Разветвление вил - Pitchfork bifurcation

В теория бифуркации, поле внутри математика, а вилы раздвоение это особый тип местных бифуркация где система переходит от одной фиксированной точки к трем фиксированным точкам. Разветвления вил, как Бифуркации Хопфа имеют два типа - сверхкритический и докритический.

В непрерывных динамических системах, описываемых ODE â € ”т.е. потоков - бифуркации вил обычно возникают в системах с симметрия.

Сверхкритический случай

Сверхкритический случай: сплошные линии - устойчивые точки, пунктирные - нестабильные.

В нормальная форма суперкритической развилки вил

${displaystyle {frac {dx}{dt}}=rx-x^{3}.}$

За ${displaystyle r<0}$, имеется одно устойчивое равновесие при ${displaystyle x=0}$. За ${displaystyle r>0}$ есть неустойчивое равновесие при ${displaystyle x=0}$, и два устойчивых положения равновесия при ${displaystyle x=pm {sqrt {r}}}$.

Докритический случай

Докритический случай: сплошная линия представляет устойчивую точку, пунктирная линия - неустойчивую.

В нормальная форма для докритического случая

${displaystyle {frac {dx}{dt}}=rx+x^{3}.}$

В этом случае для ${displaystyle r<0}$ равновесие при ${displaystyle x=0}$ устойчиво, и есть два неустойчивых положения равновесия при ${displaystyle x=pm {sqrt {-r}}}$. За ${displaystyle r>0}$ равновесие при ${displaystyle x=0}$ нестабильно.

Формальное определение

ODE

${displaystyle {dot {x}}=f(x,r),}$

описывается функцией с одним параметром ${displaystyle f(x,r)}$ с ${displaystyle rin mathbb {R} }$ удовлетворение:

${displaystyle -f(x,r)=f(-x,r),,}$ (f - это нечетная функция ),

${displaystyle {egin{aligned}{frac {partial f}{partial x}}(0,r_{0})&=0,&{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}(0,r_{0})&=0,&{frac {partial ^{3}f}{partial x^{3}}}(0,r_{0})&eq 0,[5pt]{frac {partial f}{partial r}}(0,r_{0})&=0,&{frac {partial ^{2}f}{partial rpartial x}}(0,r_{0})&eq 0.end{aligned}}}$

имеет вилы раздвоение в ${displaystyle (x,r)=(0,r_{0})}$. Форму вил задает знак третьей производной:

${displaystyle {frac {partial ^{3}f}{partial x^{3}}}(0,r_{0}){egin{cases}<0,&{ ext{supercritical}}>0,&{ ext{subcritical}}end{cases}},,}$

Обратите внимание, что докритический и сверхкритический режим описывают стабильность внешних линий вил (пунктирная или сплошная, соответственно) и не зависят от того, в каком направлении обращены вилы. Например, отрицательное значение первого ОДУ выше, ${displaystyle {dot {x}}=x^{3}-rx}$, смотрит в том же направлении, что и первое изображение, но меняет устойчивость.

Смотрите также

• Теория бифуркации
• Бифуркационная диаграмма

Рекомендации

• Стивен Строгац, Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике, Книги Персея, 2000.
• С. Виггинс, Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос, Springer-Verlag, 1990.