Размер упаковки - Packing dimension

В математика, то размер упаковки это одна из нескольких концепций, которые можно использовать для определения измерение из подмножество из метрическое пространство. Размер упаковки в некотором смысле двойной к Хаусдорфово измерение, так как размер упаковки построен "упаковка" небольшой открытые шары внутри данного подмножества, тогда как размерность Хаусдорфа строится путем покрытия данного подмножества такими маленькими открытыми шарами. В размер упаковки был представлен К. Трико младшим в 1982 году.

Определения

Позволять (Икс, d) - метрическое пространство с подмножеством S ⊆ Икс и разреши s ≥ 0 - действительное число. В s-размерная упаковка предварительная мера из S определяется как

${\displaystyle P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\delta \downarrow 0}\left\{\left.\sum _{i\in I}\mathrm {diam} (B_{i})^{s}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ is a countable collection}}\\{\text{of pairwise disjoint closed balls with}}\\{\text{diameters }}\leq \delta {\text{ and centres in }}S\end{matrix}}\right\}.}$

К сожалению, это всего лишь предварительная мера и не правда мера на подмножествах Икс, как видно, рассматривая плотный, счетный подмножества. Однако предварительная мера приводит к добросовестный мера: s-размерная упаковка из S определяется как

${\displaystyle P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{s}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ countable}}\right\},}$

т. е. мера упаковки S это инфимум предварительных мер упаковки счетных крышек S.

Сделав это, размер упаковки тусклый_п(S) из S определяется аналогично размерности Хаусдорфа:

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {P} }(S)&{}=\sup\{s\geq 0|P^{s}(S)=+\infty \}\\&{}=\inf\{s\geq 0|P^{s}(S)=0\}.\end{aligned}}}$

Пример

Следующий пример представляет собой простейшую ситуацию, когда размеры Хаусдорфа и упаковки могут отличаться.

Исправить последовательность ${\displaystyle (a_{n})}$ такой, что ${\displaystyle a_{0}=1}$ и ${\displaystyle 0<a_{n+1}<a_{n}/2}$. Определите индуктивно вложенную последовательность ${\displaystyle E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$ компактных подмножеств вещественной прямой следующим образом: Пусть ${\displaystyle E_{0}=[0,1]}$. Для каждой связной компоненты ${\displaystyle E_{n}}$ (который обязательно будет интервалом длины ${\displaystyle a_{n}}$), удалите средний интервал длины ${\displaystyle a_{n}-2a_{n+1}}$, получив два интервала длины ${\displaystyle a_{n+1}}$, которые примем за связные компоненты ${\displaystyle E_{n+1}}$. Затем определите ${\displaystyle K=\bigcap _{n}E_{n}}$. потом ${\displaystyle K}$ топологически является канторовым множеством (т. е. компактным вполне несвязным совершенным пространством). Например, ${\displaystyle K}$ будет обычным набором Кантора средних третей, если ${\displaystyle a_{n}=3^{-n}}$.

Можно показать, что размеры Хаусдорфа и упаковки набора ${\displaystyle K}$ даются соответственно:

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,,\\\dim _{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,.\end{aligned}}}$

Легко следует, что данные числа ${\displaystyle 0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1}$, можно выбрать последовательность ${\displaystyle (a_{n})}$ как указано выше, так что связанный (топологический) канторов набор ${\displaystyle K}$ имеет размерность Хаусдорфа ${\displaystyle d_{1}}$ и размер упаковки ${\displaystyle d_{2}}$.

Обобщения

Можно считать размерные функции более общий, чем "диаметр до s": для любой функции час : [0, + ∞) → [0, + ∞], пусть предварительная упаковка S с функцией измерения час быть предоставленным

${\displaystyle P_{0}^{h}(S)=\lim _{\delta \downarrow 0}\sup \left\{\left.\sum _{i\in I}h{\big (}\mathrm {diam} (B_{i}){\big )}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ is a countable collection}}\\{\text{of pairwise disjoint balls with}}\\{\text{diameters }}\leq \delta {\text{ and centres in }}S\end{matrix}}\right\}}$

и определить мера упаковки S с функцией измерения час от

${\displaystyle P^{h}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{h}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ countable}}\right\}.}$

Функция час считается точный (упаковка) функция измерения для S если п^час(S) одновременно конечна и строго положительна.

Свойства

• Если S это подмножество п-размерный Евклидово пространство р^п с его обычной метрикой, то размер упаковки S равен верхнему измененному размеру коробки S:

${\displaystyle \dim _{\mathrm {P} }(S)={\overline {\dim }}_{\mathrm {MB} }(S).}$

Этот результат интересен, потому что он показывает, как измерение, полученное из меры (измерение упаковки), согласуется с измерением, полученным без использования меры (измененное измерение коробки).

Однако обратите внимание, что размер упаковки не равен размеру коробки. Например, набор рациональные Q имеет размер коробки один и размер упаковки ноль.

Смотрите также

• Хаусдорфово измерение
• Размерность Минковского – Булиганда

использованная литература

• Трико младший, Клод (1982). «Два определения дробной размерности». Математические труды Кембриджского философского общества. 91 (1): 57–74. Дои:10.1017 / S0305004100059119. Г-Н633256