четырьмя, каждый является самоподобной копией, длина которой составляет 1/3 длины оригинала. Один формализм размерности Хаусдорфа использует этот масштабный коэффициент (3) и количество самоподобных объектов (4) для вычисления размерности D после первой итерации, равной D = (log N) / (log S) = ( log 4) / (log 3) ≈ 1,26.^[1] То есть, в то время как хаусдорфово измерение одного точка равен нулю, из отрезок 1, из квадрат равно 2, а куб равно 3, для фракталы например, этот объект может иметь нецелочисленное измерение.

В математика, Хаусдорфово измерение это мера грубость, или более конкретно, фрактальная размерность, который был впервые представлен в 1918 г. математик Феликс Хаусдорф.^[2] Например, размерность Хаусдорфа одного точка равен нулю, из отрезок 1, из квадрат равно 2, а куб равно 3. То есть для наборов точек, определяющих гладкую форму или форму с небольшим количеством углов - формы традиционной геометрии и науки - размерность Хаусдорфа является целое число соглашаясь с обычным чувством измерения, также известным как топологическая размерность. Однако были также разработаны формулы, позволяющие рассчитывать размерность других менее простых объектов, где исключительно на основе их свойств масштабирование и самоподобие, можно сделать вывод, что определенные объекты, в том числе фракталы - имеют нецелочисленные хаусдорфовые размерности. Из-за значительного технического прогресса, достигнутого Абрам Самойлович Безикович позволяя вычислять размеры для очень нерегулярных или «грубых» наборов, этот размер также обычно называют Размерность Хаусдорфа – Безиковича.

В частности, измерение Хаусдорфа - это дополнительное размерное число, связанное с данным набором, где определены расстояния между всеми элементами этого набора. Такой набор называется метрическое пространство. Размер взят из расширенные действительные числа, ${displaystyle {overline {mathbb {R} }}}$, в отличие от более интуитивного понятия размерности, которое не связано с общими метрическими пространствами и принимает значения только в неотрицательных целых числах.

С математической точки зрения, размерность Хаусдорфа обобщает понятие размерности реального векторное пространство. То есть хаусдорфово измерение п-размерный внутреннее пространство продукта равно п. Это лежит в основе более раннего утверждения, что размерность Хаусдорфа точки равна нулю, линии равна единице и т. Д., И что нестандартные наборы могут иметь нецелые хаусдорфовые размерности. Например, Коха снежинка показанный справа построен из равностороннего треугольника; на каждой итерации его составляющие линейные сегменты делятся на 3 сегмента единичной длины, вновь созданный средний сегмент используется в качестве основы нового равносторонний треугольник, который указывает наружу, и этот базовый сегмент затем удаляется, чтобы оставить последний объект из итерации единичной длины 4.^[3] То есть после первой итерации каждый исходный линейный сегмент был заменен на N = 4, где каждая самоподобная копия имеет длину 1 / S = 1/3 от длины оригинала.^[1] Другими словами, мы взяли объект с евклидовым размером D и уменьшили его линейный масштаб на 1/3 в каждом направлении, так что его длина увеличилась до N = S^D.^[4] Это уравнение легко решается относительно D, давая отношение логарифмов (или натуральные логарифмы ), появляющиеся на рисунках и дающие - в случае Коха и других фрактальных случаях - нецелочисленные измерения для этих объектов.

Измерение Хаусдорфа является преемником более простого, но обычно эквивалентного метода подсчета ящиков или Размерность Минковского – Булиганда.

Интуиция

Интуитивное понятие размерности геометрического объекта Икс - количество независимых параметров, необходимых для выделения уникальной точки внутри. Однако любую точку, указанную двумя параметрами, можно вместо этого указать одним, потому что мощность из настоящий самолет равна мощности реальная линия (это видно по аргумент включая переплетение цифр двух чисел, чтобы получить одно число, кодирующее ту же информацию). Пример кривая заполнения пространства показывает, что можно даже сопоставить реальную линию с реальной плоскостью сюръективно (преобразование одного действительного числа в пару действительных чисел таким образом, чтобы покрыть все пары чисел) и непрерывно, так что одномерный объект полностью заполняет многомерный объект.

Каждая кривая заполнения пространства попадает в некоторые точки несколько раз и не имеет непрерывной обратной линии. Невозможно отобразить два измерения в одно непрерывным и непрерывно обратимым способом. Топологическая размерность, также называемая Размер покрытия Лебега, объясняет почему. Это измерение п если в каждом покрытии Икс маленькими открытыми шарами есть хотя бы одна точка, где п + 1 мячи перекрываются. Например, когда кто-то покрывает линию с короткими открытыми интервалами, некоторые точки должны быть покрыты дважды, что дает размерп = 1.

Но топологическое измерение - это очень грубая мера локального размера пространства (размер около точки). Кривая, которая почти заполняет пространство, может иметь топологическое измерение один, даже если она заполняет большую часть области области. А фрактал имеет целочисленное топологическое измерение, но с точки зрения занимаемого пространства ведет себя как пространство более высокого измерения.

Размерность Хаусдорфа измеряет локальный размер пространства с учетом расстояния между точками, метрика. Считайте количество N(р) из мячи радиуса не более р требуется для покрытия Икс полностью. Когда р очень маленький, N(р) полиномиально растет с 1 /р. Для достаточно хорошо воспитанного Икс, размерность Хаусдорфа - это единственное число d такое, что N (р) растет как 1 /р^d в качестве р приближается к нулю. Точнее, это определяет размер подсчета коробок, которая равна размерности Хаусдорфа, когда значение d является критической границей между темпами роста, недостаточными для покрытия пространства, и темпами роста, которые слишком велики.

Для гладких форм или форм с небольшим количеством углов, форм традиционной геометрии и науки, размерность Хаусдорфа представляет собой целое число, соответствующее топологическому измерению. Но Бенуа Мандельброт заметил, что фракталы, множества с нецелой хаусдорфовой размерностью, встречаются в природе повсюду. Он заметил, что правильная идеализация большинства грубых форм, которые вы видите вокруг себя, заключается не в гладких идеализированных формах, а в терминах фрактальных идеализированных форм:

Облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не круги, кора не гладкая, и молнии не движутся по прямой.^[5]

Для фракталов, встречающихся в природе, хаусдорфовы и размер подсчета коробок совпадают. В размер упаковки - еще одно похожее понятие, которое дает одинаковую ценность для многих форм, но есть хорошо задокументированные исключения, когда все эти размеры различаются.

Формальные определения

Содержание Хаусдорфа

Позволять Икс быть метрическое пространство. Если S ⊂ Икс и d ∈ [0, ∞), то d-размерный неограниченное содержание Хаусдорфа из S определяется

${displaystyle C_{H}^{d}(S):=inf {Bigl {}sum _{i}r_{i}^{d}:{ ext{ there is a cover of }}S{ ext{ by balls with radii }}r_{i}>0{Bigr }}.}$

Другими словами, ${displaystyle C_{H}^{d}(S)}$ это инфимум набора чисел ${displaystyle delta geq 0}$ так что существует некоторая (проиндексированная) коллекция мячи ${displaystyle {B(x_{i},r_{i}):iin I}}$ покрытие S с р_я > 0 для каждого я ∈ я это удовлетворяет ${displaystyle sum _{iin I}r_{i}^{d}<delta }$. (Здесь мы используем стандартное соглашение, что инф Ø = ∞.)

Мера Хаусдорфа

Внешняя мера Хаусдорфа отличается от неограниченного хаусдорфова содержания тем, что не рассматривает все возможные покрытия S, мы видим, что происходит, когда размеры шаров стремятся к нулю. За ${displaystyle dgeq 0}$, мы определяем d-мерная внешняя мера Хаусдорфа S в качестве

${displaystyle {mathcal {H}}^{d}(S):=lim _{r o 0}inf {Bigl {}sum _{i}r_{i}^{d}:{ ext{ there is a cover of }}S{ ext{ by balls with radii }}0<r_{i}<r{Bigr }}.}$

Хаусдорфово измерение

В Хаусдорфово измерение из Икс определяется

${displaystyle dim _{operatorname {H} }(X):=inf{dgeq 0:{mathcal {H}}^{d}(X)=0}.}$

Эквивалентно тусклый_ЧАС(Икс) можно определить как инфимум из набора d ∈ [0, ∞) такая, что d-размерный Мера Хаусдорфа из Икс равно нулю. Это то же самое, что и супремум множества d ∈ [0, ∞) такая, что d-мерная мера Хаусдорфа Икс бесконечно (за исключением того, что последний набор чисел d пусто, хаусдорфова размерность равна нулю).

Примеры

Размер дальнейшего фрактал пример. В Треугольник Серпинского, объект с размерностью Хаусдорфа log (3) / log (2) ≈1,58.^[4]

• Счетные множества имеют размерность Хаусдорфа 0.^[6]
• В Евклидово пространство ℝ^п имеет размерность Хаусдорфа п, а круг S¹ имеет размерность Хаусдорфа 1.^[6]
• Фракталы часто являются пространствами, хаусдорфова размерность которых строго превышает топологическая размерность.^[5] Например, Кантор набор, нульмерное топологическое пространство, представляет собой объединение двух копий самого себя, каждая копия уменьшена в 1/3 раза; следовательно, можно показать, что его размерность Хаусдорфа составляет ln (2) / ln (3) ≈ 0,63.^[7] В Треугольник Серпинского представляет собой объединение трех собственных копий, каждая из которых уменьшена в два раза; это дает размерность Хаусдорфа ln (3) / ln (2) ≈ 1,58.^[1] Эти размерности Хаусдорфа связаны с «критическим показателем» Основная теорема для решения повторяющиеся отношения в анализ алгоритмов.
• Кривые заполнения пространства словно Кривая Пеано имеют ту же размерность Хаусдорфа, что и заполняемое ими пространство.
• Траектория Броуновское движение в размерности 2 и выше предполагается размерностью 2 Хаусдорфа.^[8]

Оценка хаусдорфовой размерности побережье Великобритании

• Льюис Фрай Ричардсон провел подробные эксперименты для измерения приблизительной размерности Хаусдорфа для различных береговых линий. Его результаты варьировались от 1,02 для береговой линии Южная Африка до 1,25 для западного побережья Великобритания.^[5]

Свойства хаусдорфовой размерности

Размерность Хаусдорфа и индуктивная размерность

Позволять Икс быть произвольным отделяемый метрическое пространство. Существует топологический понятие индуктивный размер за Икс который определяется рекурсивно. Это всегда целое число (или + ∞) и обозначается dim_инд(Икс).

Теорема. Предполагать Икс не пусто. потом

${displaystyle dim _{mathrm {Haus} }(X)geq dim _{operatorname {ind} }(X).}$

Более того,

${displaystyle inf _{Y}dim _{operatorname {Haus} }(Y)=dim _{operatorname {ind} }(X),}$

куда Y пробегает метрические пространства гомеоморфный к Икс. Другими словами, Икс и Y имеют тот же базовый набор точек и метрику d_Y из Y топологически эквивалентен d_Икс.

Эти результаты были первоначально установлены Эдвард Шпильрайн (1907–1976), например, см. Hurewicz and Wallman, Глава VII.^{[требуется полная цитата ]}

Размерность Хаусдорфа и размерность Минковского

В Минковского измерение подобна размерности Хаусдорфа и по крайней мере равна ей, и во многих случаях они равны. Однако набор рациональный точки в [0, 1] имеют размерность Хаусдорфа ноль и размерность Минковского один. Существуют также компактные множества, для которых размерность Минковского строго больше размерности Хаусдорфа.

Размерности Хаусдорфа и меры Фростмана

Если есть мера μ определяется на Борель подмножества метрического пространства Икс такой, что μ(Икс)> 0 и μ(B(Икс, р)) ≤ р^s выполняется для некоторой постоянной s > 0 и для каждого шара B(Икс, р) в Икс, затем тусклый_Haus(Икс) ≥ s. Частичное обращение обеспечивается Лемма Фростмана.^{[нужна цитата ][9]}

Поведение под союзами и продуктами

Если ${displaystyle X=igcup _{iin I}X_{i}}$ - конечное или счетное объединение, то

${displaystyle dim _{operatorname {Haus} }(X)=sup _{iin I}dim _{operatorname {Haus} }(X_{i}).}$

В этом можно убедиться прямо из определения.

Если Икс и Y являются непустыми метрическими пространствами, то размерность Хаусдорфа их произведения удовлетворяет^[10]

${displaystyle dim _{operatorname {Haus} }(X imes Y)geq dim _{operatorname {Haus} }(X)+dim _{operatorname {Haus} }(Y).}$

Это неравенство может быть строгим. Можно найти два набора размерности 0, продукт которых имеет размерность 1.^[11] В обратном направлении известно, что когда Икс и Y являются борелевскими подмножествами р^п, хаусдорфова размерность Икс × Y ограничена сверху размерностью Хаусдорфа Икс плюс верхний размер упаковки из Y. Эти факты обсуждаются в Mattila (1995).

Автомодельные наборы

Многие наборы, определяемые условием самоподобия, имеют размеры, которые можно определить явно. Грубо говоря, набор E автомодельно, если это неподвижная точка многозначного преобразования ψ, т. е. ψ (E) = E, хотя точное определение дано ниже.

Теорема. Предполагать

${displaystyle psi _{i}:mathbf {R} ^{n}ightarrow mathbf {R} ^{n},quad i=1,ldots ,m}$

находятся сжимающий сопоставления на р^п с константой сжатия р_j <1. Тогда существует единственный непустой компактный набор А такой, что

${displaystyle A=igcup _{i=1}^{m}psi _{i}(A).}$

Теорема следует из Стефан Банах с теорема о сжимающем отображении о неподвижной точке применительно к полному метрическому пространству непустых компактных подмножеств р^п с Расстояние Хаусдорфа.^[12]

Условие открытого набора

Для определения размерности автомодельного множества А (в некоторых случаях) нам необходимо техническое состояние, называемое условие открытого набора (OSC) на последовательности сокращений ψ_я.

Имеется относительно компактный открытый набор V такой, что

${displaystyle igcup _{i=1}^{m}psi _{i}(V)subseteq V,}$

где объединенные слева множества попарно непересекающийся.

Условие открытого множества - это условие разделения, которое обеспечивает изображения ψ_я(V) не перекрываются "слишком сильно".

Теорема. Предположим, что выполнено условие открытого множества и каждое ψ_я подобие, то есть композиция изометрия и расширение в какой-то момент. Тогда единственная неподвижная точка ψ - это множество, хаусдорфова размерность которого равна s куда s уникальное решение^[13]

${displaystyle sum _{i=1}^{m}r_{i}^{s}=1.}$

Коэффициент сжатия подобия - это величина расширения.

Мы можем использовать эту теорему для вычисления размерности Хаусдорфа треугольника Серпинского (или иногда называемого прокладкой Серпинского). Рассмотрим три неколлинеарные точки а₁, а₂, а₃ в плоскости р² и пусть ψ_я быть расширением отношения 1/2 вокруг а_я. Единственная непустая неподвижная точка соответствующего отображения ψ является прокладкой Серпинского, а размерность s уникальное решение

${displaystyle left({frac {1}{2}}ight)^{s}+left({frac {1}{2}}ight)^{s}+left({frac {1}{2}}ight)^{s}=3left({frac {1}{2}}ight)^{s}=1.}$

Принимая натуральные логарифмы обеих частей приведенного выше уравнения, мы можем решить для s, то есть: s = ln (3) / ln (2). Прокладка Серпинского является самоподобной и удовлетворяет требованиям OSC. В общем набор E которая является неподвижной точкой отображения

${displaystyle Amapsto psi (A)=igcup _{i=1}^{m}psi _{i}(A)}$

самоподобен тогда и только тогда, когда пересечения

${displaystyle H^{s}left(psi _{i}(E)cap psi _{j}(E)ight)=0,}$

куда s хаусдорфова размерность E и ЧАС^s обозначает Мера Хаусдорфа. Это ясно в случае прокладки Серпинского (пересечения - это просто точки), но также верно и в более общем плане:

Теорема. При тех же условиях, что и в предыдущей теореме, единственная неподвижная точка ψ самоподобна.

Смотрите также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа Примеры детерминированных фракталов, случайных и естественных фракталов.
• Измерение Ассуада, еще одна разновидность фрактальной размерности, которая, как и размерность Хаусдорфа, определяется с помощью покрытий шарами
• Внутренний размер
• Размер упаковки
• Фрактальное измерение

Рекомендации

1. МакГрегор Кэмпбелл, 2013 г., «5.6 Масштабирование и размерность Хаусдорфа», at Анненберг Ученик: МАТЕМАТИКА с подсветкой, видеть [1], по состоянию на 5 марта 2015 г.
2. Гнейтинг, Тильманн; Шевчикова, Гана; Персиваль, Дональд Б. (2012). «Оценщики фрактальной размерности: оценка грубости временных рядов и пространственных данных». Статистическая наука. 27 (2): 247–277. arXiv:1101.1444. Дои:10.1214 / 11-STS370. S2CID  88512325.
3. Ларри Риддл, 2014 г., «Классические системы с итерационными функциями: снежинка Коха», электронная академия колледжа Агнес Скотт (онлайн), см. [2], по состоянию на 5 марта 2015 г.
4. Кейт Клейтон, 1996, «Фракталы и фрактальное измерение», Основные понятия нелинейной динамики и хаоса (семинар), Ежегодное собрание Общества теории хаоса в психологии и естественных наук, 28 июня 1996 г., Беркли, Калифорния, см. [3], по состоянию на 5 марта 2015 г.
5. Мандельброт, Бенуа (1982). Фрактальная геометрия природы. Конспект лекций по математике 1358. W. H. Freeman. ISBN  0-7167-1186-9.
6. Шлейхер, Дирк (июнь 2007 г.). «Хаусдорфова размерность, ее свойства и сюрпризы». Американский математический ежемесячник. 114 (6): 509–528. arXiv:математика / 0505099. Дои:10.1080/00029890.2007.11920440. ISSN  0002-9890. S2CID  9811750.
7. Фалконер, Кеннет (2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья.
8. Мортерс, Перес (2010). Броуновское движение. Издательство Кембриджского университета.
9. В этой статье в Википедии также обсуждаются дальнейшие полезные характеристики размерности Хаусдорфа.^{[требуется разъяснение ]}
10. Марстранд, Дж. М. (1954). «Размерность декартовых наборов произведений». Proc. Cambridge Philos. Soc. 50 (3): 198–202. Bibcode:1954PCPS ... 50..198M. Дои:10.1017 / S0305004100029236.
11. Фалконер, Кеннет Дж. (2003). Фрактальная геометрия. Математические основы и приложения. John Wiley & Sons, Inc., Хобокен, Нью-Джерси.
12. Фалконер, К. Дж. (1985). «Теорема 8.3». Геометрия фрактальных множеств. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-25694-1.
13. Хатчинсон, Джон Э. (1981). «Фракталы и самоподобие». Indiana Univ. Математика. J. 30 (5): 713–747. Дои:10.1512 / iumj.1981.30.30055.

дальнейшее чтение

• Додсон, М. Морис; Кристенсен, Саймон (12 июня 2003 г.). «Хаусдорфова размерность и диофантово приближение». Фрактальная геометрия и приложения: юбилей Бенуа Мандельброта. Труды симпозиумов по чистой математике. 72. С. 305–347. arXiv:математика / 0305399. Bibcode:2003математика ...... 5399D. Дои:10.1090 / pspum / 072.1 / 2112110. ISBN  9780821836378. S2CID  119613948.
• Гуревич, Витольд; Уоллман, Генри (1948). Теория измерений. Издательство Принстонского университета.
• Э. Шпильрайн (1937). «Измерение и измерение». Fundamenta Mathematicae. 28: 81–9.
• Марстранд, Дж. М. (1954). «Размерность декартовых наборов произведений». Proc. Cambridge Philos. Soc. 50 (3): 198–202. Bibcode:1954PCPS ... 50..198M. Дои:10.1017 / S0305004100029236.
• Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-65595-8.
• А. С. Безикович (1929). «О линейных множествах точек дробной размерности». Mathematische Annalen. 101 (1): 161–193. Дои:10.1007 / BF01454831. S2CID  125368661.
• А. С. Безикович; Х. Д. Урселл (1937). «Наборы дробных размерностей». Журнал Лондонского математического общества. 12 (1): 18–25. Дои:10.1112 / jlms / s1-12.45.18.
  Некоторые отрывки из этого тома перепечатаны в Эдгар, Джеральд А. (1993). Классика по фракталам. Бостон: Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-58701-7. См. Главы 9,10,11
• Ф. Хаусдорф (Март 1919 г.). "Dimension und äußeres Maß" (PDF). Mathematische Annalen. 79 (1–2): 157–179. Дои:10.1007 / BF01457179. HDL:10338.dmlcz / 100363. S2CID  122001234.
• Хатчинсон, Джон Э. (1981). «Фракталы и самоподобие». Indiana Univ. Математика. J. 30 (5): 713–747. Дои:10.1512 / iumj.1981.30.30055.
• Фалконер, Кеннет (2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья.

внешняя ссылка

• Хаусдорфово измерение в Энциклопедия математики
• Мера Хаусдорфа в Энциклопедия математики