Теория бифуркации - Bifurcation theory

Фазовый портрет, показывающий бифуркацию седло-узел

Теория бифуркации это математический изучение изменений качественного или топологический структура данного семья, такой как интегральные кривые семьи векторные поля, а решения семейства дифференциальные уравнения. Чаще всего применяется к математический исследование динамические системы, а бифуркация происходит, когда небольшое плавное изменение значений параметров (параметров бифуркации) системы вызывает внезапное «качественное» или топологическое изменение ее поведения.^[1] Бифуркации происходят в обеих непрерывных системах (описываемых ODE, DDE или PDEs ) и дискретных систем (описываемых картами). Название «бифуркация» впервые ввел Анри Пуанкаре в 1885 г. в первой статье по математике, показывающей такое поведение.^[2] Анри Пуанкаре также позже назвал различные типы стационарные точки и классифицировал их по мотивам

Типы бифуркаций

Бифуркации полезно разделить на два основных класса:

• Локальные бифуркации, которые могут быть полностью проанализированы через изменение свойств локальной устойчивости равновесие периодические орбиты или другие инвариантные наборы, когда параметры пересекают критические пороги; и
• Глобальные бифуркации, которые часто происходят, когда большие инвариантные множества системы «сталкиваются» друг с другом или с положениями равновесия системы. Их нельзя обнаружить только путем анализа устойчивости состояний равновесия (неподвижных точек).

Локальные бифуркации

Бифуркации уменьшения периода вдвое (L), приводящие к порядку, за которыми следуют бифуркации удвоения периода (R), ведущие к хаосу.

Локальная бифуркация происходит, когда изменение параметра приводит к изменению устойчивости равновесия (или фиксированной точки). В непрерывных системах это соответствует действительной части собственного значения равновесия, проходящей через ноль. В дискретных системах (описываемых картами, а не ОДУ) это соответствует фиксированной точке, имеющей Множитель Флоке с модулем, равным единице. В обоих случаях равновесие негиперболический в точке бифуркации. Топологические изменения фазового портрета системы могут быть ограничены сколь угодно малыми окрестностями бифуркационных неподвижных точек, перемещая параметр бифуркации близко к точке бифуркации (следовательно, `` локально '').

С технической точки зрения, рассмотрим непрерывную динамическую систему, описываемую ОДУ

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,\lambda )\quad f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}.}$

Локальная бифуркация происходит в ${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})}$ если Якобиан матрица${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}}$имеет собственное значение с нулевой действительной частью. Если собственное значение равно нулю, бифуркация является бифуркацией установившегося состояния, но если собственное значение ненулевое, но чисто мнимое, это Бифуркация хопфа.

Для дискретных динамических систем рассмотрим систему

${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n},\lambda )\,.}$

Затем происходит локальная бифуркация при ${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})}$ если матрица${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}}$имеет собственное значение с модулем, равным единице. Если собственное значение равно единице, бифуркация представляет собой либо седло-узел (часто называемое бифуркацией складок на картах), либо транскритическую бифуркацию или бифуркацию вил. Если собственное значение равно -1, это бифуркация удвоения периода (или переворота), в противном случае это бифуркация Хопфа.

Примеры локальных бифуркаций включают:

• Седло-узел (складка) бифуркация
• Транскритическая бифуркация
• Разветвление вил
• Удвоение периода (перевернуть) бифуркация
• Бифуркация хопфа
• Неймарк – Сакер (вторичный Хопф) бифуркация

Глобальные бифуркации

Фазовый портрет до, при и после гомоклинической бифуркации в 2D. Периодическая орбита растет, пока не столкнется с седловой точкой. В точке бифуркации период периодической орбиты вырос до бесконечности и стал равным гомоклиническая орбита. После бифуркации периодической орбиты больше нет. Левая панель: Для малых значений параметров есть точка перевала в начале и предельный цикл в первом квадранте. Средняя панель: По мере увеличения параметра бифуркации предельный цикл растет до тех пор, пока он точно не пересечет седловую точку, создавая орбиту бесконечной продолжительности. Правая панель: При дальнейшем увеличении параметра бифуркации предельный цикл полностью исчезает.

Глобальные бифуркации происходят, когда «большие» инвариантные множества, такие как периодические орбиты, сталкиваются с положениями равновесия. Это вызывает изменения в топологии траекторий в фазовом пространстве, которые не могут быть ограничены малой окрестностью, как в случае с локальными бифуркациями. Фактически, изменения в топологии простираются на сколь угодно большие расстояния (следовательно, «глобальные»).

Примеры глобальных бифуркаций включают:

• Гомоклиническая бифуркация в котором предельный цикл сталкивается с точка перевала.^[3] Гомоклинические бифуркации могут происходить сверхкритически или субкритически. Вышеупомянутый вариант - это «малая» гомоклиническая бифуркация или «тип I». В 2D также существует гомоклиническая бифуркация «большого» или «типа II», в которой гомоклиническая орбита «захватывает» другие концы неустойчивых и устойчивых многообразий седла. В трех или более измерениях могут происходить бифуркации более высоких коразмерностей, вызывая сложные, возможно хаотичный динамика.
• Гетероклиническая бифуркация в котором предельный цикл сталкивается с двумя или более седловыми точками; они включают гетероклинический цикл.^[4] Гетероклинические бифуркации бывают двух типов: резонансные бифуркации и поперечные бифуркации. Оба типа бифуркации приведут к изменению устойчивости гетероклинического цикла. При резонансной бифуркации устойчивость цикла изменяется, когда алгебраическое условие на собственные значения состояний равновесия в цикле выполняется. Обычно это сопровождается рождением или смертью периодическая орбита. Поперечная бифуркация гетероклинического цикла возникает, когда действительная часть поперечного собственного значения одного из положений равновесия в цикле проходит через ноль. Это также вызовет изменение стабильности гетероклинического цикла.
• Бифуркация бесконечного периода в котором устойчивый узел и седловая точка одновременно возникают на предельном цикле.^[5] Поскольку предел Если параметр приближается к некоторому критическому значению, скорость колебаний замедляется, а период приближается к бесконечности. При этом критическом значении происходит бифуркация бесконечного периода. За пределами критического значения две фиксированные точки непрерывно выходят друг из друга в предельном цикле, чтобы нарушить колебания и сформировать две седловые точки.
• Катастрофа голубого неба в котором предельный цикл сталкивается с негиперболическим циклом.

Глобальные бифуркации также могут включать более сложные множества, такие как хаотические аттракторы (например, кризисы ).

Коразмерность бифуркации

В коразмерность бифуркации - это количество параметров, которые необходимо изменить, чтобы бифуркация произошла. Это соответствует коразмерности набора параметров, для которого бифуркация происходит в пределах всего пространства параметров. Бифуркации седло-узел и бифуркации Хопфа - единственные типичные локальные бифуркации, которые действительно имеют коразмерность один (все остальные имеют более высокую коразмерность). Однако транскритические бифуркации и бифуркации вил также часто рассматриваются как коразмерность один, потому что нормальные формы могут быть записаны только с одним параметром.

Примером хорошо изученной бифуркации коразмерности два является Бифуркация Богданова – Такенса.

Приложения в полуклассической и квантовой физике

Теория бифуркации была применена, чтобы связать квантовые системы с динамикой их классических аналогов в атомных системах,^[6][7][8] молекулярные системы,^[9] и резонансные туннельные диоды.^[10] Теория бифуркации также применялась к изучению лазерная динамика^[11] и ряд теоретических примеров, к которым трудно получить экспериментальный доступ, таких как «взорванный верх»^[12] и связанные квантовые ямы.^[13] Основная причина связи между квантовыми системами и бифуркациями в классических уравнениях движения заключается в том, что при бифуркациях сигнатура классических орбит становится большой, поскольку Мартин Гуцвиллер указывает в своей классике^[14] работа над квантовый хаос.^[15] Многие виды бифуркаций были изучены в отношении связей между классической и квантовой динамикой, включая бифуркации седловых узлов, бифуркации Хопфа, омбилические бифуркации, бифуркации удвоения периода, бифуркации пересоединения, касательные бифуркации и бифуркации каспов.

Смотрите также

• Математический портал

• Бифуркационная диаграмма
• Бифуркационная память
• Теория катастроф
• Константы Фейгенбаума
• Геомагнитная инверсия
• Фазовый портрет
• Теорема о теннисной ракетке

Заметки

1. Blanchard, P .; Девани, Р.Л.; Холл, Г. Р. (2006). Дифференциальные уравнения. Лондон: Томпсон. С. 96–111. ISBN  978-0-495-01265-8.
2. Анри Пуанкаре. "L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de Rotation". Acta Mathematica, vol.7, pp. 259-380, сентябрь 1885 г.
3. Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос. Эддисон-Уэсли. п. 262. ISBN  0-201-54344-3.
4. Ло, Динцзюнь (1997). Теория бифуркаций и методы динамических систем.. World Scientific. п. 26. ISBN  981-02-2094-4.
5. Джеймс П. Кинер, "Бифуркация бесконечного периода и ветви глобальной бифуркации", Журнал SIAM по прикладной математике, Vol. 41, № 1 (август 1981 г.), стр. 127–144.
6. Gao, J .; Делос, Дж. Б. (1997). «Квантовые проявления бифуркаций замкнутых орбит в спектрах фотопоглощения атомов в электрических полях». Phys. Ред. А. 56 (1): 356–364. Bibcode:1997PhRvA..56..356G. Дои:10.1103 / PhysRevA.56.356.
7. Peters, A.D .; Jaffé, C .; Делос, Дж. Б. (1994). «Квантовые проявления бифуркаций классических орбит: точно решаемая модель». Phys. Rev. Lett. 73 (21): 2825–2828. Bibcode:1994ПхРвЛ..73.2825П. Дои:10.1103 / PhysRevLett.73.2825. PMID  10057205.
8. Кортни, Майкл; Цзяо, Хун; Спеллмейер, Нил; Клеппнер, Даниэль; Gao, J .; Delos, J. B .; и другие. (1995). "Бифуркации замкнутой орбиты в штарковских спектрах сплошных сред". Phys. Rev. Lett. 74 (9): 1538–1541. Bibcode:1995ФРвЛ..74.1538С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.74.1538. PMID  10059054.
9. Founargiotakis, M .; Farantos, S.C .; Скокос, гл .; Контопулос, Г. (1997). «Бифуркационные диаграммы периодических орбит несвязанных молекулярных систем: FH2». Письма по химической физике. 277 (5–6): 456–464. Bibcode:1997CPL ... 277..456F. Дои:10.1016 / S0009-2614 (97) 00931-7.
10. Монтейро, Т. С. и Сарага, Д. С. (2001). «Квантовые ямы в наклонных полях: полуклассические амплитуды и времена фазовой когерентности». Основы физики. 31 (2): 355–370. Дои:10.1023 / А: 1017546721313. S2CID  120968155.
11. Wieczorek, S .; Krauskopf, B .; Симпсон, Т. Б. и Ленстра, Д. (2005). «Динамическая сложность полупроводниковых лазеров с оптической инжекцией». Отчеты по физике. 416 (1–2): 1–128. Bibcode:2005PhR ... 416 .... 1Вт. Дои:10.1016 / j.physrep.2005.06.003.
12. Стаматиу, Г. и Гикас, Д. П. К. (2007). «Зависимость квантовой запутанности от бифуркаций и рубцов в неавтономных системах. Случай квантового волчка». Письма о физике A. 368 (3–4): 206–214. arXiv:Quant-ph / 0702172. Bibcode:2007ФЛА..368..206С. Дои:10.1016 / j.physleta.2007.04.003. S2CID  15562617.
13. Galan, J .; Фрейре, Э. (1999). «Хаос в модели среднего поля связанных квантовых ям; бифуркации периодических орбит в симметричной гамильтоновой системе». Доклады по математической физике. 44 (1–2): 87–94. Bibcode:1999RpMP ... 44 ... 87G. Дои:10.1016 / S0034-4877 (99) 80148-7.
14. Kleppner, D .; Делос, Дж. Б. (2001). «За пределами квантовой механики: идеи из работ Мартина Гуцвиллера». Основы физики. 31 (4): 593–612. Дои:10.1023 / А: 1017512925106. S2CID  116944147.
15. Гуцвиллер, Мартин К. (1990). Хаос в классической и квантовой механике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97173-5.

использованная литература

• Афраймович, В. С .; Арнольд, В.И.; и другие. (1994). Теория бифуркаций и теория катастроф. ISBN  978-3-540-65379-0.
• Guardia, M .; Мартинес-Сеара, М .; Тейшейра, М. А. (2011). Типичные бифуркации малой коразмерности планарных систем Филиппова. «Журнал дифференциальных уравнений», Февраль 2011, т. 250, шт. 4. С. 1967–2023. DOI: 10.1016 / j.jde.2010.11.016
• Виггинс, Стивен (1988). Глобальные бифуркации и хаос: аналитические методы. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-96775-2.

внешние ссылки

• Нелинейная динамика
• Бифуркации и двумерные потоки Элмер Г. Винс
• Введение в теорию бифуркаций Джон Дэвид Кроуфорд