Фрактал Ляпунова - Lyapunov fractal

Стандартный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AB, в области [2, 4] × [2, 4].

Обобщенный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AABAB, в области [2, 4] × [2, 4].

Обобщенный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью BBBBBBAAAAAA, в области параметров роста (А,B) в [3.4, 4.0] × [2.5, 3.4], известная как Циркон Зиты.

В математика, Ляпуновские фракталы (также известен как Фракталы Маркуса – Ляпунова) находятся бифуркационный фракталы полученный из расширения логистическая карта в которой степень роста населения, р, периодически переключается между двумя значениями А и B.^[1]

А Ляпунов фрактал создается путем отображения областей устойчивости и хаотического поведения (измеряемых с помощью Показатель Ляпунова ${\displaystyle \lambda }$) в а−б плоскости для заданных периодических последовательностей а и б. На изображениях желтый цвет соответствует ${\displaystyle \lambda <0}$ (стабильность), а синий цвет соответствует ${\displaystyle \lambda >0}$ (хаос).

Фракталы Ляпунова были открыты в конце 1980-х.^[2] германо-чилийской физик Марио Маркус от Институт молекулярной физиологии Макса Планка. Они были представлены широкой публике популяризация науки статья о развлекательная математика опубликовано в Scientific American в 1991 г.^[3]

Свойства

Фракталы Ляпунова обычно рисуются для значений А и B в интервале ${\displaystyle [0,4]}$. Для больших значений интервал [0,1] больше не является стабильным, и последовательность, вероятно, будет притягиваться бесконечностью, хотя сходящиеся циклы конечных значений продолжают существовать для некоторых параметров. Для всех итерационных последовательностей диагональ а = б всегда такой же, как для стандартной логистической функции с одним параметром.

Последовательность обычно начинается со значения 0,5, которое является критическая точка итерационной функции.^[4] Другие (даже комплексные) критические точки итерационной функции в течение одного всего цикла - это те, которые проходят через значение 0,5 в первом цикле. Сходящийся цикл должен привлечь хотя бы одну критическую точку.^[5] Следовательно, все сходящиеся циклы могут быть получены путем простого сдвига итерационной последовательности и сохранения начального значения 0,5. На практике смещение этой последовательности приводит к изменениям фрактала, так как одни ветви перекрываются другими. Например, фрактал Ляпунова для итерационной последовательности AB (см. Верхний рисунок справа) не является идеально симметричным относительно а и б.

Алгоритм генерации фракталов Ляпунова

В алгоритм для вычисления фракталов Ляпунова работает следующим образом:^[6]

1. Выберите строку из As и B любой нетривиальной длины (например, AABAB).
2. Построить последовательность ${\displaystyle S}$ образованный последовательными членами в строке, повторяемыми столько раз, сколько необходимо.
3. Выберите точку ${\displaystyle (a,b)\in [0,4]\times [0,4]}$.
4. Определите функцию ${\displaystyle r_{n}=a}$ если ${\displaystyle S_{n}=A}$, и ${\displaystyle r_{n}=b}$ если ${\displaystyle S_{n}=B}$.
5. Позволять ${\displaystyle x_{0}=0.5}$, и вычисляем итерации ${\displaystyle x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})}$.
6. Вычислите показатель Ляпунова:
   ${\displaystyle \lambda =\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log \left|{dx_{n+1} \over dx_{n}}\right|=\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log |r_{n}(1-2x_{n})|}$
   На практике, ${\displaystyle \lambda }$ аппроксимируется путем выбора подходящего размера ${\displaystyle N}$ и отбрасывая первое слагаемое как ${\displaystyle r_{0}(1-2x_{0})=r_{n}\cdot 0=0}$ для ${\displaystyle x_{0}=0.5}$.
7. Раскрасьте точку ${\displaystyle (a,b)}$ в соответствии со стоимостью ${\displaystyle \lambda }$ получено.
8. Повторите шаги (3–7) для каждой точки на плоскости изображения.

Больше размеров

Воспроизвести медиа

Анимация трехмерного фрактала Ляпунова с последовательностью ABBBCA

Фракталы Ляпунова можно вычислить более чем в двух измерениях. Строка последовательности для п-мерный фрактал должен быть построен из алфавита с п персонажи, например «ABBBCA» для трехмерного фрактала, который можно визуализировать либо как трехмерный объект, либо как анимацию, показывающую «срез» в направлении C для каждого кадра анимации, как в примере, приведенном здесь.

Заметки

1. Увидеть Маркус 1989, п. 553 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMarkus1989 (Помогите).
2. Увидеть Маркус 1989 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMarkus1989 (Помогите) и Маркус 1990.
3. Увидеть Дьюдни 1991.
4. Увидеть Маркус 1990, п. 483.
5. Увидеть Маркус 1990, п. 486.
6. Увидеть Маркус 1990, pp. 481 483 и Маркус 1998 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMarkus1998 (Помогите).

использованная литература

• Дьюдни, А. (1991). «Прыжок в пространство Ляпунова». Scientific American. 265 (3): 130–132. Дои:10.1038 / scientificamerican0991-178.
• Маркус, Марио; Гесс, Бенно (1989). «Показатели Ляпунова логистической карты с периодическим форсированием». Компьютеры и графика. 13 (4): 553–558. Дои:10.1016/0097-8493(89)90019-8.
• Маркус, Марио (1990). «Хаос на картах с непрерывными и разрывными максимумами». Компьютеры в физике. 4 (5): 481. Дои:10.1063/1.4822940.
• Маркус, Марио; Гесс, Бенно (1998). «Глава 12. Показатели Ляпунова логистической карты с периодическим форсированием». В Клиффорде А. Пиковере (ред.). Хаос и фракталы. Компьютерное графическое путешествие. Эльзевир. стр.73 -78. Дои:10.1016 / B978-0-444-50002-1.X5000-0. ISBN  978-0-444-50002-1.

внешние ссылки

• Фракталы и хаос EFG - экспоненты Ляпунова
• Элерт, Гленн. «Пространство Ляпунова». Гипертекст Хаоса.