Точка равновесия - Equilibrium point

В математика особенно в дифференциальные уравнения, точка равновесия является постоянным решением дифференциального уравнения.

Формальное определение

Смысл ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$ является точка равновесия для дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}$

если ${\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }$ для всех ${\displaystyle t}$.

Точно так же точка ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$ является точка равновесия (или же фиксированная точка ) для разностное уравнение

${\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}$

если ${\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}}$ за ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$.

Равновесия можно классифицировать, глядя на знаки собственных значений линеаризации уравнений относительно равновесий. То есть, оценивая Матрица якобиана в каждой из точек равновесия системы, а затем найдя результирующие собственные значения, равновесия можно разделить на категории. Затем поведение системы в окрестности каждой точки равновесия может быть определено качественно (или даже количественно в некоторых случаях) путем нахождения собственного вектора (ов), связанного с каждым собственным значением.

Точка равновесия гиперболический если ни одно из собственных значений не имеет нулевой действительной части. Если все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, равновесие является устойчивым уравнением. Если хотя бы один из них имеет положительную действительную часть, равновесие является неустойчивым узлом. Если хотя бы одно собственное значение имеет отрицательную действительную часть и хотя бы одно имеет положительную действительную часть, равновесие является точка перевала.

Смотрите также

• Автономное уравнение
• Критическая точка
• Устойчивое состояние

Рекомендации

• Бойс, Уильям Э .; ДиПрима, Ричард К. (2012). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи. (10-е изд.). Вайли. ISBN  978-0-470-45831-0.
• Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы. (3-е изд.). Springer. С. 102–104. ISBN  1-4613-0003-7.