Феликс Хаусдорф - Felix Hausdorff

Феликс Хаусдорф
Феликс Хаусдорф
Родившийся	8 ноября 1868 г.; Бреслау, Королевство Пруссия; (сейчас же Вроцлав, Польша )
Умер	26 января 1942 г. (73 года); Бонн, Германия
Национальность	Немецкий
Альма-матер	Лейпцигский университет
Известен	Мера Хаусдорфа; Измерение Хаусдорфа; Пространство Хаусдорфа; Принцип максимума Хаусдорфа; Расстояние Хаусдорфа; Парадокс Хаусдорфа; Проблема моментов Хаусдорфа; Неравенство Хаусдорфа – Юнга.;
Супруг (а)	Шарлотта Хаусдорф (1873-1942)
	Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Боннский университет, Университет Грайфсвальда, Лейпцигский университет
Тезис	Zur Theorie der Astronomischen Strahlenbrechung (1891)
Докторант	Генрих Брунс; Адольф Майер;

Феликс Хаусдорф (8 ноября 1868 г. - 26 января 1942 г.) Немецкий математик кто считается одним из основоположников современного топология и кто внес значительный вклад в теория множеств, описательная теория множеств, теория меры, и функциональный анализ.

Жизнь Хаусдорфа и его семьи стала тяжелой после Хрустальная ночь в 1938 году. В следующем году он предпринял попытку эмигрировать в Соединенные Штаты, но не смог договориться о получении исследовательской стипендии. 26 января 1942 года Феликс Хаусдорф вместе со своей женой и невесткой покончил жизнь самоубийством, приняв передозировку верональный, вместо того, чтобы подчиниться немецкому приказу переехать в лагерь Эндениха, и там постигнут вероятные последствия, о которых он не питал иллюзий.

Жизнь

Детство и юность

Отец Хаусдорфа, Еврейский купец Луи Хаусдорф (1843–1896), переехал осенью 1870 года с молодой семьей в Лейпциг С течением времени работал на разных предприятиях, в том числе на фабрике льняных и хлопчатобумажных изделий. Он был образованным человеком и стал Морену в возрасте 14 лет. Есть несколько трактатов его пера, в том числе длинная работа по арамейским переводам Библии с точки зрения Талмудический закон.

Мать Хаусдорфа, Хедвиг (1848–1902), которая также упоминается в различных документах как Йоханна, происходила из еврейской семьи Тиц. Из другой ветви этой семьи произошел Герман Тиц, основатель первого универмага, а затем совладелец сети универмагов «Герман Тиц». В период нацистской диктатуры название было «арианизированным», чтобы Hertie.

С 1878 по 1887 год Феликс Хаусдорф посещал школу Николая в Лейпциге, учреждение, которое имело репутацию очага гуманистического образования. Он был отличником, много лет руководил классом и часто читал самописные латинские или немецкие стихи на школьных праздниках. После выпуска в 1887 году (с двумя оберприменами) он был единственным, кто получил высшую оценку.

Выбор предмета для Хаусдорфа дался нелегко. Магда Диркесманн, которая часто бывала в гостях в доме Хаусдорфа, когда училась в Бонн в 1926–1932 годах, в 1967 году сообщалось, что:

Его разносторонний музыкальный талант был настолько велик, что только настойчивость отца заставила его отказаться от своего плана заниматься музыкой и стать композитором.

Было принято решение изучать естественные науки в средней школе.

Степень, докторская степень и хабилитация

С летнего семестра 1887 г. по летний семестр 1891 г. Хаусдорф учился математика и астрономия, в основном в его родном городе Лейпциге, прерванный одним семестром в Фрайбург (летний семестр 1888 г.) и Берлин (зимний семестр 1888/1889). Сохранившиеся свидетельства других студентов показывают его как чрезвычайно разностороннего заинтересованного молодого человека, который, помимо математических и астрономических лекций, посещал лекции в физика, химия и география, а также лекции по философия и история философии а также по вопросам язык, литература и социальные науки. В Лейпциге он слушал лекции по история музыки от музыковеда Павла. Его ранняя любовь к музыке длилась всю жизнь; Согласно свидетельским показаниям, сделанным различными участниками, в доме Хаусдорфа проводились впечатляющие музыкальные вечера с хозяином за роялем. Еще будучи студентом в Лейпциге, он был поклонником и ценителем музыки Рихард Вагнер.

В более поздних семестрах учебы Хаусдорф был близок к Генрих Брунс (1848–1919). Брунс был профессором астрономии и директором обсерватории Лейпцигского университета. Под его руководством Хаусдорф закончил в 1891 году работу по теории астрономического преломления света в атмосфере. За этим последовали две публикации по той же теме, а в 1895 году он получил степень доктора наук, а затем написал диссертацию о поглощении света в атмосфере. Эти ранние астрономические работы Хаусдорфа - несмотря на их превосходную математическую проработку - не приобрели важности. Во-первых, основная идея Брунса не оказалась жизнеспособной (требовались наблюдения за рефракцией вблизи астрономического горизонта, что, как мог показать Юлиус Баушингер, чуть позже - в принципе невозможно получить с необходимой точностью). С другой стороны, прогресс в прямых измерениях атмосферных данных (метеозонд ascents) с тех пор сделал ненужным кропотливую точность этих данных по наблюдениям за рефракцией. За время между докторантом и абилитацией Хаусдорф выполнил годовое военное задание и проработал два года в качестве военного специалиста. человеческий компьютер на обсерватория в Лейпциге.

Доцент в Лейпциге

Получив диплом, Хаусдорф стал лектором в Лейпцигском университете и начал обширное преподавание в различных областях математики. Помимо преподавания и исследований в области математики, он придерживался своих литературных и философских наклонностей. Человек разнообразных интересов, образованный, очень чувствительный и искушенный в мышлении, чувствах и переживаниях, он часто бывал в Лейпцигский период у ряда известных писателей, художников и издателей, таких как Герман Конради, Ричард Демель, Отто Эрих Хартлебен, Густав Кирштейн, Макс Клингер, Макс Регер и Фрэнк Ведекинд. Период с 1897 по 1904 год стал периодом его литературного и философского творчества, когда было опубликовано 18 из 22 его работ под псевдонимом, в том числе сборник стихов, пьеса, эпистемологическая книга и сборник афоризмов.

Хаусдорф женился на Шарлотте Гольдшмидт в 1899 году, дочери еврейского врача Зигизмунда Гольдшмидта. Ее мачехой была известная суфражистка и воспитательница дошкольных учреждений Генриетта Гольдшмидт. Единственный ребенок Хаусдорфа, дочь Ленора (Нора), родилась в 1900 году; она пережила эпоху национал-социализма и прожила долгую жизнь, скончавшись в Бонне в 1991 году.

Первая профессура

В декабре 1901 г. Хаусдорф был назначен адъюнкт-профессором Лейпцигского университета. Часто повторяющееся утверждение, что Хаусдорфу звонили из Гёттинген и отклонен, он не может быть проверен и, вероятно, ошибочен. При подаче заявки в Лейпциге декан Киршнер получил очень положительное голосование своих коллег, написанное Генрихом Брунсом, все еще сопровождаемое следующими словами:

Факультет, однако, считает себя обязанным сообщить Королевскому министерству, что вышеуказанное заявление во втором ноября этого года состоялось собрание факультета, было принято не всеми, но 22 голосами против 7. Меньшинство было против, потому что Доктор Хаусдорф исповедует Моисеев.^[1]

Эта цитата подчеркивает неприкрытый антисемитизм настоящего, который особенно резко вырос после Gründerkrach в 1873 г. по всему Германскому Рейху. Лейпциг был центром антисемитского движения, особенно среди студентов. Это вполне может быть причиной того, что Хаусдорф не чувствовал себя комфортно в Лейпциге. Другой причиной, возможно, были стрессы из-за иерархической позиции лейпцигских профессоров.

После его хабилитации Хаусдорф написал еще одну работу о оптика, на неевклидова геометрия, и дальше гиперкомплексное число систем, а также две статьи по теория вероятности. Однако вскоре его основной областью работы стала теория множеств, особенно теория множеств. заказанные наборы. Первоначально это был философский интерес, который привел его примерно в 1897 году к изучению Георг Кантор работа. Уже в летнем семестре 1901 г. Хаусдорф прочитал лекцию по теории множеств. Это была одна из первых лекций по теории множеств; Эрнст Цермело Лекции в Геттингенском колледже в зимнем семестре 1900/1901 были несколько раньше. В том же году он опубликовал свою первую статью о типах заказов, в которой рассмотрел обобщение хороший порядок называется типы градуированных заказов, где линейный порядок оценивается, если никакие два из его сегментов не имеют одинаковых тип заказа. Он обобщил Теорема Кантора – Бернштейна, в котором говорится, что коллекция счетных типов заказов имеет мощность континуума и показал, что совокупность всех градуированных типов идемпотент мощность м имеет мощность 2^м.^[2]

На летний семестр 1910 г. Хаусдорф был назначен профессором Боннский университет. В Бонне он начал лекцию по теории множеств, которую он повторил в летнем семестре 1912 года, существенно переработав и расширив.

Летом 1912 года он также начал работу над своим magnum opus, книгой Основы теории множеств. Он был завершен в Грайфсвальде, где Хаусдорф был назначен на летний семестр полным профессором в 1913 году, и был освобожден в апреле 1914 года.

В Университет Грайфсвальда был самым маленьким из прусских университетов. Кроме того, математический институт был небольшим; в летнем семестре 1916 г. и зимнем семестре 1916/17 г. Хаусдорф был единственным математиком в Грайфсвальде. Это привело к тому, что он был почти полностью занят преподаванием основных курсов. Когда в 1921 году Хаусдорф был назначен в Бонн, его академическая ситуация значительно улучшилась. Здесь он мог разработать тематически обширное обучение и всегда читать лекции о последних исследованиях. Он прочитал особенно примечательную лекцию по теории вероятностей (Н. Л. Хаусдорф: Капсула 21: Фас 64) в летнем семестре 1923 г., в которой он обосновал эту теорию в аксиоматической теории теории меры, и это произошло за десять лет до этого. Колмогоров А. Н. «Основные понятия теории вероятностей» (полностью перепечатано в Собрании сочинений, том V). В Бонне Хаусдорф Эдуард Этюд, а позже с Отто Теплиц, выдающиеся математики, а также коллеги и друзья.

При нацистской диктатуре и самоубийстве

В Национал-социалист утверждена государственная доктрина партии антисемитизм и захват власти. Хаусдорфа изначально не беспокоили "Закон о восстановлении профессиональной гражданской службы ", принятый в 1933 году, поскольку он был немецким чиновником с 1914 года. Однако он не был полностью избавлен, так как одна из его лекций была прервана нацистскими студентами. С 20 ноября он прекратил обучение в зимнем семестре III в 1934/1935 году. на. В это время в Боннском университете проходила рабочая сессия Национального социалистического немецкого студенческого союза (NSDStB), на которой темой семестра была выбрана тема «Раса и этническая принадлежность». Предполагается, что это мероприятие связано с отмена класса Хаусдорфа, потому что в противном случае он никогда за свою долгую карьеру преподавателя университета не останавливал занятия.

31 марта 1935 года Хаусдорфу наконец-то был присвоен почетный статус. За 40 лет успешной работы в немецкой системе высшего образования слов благодарности не было. Он работал не покладая рук и опубликовал, помимо расширенного издания своей работы по теории множеств, семь работ по топологии и дескриптивной теории множеств, все опубликованные в польских журналах: одна в Studia Mathematica, другие в Fundamenta Mathematicae.

Его Nachlass показывает, что Хаусдорф все еще работал математически в эти все более трудные времена и следил за текущими интересными событиями. Его бескорыстно поддерживали в это время Эрих Бессель-Хаген, верный друг семьи Хаусдорф, который получал книги и журналы из библиотеки института, куда Хаусдорфу больше не разрешалось входить как еврею.

О унижениях, которым особенно подвергались Хаусдорф и его семья после Хрустальная ночь в 1938 году многое известно и из множества различных источников, таких как письма Бессель-Хагена.^[3]

Напрасно Хаусдорф просил математика Ричард Курант в 1939 г. для получения стипендии для эмиграции в США.

Первая страница прощального письма Гансу Вольштейну

В середине 1941 г. боннских евреев начали депортировать в монастырь «На вечное поклонение» в г. Endenich, из которого были изгнаны монахини. Транспортировка в лагеря смерти на востоке произошла позже. После того как Феликсу Хаусдорфу, его жене и сестре его жены Эдит Паппенгейм (которая жила с ними) в январе 1942 г. было приказано переехать в лагерь Эндених, они покончили жизнь самоубийством 26 января 1942 г., приняв передозировку верональный. Их последнее пристанище находится на Поппельсдорферское кладбище в Бонне. Между их помещением во временные лагеря и самоубийством он дал свой рукописный Nachlass египтологу и пресвитеру Ханс Бонне, который сохранил как можно больше из них, несмотря на то, что его дом был разрушен бомбой.

Некоторые из его собратьев-евреев могли питать иллюзии относительно лагеря Эндениха, но не Хаусдорфа. Э. Нойеншвандер обнаружил в поместье Бессель-Хаген прощальное письмо, которое Хаусдорф написал своему еврейскому адвокату Гансу Вольштейну.^[4]^[5] Вот начало и конец письма:

Надгробие Хаусдорфа в Бонн-Поппельсдорфе

Дорогой друг Вольштейн!
Если вы получили эти строки, значит, мы (трое) решили проблему другим способом - тем способом, которым вы постоянно пытались нас отговорить. Чувство безопасности, которое вы предсказали нам, когда мы преодолеем трудности переезда, все еще ускользает от нас; напротив, Энденич может и не стать концом!
То, что произошло в последние месяцы против евреев, вызывает оправданные опасения, что они не дадут нам дожить до более сносной ситуации.

Поблагодарив друзей и с большим хладнокровием выразив свои последние пожелания в отношении похорон и завещания, Хаусдорф пишет:

Мне жаль, что мы причиняем вам еще больше усилий после смерти, и я убежден, что вы делаете то, что вы может делать (что, возможно, не очень много). Простите нам наше дезертирство! Желаем вам и всем нашим друзьям переживать лучшие времена.
Ваш искренне преданный
Феликс Хаусдорф

К сожалению, это желание не исполнилось. Адвокат Хаусдорфа Волльштейн был убит в Освенцим.

Hausdorffstraße (Бонн)

Библиотеку Хаусдорфа продал его зять и единственный наследник Артур Кениг. Рукописный Nachlass был принят на хранение другом семьи, боннским египтологом Хансом Бонне. Сейчас он находится в университетской и государственной библиотеке Бонна. В Nachlass каталогизирован.^[6]

Работа и прием

Хаусдорф как философ и писатель (Поль Монгре)

Том афоризмов Хаусдорфа, опубликованный в 1897 году, был его первой работой, опубликованной под псевдонимом Поль Монгре. Он называется Сант Иларио. Мысли с пейзажа Заратустры. Подзаголовок Сант Иларио, «Мысли о пейзаже Заратустры» сначала обыгрывает тот факт, что Хаусдорф закончил свою книгу во время оздоровительного пребывания на Лигурийском побережье у Генуи, и что в этом же районе Фридрих Ницше написал первые две части «Так говорил Заратустра»; он также намекает на свою духовную близость к Ницше. В статье о Сант 'Иларио в еженедельной газете Die Zukunft, Хаусдорф признал в expressis verbis его долг Ницше.

Хаусдорф не пытался копировать или даже превосходить Ницше. «От подражания Ницше нет и в помине», - говорится в современном обзоре. Он следует за Ницше в попытке освободить индивидуальное мышление, позволить поставить под сомнение устаревшие стандарты. Хаусдорф сохранял критическую дистанцию с поздними работами Ницше. В своем эссе о книге Воля к власти составленный из записей, оставленных в Архиве Ницше, он говорит:

В Ницше светится фанатик. Его мораль разведения, построенная на наших нынешних биологических и физиологических основах знания: это может быть всемирно-историческим скандалом, против которого Инквизиция и суды над ведьмами переходят в безобидные аберрации.

Свой критический стандарт он заимствовал у самого Ницше,

От доброго, скромного, понимающего Ницше и от свободного духа хладнокровного, бездогматичного, бессистемного скептика Ницше ...

В 1898 году появился - также под псевдонимом Поль Монгре - эпистемологический эксперимент Хаусдорфа. Хаос в космическом отборе. Критика метафизики, выдвинутая в этой книге, имеет своей отправной точкой в противостоянии Хаусдорфа с идеей вечного повторения Ницше. В конечном итоге это разрушает любую метафизику. О самом мире, из ядра трансцендентного мира - как выразился Хаусдорф - мы ничего не знаем и ничего не знаем. Мы должны принять «сам мир» как неопределенный и неопределимый, как простой хаос. Мир нашего опыта, наш космос - это результат выбора, выбора, который мы всегда инстинктивно делали в соответствии с нашими возможностями понимания и создания большего. Из этого хаоса также будут видны другие ордена, возможно, другие Космои. Во всяком случае, из мира нашего космоса нельзя сделать вывод о существовании трансцендентного мира.

В 1904 году в журнале The New Rundschau появилась пьеса Хаусдорфа, одноактная пьеса Врач в его честь. Это грубая сатира на дуэль и традиционные представления прусского офицерского корпуса о чести и благородстве, которые в развивающемся буржуазном обществе становились все более анахроничными. Врач в его честь был величайшим литературным успехом Хаусдорфа. В 1914–1918 гг. Состоялись многочисленные выступления более чем в тридцати городах. Позже Хаусдорф написал эпилог к пьесе, но в то время он не был поставлен. Только в 2006 году этот эпилог был впервые представлен на ежегодном собрании Немецкого математического общества в Бонне.

Помимо упомянутых выше произведений, Хаусдорф написал множество эссе, опубликованных в некоторых ведущих литературных журналах того времени, а также сборник стихов. Экстази (1900). Некоторые из его стихов положил на музыку австрийский композитор. Иосиф Маркс.

Теория упорядоченных множеств

Вступление Хаусдорфа в подробное исследование упорядоченных множеств было частично вызвано проблемой континуума Кантора: в каком месте находится количественное числительное ${ displaystyle aleph = 2 ^ { aleph _ {0}}}$ взять в серию ${ displaystyle aleph _ { alpha}}$ . В письме к Гильберту от 29 сентября 1904 г. он говорит об этой проблеме: «она мучила почти как мономания».^[7] Он видел в наборе ${ Displaystyle mathrm {карта} (Т ( Алеф _ {0})) = Алеф}$ новая стратегия решения проблемы. Кантор подозревал ${ displaystyle aleph = aleph _ {1}}$ , но показал только ${ displaystyle aleph geq aleph _ {1}}$ . ${ displaystyle aleph _ {1}}$ это «количество» возможных хороший порядок из счетный набор ; ${ displaystyle aleph}$ теперь появилось «число» всех возможных заказов на такую сумму. Поэтому было естественным изучать системы более специальные, чем общие порядки, но более общие, чем хорошие порядки. Хаусдорф сделал именно это в своем первом томе 1901 года, когда опубликовал теоретические исследования «градуированных множеств». Мы знаем по результатам Курт Гёдель и Пол Коэн, что эта стратегия решения проблемы континуума так же неэффективна, как и стратегия Кантора, которая была направлена на обобщение Принцип Кантора – Бендиксона за закрытые наборы общему бесчисленному множеству.

В 1904 году Хаусдорф опубликовал названную его именем рекурсию:

Для каждого неограниченного порядкового номера ${ displaystyle mu}$ у нас есть ${ displaystyle aleph _ { mu} ^ { aleph _ { alpha}} = aleph _ { mu} ; aleph _ { mu -1} ^ { aleph _ { alpha}}. }$

Эта формула, вместе с более поздним понятием конфинальности, введенным Хаусдорфом, стала основой всех дальнейших результатов для Возведение в степень алеф. Превосходное знание Хаусдорфа проблем этого типа последовательности было усилено его усилиями по раскрытию ошибки в Юлиус Кениг лекция в Международный конгресс математиков в 1904 г. в Гейдельберг. Там Кёниг утверждал, что континуум не может быть хорошо упорядоченным, поэтому его мощность не алеф, и таким образом вызвал большой переполох. Утверждение о том, что именно Хаусдорф разъяснил ошибку, имеет особый вес, потому что в исторической литературе более чем за 50 лет рисовался ложный образ событий в Гейдельберге.^[8]

В 1906–1909 годах Хаусдорф провел фундаментальную работу по упорядоченным множествам. Вкратце можно коснуться лишь нескольких моментов. Принципиальное значение для всей теории имеет концепция конфинальность что представил Хаусдорф. Порядковый номер называется правильным, если он является окончательным с любым меньшим порядковым номером; в противном случае это единственное число. Вопрос Хаусдорфа, существуют ли регулярные числа с индексом предельным порядковым номером, был отправной точкой для теории недоступных кардиналов. Хаусдорф уже заметил, что такие числа, если они существуют, должны быть «непомерных размеров».^[9]

Принципиальное значение имеет следующая теорема Хаусдорфа: для любого неограниченного упорядоченного плотного множества ${ displaystyle A}$ есть два однозначно определенных регулярных начальных числа ${ displaystyle omega _ { xi}, omega _ { eta}}$ так что ${ displaystyle A}$ является cofinal с ${ displaystyle omega _ { xi}}$ и совпадают с ${ displaystyle omega _ { eta} ^ {*}}$ (* Обозначает обратный порядок). Эта теорема предоставляет, например, метод для характеристики элементов и пробелов в упорядоченных наборах. Таким образом, Хаусдорф использовал введенные им символы пробелов и символы элементов.

Если ${ displaystyle W}$ предопределенный набор символов (символы элемента и пробела), возникает вопрос, существуют ли упорядоченные наборы, набор символов которых точно соответствует ${ displaystyle W}$ . Нетрудно найти необходимое условие для ${ displaystyle W}$ . Хаусдорф смог показать, что этого условия также достаточно. Для этого нужен богатый резервуар упорядоченных множеств; Хаусдорф создал это с помощью своей теории общих продуктов и возможностей.^[10] В этом водохранилище встречаются такие интересные сооружения, как Хаусдорф ${ displaystyle eta _ { alpha}}$ нормальных типов, в связи с которыми Хаусдорф впервые сформулировал гипотеза обобщенного континуума. Хаусдорфа ${ displaystyle eta _ { alpha}}$ -множества послужили отправной точкой для изучения важной модельной теории насыщенная структура.^[11]

Общие произведения Хаусдорфа и мощности мощностей привели его к концепции частично упорядоченного множества. На вопрос о том, содержится ли какое-либо упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества в максимально упорядоченном подмножестве, Хаусдорф положительно ответил с помощью теоремы о хорошем упорядочении. Это Принцип максимума Хаусдорфа. Это следует не только из теоремы о хорошем упорядочении (или из (эквивалентной этой) аксиомы выбора), но, как оказалось, даже из аксиомы выбора эквивалентны.^[12]

Уже в 1908 году Артур Мориц Шенфлис во второй части своего отчета по теории множеств обнаружил, что новая теория упорядоченных множеств (то есть та, которая возникла после ее расширения Кантора) была почти исключительно результатом Хаусдорфа.^[13]

"Magnum Opus": "Принципы теории множеств"

Согласно прежним представлениям, теория множеств включала не только общую теорию множеств и теорию множеств точек, но также теорию размерности и меры. Работа Хаусдорфа была первым учебником, в котором вся теория множеств была представлена в этом широком смысле систематически и с полными доказательствами. Хаусдорф осознавал, насколько легко человеческий разум может ошибаться, одновременно ища строгости и истины. Поэтому он предложил в предисловии к работе:

О человеческом преимуществе ошибки как можно более экономно использовать.

Эта книга вышла далеко за рамки своего мастерского изображения известного. Он также содержал ряд важных оригинальных работ автора, о которых можно только намекнуть в дальнейшем.

Первые шесть глав посвящены основным понятиям общей теории множеств. Вначале Хаусдорф излагает подробную алгебру множеств с некоторыми новаторскими концепциями (цепочки различий, кольца множеств и поля множеств, ${ displaystyle delta}$ - и ${ displaystyle sigma}$ -системы). Эти вводные параграфы о множествах и их связях включают, например, современное теоретико-множественное понятие функций. Затем в главах 3–5 последовала классическая теория кардинальных чисел, порядковых типов и ординалов. В шестой главе «Отношения между упорядоченными и хорошо упорядоченными множествами» Хаусдорф представляет, среди прочего, наиболее важные результаты своего собственного исследования упорядоченных множеств.

В главах о «точечных множествах» - топологических главах - Хаусдорф впервые развил, основываясь на известных аксиомах соседства, систематическую теорию топологических пространств, куда, кроме того, он добавил аксиому отделимости, позже названную его именем. Эта теория возникает из всестороннего синтеза более ранних подходов других математиков и собственных размышлений Хаусдорфа о проблеме пространства. Понятия и теоремы классической теории точечных множеств ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ по мере возможности переносятся на общий случай и, таким образом, становятся частью вновь созданной общей или теоретико-множественной топологии. Но Хаусдорф не только выполнил эту «работу по переводу», но и разработал базовый метод построения топологии как зарождение (внутреннее, плотное в себе ядро) и формирование оболочки (замыкание), и он работает с фундаментальной важностью концепции открытого множества (названного им "площадью") и компактности, введенной Фреше. Он также основал и развил теорию связного множества, в частности, путем введения терминов «компонент» и «квазикомпонент».

В соответствии с первой и, наконец, второй аксиомами счетности Хаусдорфа рассматриваемые пространства постепенно подвергались дальнейшей специализации. Большой класс пространств, удовлетворяющих счетной первой аксиоме, - это метрические пространства. Они были введены в 1906 году Фреше под названием «классы (E)». Термин «метрическое пространство» происходит от Хаусдорфа. В Принципы, он разработал теорию метрических пространств и систематически обогатил ее рядом новых концепций: Метрика Хаусдорфа, полный, полная ограниченность, ${ displaystyle rho}$ -связность, приводимые множества. Работы Фреше почти не заметили; только через Хаусдорф Принципы стали ли метрические пространства общим достоянием математиков?

Глава об иллюстрациях и заключительная глава Принципы по теории меры и интегрирования обогащены общностью материала и оригинальностью изложения. Упоминание Хаусдорфом о важности теории меры для вероятность имел большой исторический эффект, несмотря на лаконичность. В этой главе можно найти первое верное доказательство сильный закон больших чисел из Эмиль Борель. Наконец, приложение содержит самый впечатляющий результат всей книги, а именно теорему Хаусдорфа о том, что нельзя определить объем для всех ограниченных подмножеств ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ за ${ Displaystyle п geq 3}$ . Доказательство основано на парадоксальном разложении Хаусдорфа на шар, для получения которого требуется аксиома выбора.^[14]

В течение 20 века это стало стандартом для построения математических теорий на основе аксиоматической теории множеств. Создание аксиоматически обоснованных обобщенных теорий, таких как общая топология, служило, среди прочего, для выделения общего структурного ядра для различных конкретных случаев или регионов, а затем создания абстрактной теории, которая содержала все эти части как частные случаи. Это принесло большой успех в форме упрощения и гармонизации и, в конечном итоге, привело к экономии мысли. Сам Хаусдорф подчеркнул этот аспект в Принципы. Топологическая глава с основными понятиями является методологически новаторской попыткой, и они показали путь развития современной математики.

Принципы теории множеств появился в и без того напряженное время накануне Первой мировой войны. В августе 1914 года началась война, которая также сильно повлияла на научную жизнь Европы. В этих условиях вряд ли могла быть эффективна книга Хаусдорфа в первые пять-шесть лет после ее появления. После войны новое поколение молодых исследователей принялось расширять предложения, которые были включены в эту работу в таком изобилии, и, без сомнения, топология была в центре внимания. Журнал Fundamenta Mathematicae сыграл особую роль в восприятии идей Хаусдорфа, основанный в Польше в 1920 году. Это был один из первых математических журналов с особым упором на теорию множеств, топологию, теорию реальных функций, теорию меры и интеграции, функциональный анализ, логику и основы. математики. В этом спектре особое внимание уделялось общей топологии. Хаусдорфа Принципы присутствовали в Fundamenta Mathematicae из первого тома с поразительной частотой. Из 558 работ (три работы Хаусдорфа не подсчитаны), появившихся в первых двадцати томах с 1920 по 1933 год, 88 цитируют Принципы. Следует даже принять во внимание, что по мере того, как концепции Хаусдорфа все более и более становились обычным явлением, они также использовались в ряде работ, в которых они прямо не упоминались.

Российская топологическая школа, основанная Пол Александров и Пол Урысон, во многом основывался на теории Хаусдорфа. Принципы. Об этом свидетельствует сохранившаяся переписка Хаусдорфа. Nachlass с Урысоном, и особенно с Александровым и Урысоном Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes,^[15] работа размером с книгу, в которой Урысон развил теорию размерности и Принципы цитируется не менее 60 раз.

Спустя долгое время после Второй мировой войны книга Хаусдорфа пользовалась большим спросом, и в Челси было три переиздания в 1949, 1965 и 1978 годах.

Теория описательных множеств, теория меры и анализ

В 1916 году Александров и Хаусдорф независимо решили^[16] проблема континуума для борелевских множеств: каждое борелевское множество в полном сепарабельном метрическом пространстве либо счетно, либо имеет мощность континуума. Этот результат обобщает Теорема Кантора – Бендиксона что такое утверждение верно для замкнутых множеств ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ . Для линейных ${ displaystyle G _ { delta}}$ наборы Уильям Генри Янг доказал результат в 1903 г.,^[17] за ${ displaystyle G _ { delta sigma delta}}$ множеств Хаусдорф получил соответствующий результат в 1914 г. Принципы. Теорема Александрова и Хаусдорфа явилась сильным толчком для дальнейшего развития дескриптивной теории множеств.^[18]

Среди публикаций Хаусдорфа в его время в Грайфсвальде работа Размер и внешняя мера с 1919 г. особенно выдающийся. Она оставалась очень актуальной и в последующие годы была, вероятно, самой цитируемой оригинальной математической работой за десятилетие с 1910 по 1920 год. В этой работе были представлены концепции, которые теперь известны как Мера Хаусдорфа и Хаусдорфово измерение.

Концепция размерности Хаусдорфа полезна для характеристики и сравнения «очень жестких величин». Концепции Размер и внешняя мера имеют опыт применения и дальнейшего развития во многих областях, таких как теория динамических систем, геометрическая теория меры, теория самоподобных множеств и фракталов, теория случайных процессов, гармонический анализ, теория потенциала и теория чисел.^[19]

Значительная аналитическая работа Хаусдорфа произошла во второй раз в Бонне. В Методы суммирования и последовательности моментов I в 1921 году он разработал целый класс методов суммирования расходящихся рядов, которые сегодня называются Методы Хаусдорфа. В Харди классика Дивергентная серия, целая глава посвящена методу Хаусдорфа. Классические методы Hölder и Cesàro оказался специальным методом Хаусдорфа. Каждый метод Хаусдорфа задается последовательностью моментов; в этом контексте Хаусдорф дал элегантное решение проблемы моментов для конечного интервала, минуя теорию цепных дробей. В Проблемы моментов на конечном интервале 1923 г. он рассматривал более специальные проблемы моментов, например, с определенными ограничениями на создание плотности ${ Displaystyle varphi (х)}$ , например ${ Displaystyle varphi (х) в L ^ {p} [0,1]}$ . Критерии разрешимости и определения проблем моментов занимали Хаусдорфа многие годы, поскольку сотни страниц исследований в его Nachlass засвидетельствовать.^[20]

Существенным вкладом в зарождающийся функциональный анализ в 20-е годы было расширение Хаусдорфом теоремы Рисса-Фишера на ${ Displaystyle L ^ {p}}$ пробелы в его работах 1923 года Расширение теоремы Парсеваля о рядах Фурье. Он доказал неравенство, названное теперь его именем и W.H. Молодой. Неравенство Хаусдорфа – Юнга стало отправной точкой для серьезных новых разработок.^[21]

Книга Хаусдорфа Теория множеств появился в 1927 году. Это было объявлено вторым изданием Принципы, но на самом деле это была совершенно новая книга. Поскольку масштаб был значительно уменьшен из-за его появления в учебной библиотеке Гошена, большие части теории упорядоченных множеств и мер и теории интеграции были удалены. «Читатель, возможно, пожалеет о более чем этих изъятиях» (сказал Хаусдорф в предисловии), «что я, чтобы еще больше сэкономить место в теории точечных множеств, отказался от топологической точки зрения, благодаря которой первое издание, по-видимому, приобрело много друзей. ограничился более простой теорией метрических пространств ».

Фактически, это было явным сожалением некоторых рецензентов работы. В качестве компенсации Хаусдорф впервые показал нынешнее состояние дескриптивной теории множеств. Этот факт обеспечил книге почти такой же интенсивный прием, как Принципы, особенно в Fundamenta Mathematicae. Как учебник он был очень популярен. В 1935 году было опубликовано расширенное издание, которое было переиздано Дувром в 1944 году. Английский перевод появился в 1957 году с переизданиями в 1962 и 1967 годах.

There was also a Russian edition (1937), although it was only partially a faithful translation, and partly a reworking by Alexandroff and Колмогоров. In this translation the topological point of view again moved to the forefront. In 1928 a review of Теория множеств appeared from the pen of Hans Hahn. Perhaps Hahn had the danger of German anti-Semitism in his mind as he closed this discussion with the following sentence:

An exemplary depiction in every respect of a difficult and thorny area, a work on par with those which have carried the fame of German science about the world and such that all German mathematicians may be proud with.^[22]

The last works

In his last work Erweiterung einer stetigen Abbildung, Hausdorff showed in 1938 that a непрерывная функция from a closed subset ${ displaystyle F}$ of a metric space ${ displaystyle E}$ can be extended to all of ${ displaystyle E}$ (although the image may need to be extended). As a special case, every гомеоморфизм из ${ displaystyle F}$ can be extended to a homeomorphism from ${ displaystyle E}$ . This work set forth results from earlier years. In 1919, in Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung, Hausdorff had, among other things, given another proof of the Теорема Титце о продолжении. В 1930 г. Erweiterung einer Homöomorphie (Extending a Homeomorphism), he showed the following: Let ${ displaystyle E}$ be a metric space, ${displaystyle Fsubseteq E}$ a closed subset. Если ${ displaystyle F}$ is given a new metric without changing the topology, this metric can be extended to the entire space without changing the topology. Работа Gestufte Räume appeared in 1935. Here Hausdorff discussed spaces which fulfilled the Аксиомы замыкания Куратовского up to just the axiom of idempotence. He named them graded spaces (often also called closure spaces) and used them in the study of the relationships between the Фреше limit spaces and топологические пространства.

Hausdorff as name-giver

The name Hausdorff is found throughout mathematics. Among others, these concepts were named after him:

In the universities of Bonn and Greifswald, these things were named in his honor:

то Hausdorff Center for Mathematics in Bonn,
то Hausdorff Research Institute for Mathematics in Bonn, and
то Felix Hausdorff Internationale Begegnungszentrum in Greifswald.

Besides these, in Bonn there is the Hausdorffstraße (Hausdorff Street), where he first lived. (Haus-Nr. 61). In Greifswald there is a Felix-Hausdorff–Straße, where the Institutes for Biochemistry and Physics are located, among others. Since 2011, there is a "Hausdorffweg" (Hausdorff-Way) in the middle of Leipziger Ortsteil Gohlis.^[23]

The Asteroid 24947 Hausdorff был назван в его честь.

Сочинения

As Paul Mongré

Only a selection of the essays that appeared in text are shown here.

Sant'Ilario. Gedanken aus der Landschaft Zarathustras. Verlag C. G. Naumann, Leipzig 1897.
Das Chaos in kosmischer Auslese — Ein erkenntniskritischer Versuch. Verlag C. G. Naumann, Leipzig 1898; Reprinted with foreword by Max Bense: Baden-Baden: Agis-Verlag 1976, ISBN 3-87007-013-7
Massenglück und Einzelglück. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (1), (1898), S. 64–75.
Das unreinliche Jahrhundert. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (5), (1898), S. 443–452.
Ekstasen. Volume of poetry. Verlag H. Seemann Nachf., Leipzig 1900.
Der Wille zur Macht. In: Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 13 (12) (1902), S. 1334–1338.
Max Klingers Beethoven. Zeitschrift für bildende Kunst, Neue Folge 13 (1902), S. 183–189.
Sprachkritik Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12), (1903), S. 1233–1258.
Der Arzt seiner Ehre, Groteske. In: Die neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8), (1904), S. 989-1013. New edition as: Der Arzt seiner Ehre. Komödie in einem Akt mit einem Epilog. With 7 portraits and woodcuts by Hans Alexander Müller after drawings by Walter Tiemann, 10 Bl., 71 S. Fifth printing by Leipziger Bibliophilen-Abends, Leipzig 1910. New edition: S. Fischer, Berlin 1912, 88 S.

As Felix Hausdorff

Beiträge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math.-phys. Classe 53 (1901), S. 152–178.
Über eine gewisse Art geordneter Mengen. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math.-phys. Classe 53 (1901), S. 460–475.
Das Raumproblem (Inaugural lecture at the University of Leipzig on 4. July 1903). Ostwald's Annals of Natural Philosophy 3 (1903), S. 1–23.
Der Potenzbegriff in der Mengenlehre. Annual report of the DMV 13 (1904), S. 569–571.
Untersuchungen über Ordnungstypen I, II, III. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math.-phys. Klasse 58 (1906), S. 106–169.
Untersuchungen über Ordnungstypen IV, V. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math.-phys. Klasse 59 (1907), S. 84–159.
Über dichte Ordnungstypen^{[постоянная мертвая ссылка ]}. Annual report of the DMV 16 (1907), S. 541–546.
Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen^{[постоянная мертвая ссылка ]}. Математика. Annalen 65 (1908), S. 435–505.
Die Graduierung nach dem Endverlauf. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math.-phys. Klasse 31 (1909), S. 295–334.
Grundzüge der Mengenlehre. Verlag Veit & Co, Leipzig. 476 S. mit 53 Figuren. Further printings: Chelsea Pub. Co. 1949, 1965, 1978.
Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen^{[постоянная мертвая ссылка ]}. Математика. Annalen 77 (1916), S. 430–437.
Dimension und äußeres Maß. Математика. Annalen 79 (1919), S. 157–179.
Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung^{[постоянная мертвая ссылка ]}. Математика. Zeitschrift 5 (1919), S. 292–309.
Summationsmethoden und Momentfolgen I^{[постоянная мертвая ссылка ]}, II.^{[постоянная мертвая ссылка ]} Математика. Zeitschrift 9 (1921), I: S. 74-109, II: S. 280–299.
Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen. Математика. Zeitschrift 16 (1923), S. 163–169.
Momentprobleme für ein endliches Intervall. Математика. Zeitschrift 16 (1923), S. 220–248.
Mengenlehre, second reworked edition. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin. 285 S. with 12 figures.
Erweiterung einer Homöomorphie (PDF; 389 kB) Fundamenta Mathematicae 16 (1930), S. 353–360.
Mengenlehre, Третье издание. With an additional chapter and several appendices. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin. 307 S. mit 12 Figuren. Nachdruck: Dover Pub. New York, 1944. Englisch edition: Теория множеств. Translated from the German by J. R. Aumann et al. Chelsea Pub. Co., New York 1957, 1962, 1967.
Gestufte Räume. (PDF; 1,2 MB) Fundamenta Mathematicae 25 (1935), S. 486–502.
Erweiterung einer stetigen Abbildung (PDF; 450 kB) Fundamenta Mathematicae 30 (1938), S. 40–47.
Nachgelassene Schriften. 2 тома. Ed.: G. Bergmann, Teubner, Stuttgart 1969. From the Nachlass, Volume I includes пучки 510–543, 545–559, 561–577, Volume II fascicles 578–584, 598–658 (all fascicles given in facsimile).

Hausdorff on Ordered Sets. Пер. and Ed.: Jacob M. Plotkin, American Mathematical Society 2005.

Собрание сочинений

The "Hausdorff-Edition", edited by E. Brieskorn (†), F. Hirzebruch (†), W. Purkert (all Bonn), R. Remmert (†) (Münster) and E. Scholz (Wuppertal) with the collaboration of over twenty mathematicians, historians, philosophers and scholars, is an ongoing project of the Академия наук, гуманитарных наук и искусств Северного Рейна-Вестфалии to present the works of Hausdorff, with commentary and much additional material. The planned nine volumes are being published by Springer-Verlag, Heidelberg. As of 2019, eight volumes have been published with volume I being split up into volume IA and volume IB. See the website of the Hausdorff Project website of the Hausdorff Edition (German) for its current status and further information. The projected volumes are:

Band IA: Allgemeine Mengenlehre.^[24] 2013, ISBN 978-3-642-25598-4.
Band IB: Felix Hausdorff – Paul Mongré (Biographie). 2018, ISBN 978-3-662-56380-9.
Группа II: Grundzüge der Mengenlehre (1914). 2002, ISBN 978-3-540-42224-2^[25]
Группа III: Mengenlehre (1927, 1935); Deskriptive Mengenlehre und Topologie. 2008, ISBN 978-3-540-76806-7
Band IV: Analysis, Algebra und Zahlentheorie. 2001, ISBN 978-3-540-41760-6^[25]
Band V: Astronomie, Optik und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2006, ISBN 978-3-540-30624-5^[25]
Band VI: Geometrie, Raum und Zeit.
Band VII: Philosophisches Werk. 2004, ISBN 978-3-540-20836-5^[25]
Band VIII: Literarisches Werk. 2010, ISBN 978-3-540-77758-8
Band IX: Korrespondenz. 2012, ISBN 978-3-642-01116-0.

Смотрите также

внешняя ссылка

[1] Archiv der Universität Leipzig, PA 547

[2] Gabbay, Dov M. (2012-01-01). Handbook of the History of Logic: Sets and extensions in the twentieth century. Эльзевир. ISBN 9780444516213.

[3] Neuenschwander, E.: Felix Hausdorffs letzte Lebensjahre nach Dokumenten aus dem Bessel-Hagen-Nachlaß. In: Brieskorn 1996, S. 253–270.

[4] Nachlass Bessel-Hagen, Universitätsarchiv Bonn. Abgedruckt in Brieskorn 1996, S. 263–264 und im Faksimile S. 265–267

[5] Полный текст Abschiedsbrief Felix Hausdorffs в Wikisource

[6] Siehe Findbuch Nachlass Hausdorff

[7] Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek zu Göttingen, Handschriftenabteilung, NL Hilbert, Nr. 136.

[8] Detaillierte Angaben findet man in den gesammelten Werken, Band II, S. 9–12.

[9] H.: Gesammelte Werke. Группа II: Grundzüge der Mengenlehre. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg etc. 2002. Kommentare von U. Felgner, S. 598–601.

[10] H.: Gesammelte Werke. Группа II: Grundzüge der Mengenlehre. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg etc. 2002. S. 604–605.

[11] Siehe dazu den Essay von U. Felgner: Die Hausdorffsche Theorie der ${displaystyle eta _{alpha }}$ -Mengen und ihre Wirkungsgeschichte in H.: Gesammelte Werke. Группа II: Grundzüge der Mengenlehre. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg etc. 2002. S. 645–674.

[12] Siehe dazu und zu ähnlichen Sätzen von Куратовски унд Zorn den Kommentar von U. Felgner in den gesammelten Werken, Band II, S. 602–604.

[13] Schoenflies, A.: Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. Teil II. Jahresbericht der DMV, 2. Ergänzungsband, Teubner, Leipzig 1908., S. 40.

[14] For the history of Haussdorff's sphere paradox see Gesammelte Werke Band IV, S. 11–18; also the article by P. Schreiber in Brieskorn 1996, S. 135–148, and the monograph Wagon 1993.

[15] Urysohn, P.: Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes. (PDF; 6,2 MB) Fundamenta Mathematicae 7 (1925), S. 30–137; 8 (1926), S. 225–351.

[16] P. Alexandroff: Sur la puissance des ensembles mesurables B. Comptes rendus Acad. Sci. Paris 162 (1916), S. 323–325.

[17] W. H. Young: Zur Lehre der nicht abgeschlossenen Punktmengen. Berichte über die Verhandlungen der Königl. Sächs. Ges. der Wiss. zu Leipzig, Math.-Phys. Klasse 55 (1903), S. 287–293.

[18] Alexandorff, Hopf 1935, S. 20. For details see Gesammelte Werke Band II, S. 773–787.

[19] For the history of the reception of Dimension und äußeres Maß, see the article by Bandt/Haase and Bothe/Schmeling in Brieskorn 1996, S. 149–183 and S. 229–252 and the commentary of S. D. Chatterji in Gesammelten Werken, Band IV, S. 44–54 and the literature given there.

[20] Gesammelte Werke Band IV, S. 105–171, 191–235, 255–267 and 339–373.

[21] See commentary by S. D. Chatterji in Gesammelten Werken Band IV, S. 182–190.

[22] Hahn, H. (1928). "F. Hausdorff, Mengenlehre". Monatshefte für Mathematik und Physik. 35: 56–58.

[23] Ratsversammlung vom 18. Mai 2011 (Beschluss-Nr. RBV-822/11), amtliche Bekanntmachung: Leipziger Amtsblatt Nr. 11 vom 4. Juni 2011, bestandskräftig seit dem 5. Juli 2011 bzw. 5. August 2011. Vgl. Leipziger Amtsblatt Nr. 16 vom 10. September 2011.

[24] Review von Jeremy Gray der Bände 1a, 3, 8, 9, Bulletin AMS, Band 51, 2014, 169–172.

[Gray-25] а ^б ^c ^d Gray, Jeremy (2007). "Рассмотрение: Gesammelte Werke, Тт. II, IV, V, and VII, by Felix Hausdorff" (PDF). Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 44 (3): 471–474. Дои:10.1090/S0273-0979-07-01137-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]