Показатель Ляпунова - Lyapunov exponent

В математика то Показатель Ляпунова или Характеристический показатель Ляпунова из динамическая система - величина, характеризующая скорость отделения бесконечно близких траектории. Количественно две траектории в фазовое пространство с начальным вектором отрыва ${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$ расходятся (при условии, что расхождение можно рассматривать в рамках линеаризованного приближения) со скоростью, определяемой

${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|}$

где ${\displaystyle \lambda }$ - показатель Ляпунова.

Скорость отрыва может быть разной для разных ориентаций вектора начального отрыва. Таким образом, существует спектр показателей Ляпунова- равны по численности размерности фазового пространства. Обычно самый большой из них называют Максимальный показатель Ляпунова (MLE), потому что он определяет понятие предсказуемость для динамической системы. Положительный MLE обычно считается признаком того, что система хаотичный (при соблюдении других условий, например компактности фазового пространства). Обратите внимание, что произвольный начальный вектор разделения обычно будет содержать некоторую компоненту в направлении, связанном с MLE, и из-за экспоненциальной скорости роста влияние других экспонент со временем будет стираться.

Показатель назван в честь Александр Ляпунов.

Определение максимального показателя Ляпунова

Максимальный показатель Ляпунова можно определить следующим образом:

${\displaystyle \lambda =\lim _{t\to \infty }\lim _{|\delta \mathbf {Z} _{0}|\to 0}{\frac {1}{t}}\ln {\frac {|\delta \mathbf {Z} (t)|}{|\delta \mathbf {Z} _{0}|}}}$

Предел ${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} _{0}|\to 0}$ гарантирует справедливость линейного приближения в любое время.^[1]

Для системы с дискретным временем (карты или итерации с фиксированной точкой) ${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$ , для орбиты, начинающейся с ${\displaystyle x_{0}}$ это означает:

${\displaystyle \lambda (x_{0})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|}$

Определение спектра Ляпунова.

Для динамической системы с уравнением эволюции ${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=f_{i}(x)}$ в п–Мерное фазовое пространство, спектр показателей Ляпунова

${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}\}\,,}$

в общем, зависит от отправной точки ${\displaystyle x_{0}}$. Однако обычно нас интересуют аттрактор (или аттракторы) динамической системы, и обычно с каждым аттрактором связан один набор показателей. Выбор отправной точки может определить, на каком аттракторе окажется система, если их больше одного. (Для гамильтоновых систем, не имеющих аттракторов, это не проблема.) Показатели Ляпунова описывают поведение векторов в касательном пространстве фазового пространства и определяются из Матрица якобиана

${\displaystyle J_{ij}(t)=\left.{\frac {df_{i}(x)}{dx_{j}}}\right|_{x(t)}}$

этот якобиан определяет эволюцию касательных векторов, заданных матрицей ${\displaystyle Y}$, через уравнение

${\displaystyle {\dot {Y}}=JY}$

с начальным условием ${\displaystyle Y_{ij}(0)=\delta _{ij}}$. Матрица ${\displaystyle Y}$ описывает, как небольшое изменение в точке ${\displaystyle x(0)}$ распространяется до конечной точки ${\displaystyle x(t)}$. Предел

${\displaystyle \Lambda =\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {1}{2t}}\log(Y(t)Y^{T}(t))}$

определяет матрицу ${\displaystyle \Lambda }$ (условия существования предела задаются Теорема Оселедца ). Показатели Ляпунова ${\displaystyle \lambda _{i}}$ определяются собственными значениями ${\displaystyle \Lambda }$.

Набор показателей Ляпунова будет одинаковым почти для всех начальных точек эргодический компонент динамической системы.

Показатель Ляпунова для нестационарной линеаризации

Чтобы ввести показатель Ляпунова, рассмотрим фундаментальную матрицу${\displaystyle X(t)}$(например, для линеаризации по стационарному решению ${\displaystyle x_{0}}$ в непрерывной системе фундаментальная матрица${\displaystyle \exp \left(\left.{\frac {df^{t}(x)}{dx}}\right|_{x_{0}}t\right)}$состоящий из линейно независимых решений первого приближения системы.${\displaystyle \{\alpha _{j}{\big (}X(t){\big )}\}_{1}^{n}}$матрицы ${\displaystyle X(t)}$ - квадратные корни из собственных значений матрицы ${\displaystyle X(t)^{*}X(t)}$Наибольший показатель Ляпунова ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }}$ составляет^[2]

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }=\max \limits _{j}\limsup _{t\rightarrow \infty }{\frac {1}{t}}\ln \alpha _{j}{\big (}X(t){\big )}.}$

A.M. Ляпунов доказано, что если система первого приближения регулярна (например, все системы с постоянными и периодическими коэффициентами регулярны) и ее наибольший показатель Ляпунова отрицателен, то решение исходной системы имеет вид асимптотически устойчивый по Ляпунову Позднее О. Перрон заявил, что требование регулярности первого приближения является существенным.

Эффекты Перрона инверсии знака наибольшего показателя Ляпунова

В 1930 году О. Перрон построил пример системы второго порядка, в котором первое приближение имеет отрицательные показатели Ляпунова вдоль нулевого решения исходной системы, но в то же время это нулевое решение исходной нелинейной системы является неустойчивым по Ляпунову. Кроме того, в некоторой окрестности этого нулевого решения почти все решения исходной системы имеют положительные показатели Ляпунова. Также возможно построить обратный пример, в котором первое приближение имеет положительные показатели Ляпунова вдоль нулевого решения исходной системы, но в то же время это нулевое решение исходной нелинейной системы устойчиво по Ляпунову.^[3][4]Эффект обращения знака показателей Ляпунова решений исходной системы и системы первого приближения с одинаковыми начальными данными впоследствии был назван эффектом Перрона.^[3][4]

Контрпример Перрона показывает, что наибольший отрицательный показатель Ляпунова, как правило, не указывает на стабильность, а наибольший положительный показатель Ляпунова, как правило, не указывает на хаос.

Таким образом, нестационарная линеаризация требует дополнительного обоснования.^[4]

Основные свойства

Если система консервативна (т. Е. Нет рассеяние ) элемент объема фазового пространства останется неизменным вдоль траектории. Таким образом, сумма всех показателей Ляпунова должна быть равна нулю. Если система диссипативна, сумма показателей Ляпунова отрицательна.

Если система представляет собой поток и траектория не сходится к одной точке, один показатель всегда равен нулю - показатель Ляпунова, соответствующий собственному значению системы ${\displaystyle L}$ с собственным вектором в направлении потока.

Значение спектра Ляпунова

Спектр Ляпунова может быть использован для оценки скорости производства энтропии фрактальная размерность, и из Хаусдорфово измерение рассмотренных динамическая система^[5]. В частности, из знания спектра Ляпунова можно получить так называемый Ляпуновское измерение (или Измерение Каплана – Йорка ) ${\displaystyle D_{KY}}$, который определяется следующим образом:

${\displaystyle D_{KY}=k+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i}}{|\lambda _{k+1}|}}}$

где ${\displaystyle k}$ - максимальное целое число такое, что сумма ${\displaystyle k}$ наибольшие показатели по-прежнему неотрицательны. ${\displaystyle D_{KY}}$ представляет собой верхнюю границу для информационное измерение системы.^[6] Более того, сумма всех положительных показателей Ляпунова дает оценку Энтропия Колмогорова – Синая согласно теореме Песина.^[7]Наряду с широко используемыми численными методами оценки и вычисления Ляпуновское измерение существует эффективный аналитический подход, основанный на прямом методе Ляпунова со специальными функциями типа Ляпунова.^[8]Показатели Ляпунова ограниченной траектории и Ляпуновское измерение аттрактора инвариантны относительно диффеоморфизм фазового пространства.^[9]

В мультипликативный обратный наибольшего показателя Ляпунова в литературе иногда называют Ляпуновское время, и определяет характеристику евремя складывания. Для хаотических орбит время Ляпунова будет конечным, тогда как для обычных орбит оно будет бесконечным.

Численный расчет

Как правило, вычисление показателей Ляпунова, как определено выше, не может быть выполнено аналитически, и в большинстве случаев приходится прибегать к численным методам. Ранний пример, который также является первой демонстрацией экспоненциального расхождения хаотических траекторий, был проведен Р. Х. Миллер в 1964 г.^[10] В настоящее время наиболее часто используемая численная процедура оценивает ${\displaystyle L}$ матрица, основанная на усреднении нескольких аппроксимаций за конечное время предела, определяющего ${\displaystyle L}$.

Один из наиболее часто используемых и эффективных численных методов расчета спектра Ляпунова для гладкой динамической системы основан на использовании периодическихГрам – Шмидт ортонормализация Ляпуновские векторы чтобы избежать перекоса всех векторов в направлении максимального расширения.^{[11][12][13][14]}

Для расчета показателей Ляпунова по ограниченным экспериментальным данным были предложены различные методы. Однако существует много трудностей с применением этих методов, и к таким проблемам следует подходить осторожно. Основная трудность состоит в том, что данные не полностью исследуют фазовое пространство, скорее, они ограничены аттрактором, который имеет очень ограниченное (если вообще есть) распространение по определенным направлениям. Эти более тонкие или более единичные направления в наборе данных связаны с более отрицательными показателями. Было показано, что использование нелинейных отображений для моделирования эволюции малых смещений от аттрактора значительно улучшает возможность восстановления спектра Ляпунова,^[15][16] при условии, что данные имеют очень низкий уровень шума. Также изучалась особенность данных и их связь с более отрицательными показателями.^[17]

Местный показатель Ляпунова

В то время как (глобальный) показатель Ляпунова дает меру общей предсказуемости системы, иногда представляет интерес оценить локальную предсказуемость вокруг точки Икс₀ в фазовом пространстве. Это можно сделать через собственные значения из Якобиан матрица J ⁰(Икс₀). Эти собственные значения также называются локальными показателями Ляпунова.^[18] (Предупреждение: в отличие от глобальных показателей эти локальные показатели не инвариантны при нелинейном изменении координат).

Условный показатель Ляпунова

Этот термин обычно используется в отношении синхронизация хаоса, в котором есть две системы, которые связаны, обычно однонаправленно, так что есть система привода (или ведущая) и система ответа (или ведомая). Условные показатели - это показатели системы отклика с системой привода, рассматриваемой просто как источник (хаотического) сигнала возбуждения. Синхронизация происходит, когда все условные показатели отрицательны.^[19]

Смотрите также

• Хаотическое перемешивание для альтернативного вывода
• Гипотеза Идена о ляпуновском измерении
• Теория Флоке
• Теорема Лиувилля (гамильтониан)
• Ляпуновское измерение
• Ляпуновское время
• Количественный анализ повторяемости

использованная литература

1. Cencini, M .; и другие. (2010). Мировой научный (ред.). Хаос от простых моделей до сложных систем. ISBN  978-981-4277-65-5.
2. Темам, Р. (1988). Бесконечномерные динамические системы в механике и физике. Кембридж: Springer-Verlag.
3. Н.В. Кузнецов; Г.А. Леонова (2005). Об устойчивости по первому приближению дискретных систем (PDF). 2005 Международная конференция по физике и управлению, PhysCon 2005. Proceedings Volume 2005. pp. 596–599. Дои:10.1109 / PHYCON.2005.1514053. ISBN  978-0-7803-9235-9. S2CID  31746738.
4. Г.А. Леонов; Кузнецов Н.В. (2007). «Нестационарная линеаризация и эффекты Перрона» (PDF). Международный журнал бифуркаций и хаоса. 17 (4): 1079–1107. Bibcode:2007IJBC ... 17.1079L. CiteSeerX  10.1.1.660.43. Дои:10.1142 / S0218127407017732.
5. Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2020). Оценка размерности аттрактора для динамических систем: теория и вычисления. Чам: Спрингер.
6. Каплан Дж. И Йорк Дж. (1979). «Хаотическое поведение многомерных разностных уравнений». В Peitgen, H.O. & Walther, H.O. (ред.). Функционально-дифференциальные уравнения и приближение неподвижных точек.. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-3-540-09518-7.
7. Песин, Ю. Б. (1977). "Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория". Русская математика. Обзоры. 32 (4): 55–114. Bibcode:1977RuMaS..32 ... 55P. Дои:10.1070 / RM1977v032n04ABEH001639.
8. Кузнецов, Н.В. (2016). «Ляпуновская размерность и ее оценка методом Леонова». Письма о физике A. 380 (25–26): 2142–2149. arXiv:1602.05410. Bibcode:2016ФЛА..380.2142К. Дои:10.1016 / j.physleta.2016.04.036. S2CID  118467839.
9. Кузнецов, Н.В .; Алексеева, Т.А .; Леонов, Г.А. (2016). «Инвариантность показателей Ляпунова и размерность Ляпунова для регулярных и нерегулярных линеаризаций». Нелинейная динамика. 85 (1): 195–201. arXiv:1410.2016. Дои:10.1007 / s11071-016-2678-4. S2CID  119650438.
10. Миллер, Р. Х. (1964). «Необратимость в малых звездных динамических системах». Астрофизический журнал. 140: 250. Bibcode:1964ApJ ... 140..250M. Дои:10.1086/147911.
11. Benettin, G .; Galgani, L .; Giorgilli, A .; Стрельцин, Дж. М. (1980). «Характеристические показатели Ляпунова для гладких динамических систем и для гамильтоновых систем; метод их вычисления. Часть 1: Теория». Meccanica. 15: 9–20. Дои:10.1007 / BF02128236. S2CID  123085922.
12. Benettin, G .; Galgani, L .; Giorgilli, A .; Стрельцин, Дж. М. (1980). "Характеристические показатели Ляпунова для гладких динамических систем и для гамильтоновых систем; метод их вычисления. Часть 2: Численное приложение". Meccanica. 15: 21–30. Дои:10.1007 / BF02128237. S2CID  117095512.
13. Shimada, I .; Нагашима, Т. (1979). «Численный подход к эргодической задаче диссипативных динамических систем». Успехи теоретической физики. 61 (6): 1605–1616. Bibcode:1979PThPh..61.1605S. Дои:10.1143 / PTP.61.1605.
14. Eckmann, J. -P .; Рюэль, Д. (1985). «Эргодическая теория хаоса и странных аттракторов». Обзоры современной физики. 57 (3): 617–656. Bibcode:1985РвМП ... 57..617Е. Дои:10.1103 / RevModPhys.57.617. S2CID  18330392.
15. Bryant, P .; Brown, R .; Абарбанель, Х. (1990). «Показатели Ляпунова из наблюдаемых временных рядов». Письма с физическими проверками. 65 (13): 1523–1526. Bibcode:1990ПхРвЛ..65.1523Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.65.1523. PMID  10042292.
16. Brown, R .; Bryant, P .; Абарбанель, Х. (1991). «Вычисление спектра Ляпунова динамической системы из наблюдаемого временного ряда». Физический обзор A. 43 (6): 2787–2806. Bibcode:1991ПхРвА..43.2787Б. Дои:10.1103 / PhysRevA.43.2787. PMID  9905344.
17. Брайант, П. Х. (1993). «Размеры экстенсиональной особенности для странных аттракторов». Письма о физике A. 179 (3): 186–190. Bibcode:1993ФЛА..179..186Б. Дои:10.1016 / 0375-9601 (93) 91136-С.
18. Abarbanel, H.D.I .; Brown, R .; Питомник, M.B. (1992). «Локальные показатели Ляпунова, вычисленные по данным наблюдений». Журнал нелинейной науки. 2 (3): 343–365. Bibcode:1992JNS ..... 2..343A. Дои:10.1007 / BF01208929. S2CID  122542761.
19. См., Например, Pecora, L.M .; Carroll, T. L .; Johnson, G.A .; Mar, D.J .; Хиги, Дж. Ф. (1997). «Основы синхронизации в хаотических системах, концепциях и приложениях». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки. 7 (4): 520–543. Bibcode:1997 Хаос ... 7..520P. Дои:10.1063/1.166278. PMID  12779679.

дальнейшее чтение

• Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2020). Оценка размерности аттрактора для динамических систем: теория и вычисления. Чам: Спрингер.

• М.-Ф. Данка, Н.В. Кузнецов (2018). "Код Matlab для показателей Ляпунова систем дробного порядка". Международный журнал бифуркаций и хаоса. 25 (5): ст. число 1850067. Дои:10.1142 / S0218127418500670.

• Цвитанович П., Артузо Р., Майнери Р., Таннер Г. и Ваттай Г.Хаос: классический и квантовый Институт Нильса Бора, Копенгаген 2005 - учебник о хаосе доступен под Бесплатная лицензия на документацию
• Фредди Кристиансен и Ханс Хенрик Ру (1997). «Вычисление спектров Ляпунова с непрерывной ортонормировкой Грама – Шмидта». Нелинейность. 10 (5): 1063–1072. arXiv:chao-dyn / 9611014. Bibcode:1997 Нет .. 10.1063C. Дои:10.1088/0951-7715/10/5/004. S2CID  122976405. Архивировано из оригинал на 2006-04-25.

• Салман Хабиб и Роберт Д. Райн (1995). «Симплектическое вычисление показателей Ляпунова». Письма с физическими проверками. 74 (1): 70–73. arXiv:chao-dyn / 9406010. Bibcode:1995ФРвЛ..74 ... 70Н. Дои:10.1103 / PhysRevLett.74.70. PMID  10057701. S2CID  19203665.

• Говиндан Рангараджан; Салман Хабиб и Роберт Д. Райн (1998). «Показатели Ляпунова без изменения масштаба и реортогонализации». Письма с физическими проверками. 80 (17): 3747–3750. arXiv:chao-dyn / 9803017. Bibcode:1998ПхРвЛ..80.3747Р. Дои:10.1103 / PhysRevLett.80.3747. S2CID  14483592.

• X. Zeng; Р. Эйкхольт и Р. А. Пильке (1991). «Оценка спектра показателей Ляпунова по коротким временным рядам низкой точности». Письма с физическими проверками. 66 (25): 3229–3232. Bibcode:1991ПхРвЛ..66.3229З. Дои:10.1103 / PhysRevLett.66.3229. PMID  10043734.

• E Aurell; Дж. Боффетта; Crisanti; G Паладин; А Вульпиани (1997). «Предсказуемость в целом: расширение концепции показателя Ляпунова». J. Phys. A: Математика. Gen. 30 (1): 1–26. arXiv:chao-dyn / 9606014. Bibcode:1997JPhA ... 30 .... 1A. Дои:10.1088/0305-4470/30/1/003. S2CID  54697488.

• Ф. Джинелли; P Poggi; Турчи; H Chaté; Р Ливи; Политика (2007). «Характеристика динамики ковариантными векторами Ляпунова» (PDF). Письма с физическими проверками. 99 (13): 130601. arXiv:0706.0510. Bibcode:2007ПхРвЛ..99м0601Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.99.130601. HDL:2158/253565. PMID  17930570. S2CID  21992110. Архивировано из оригинал (PDF) 31 октября 2008 г.

Программного обеспечения

• [1] Р. Хеггер, Х. Канц и Т. Шрайбер, Нелинейный анализ временных рядов, TISEAN 3.0.1 (март 2007 г.).
• [2] Продукт Scientio ChaosKit вычисляет показатели Ляпунова среди других мер Хаоса. Доступ предоставляется онлайн через веб-службу и демонстрацию Silverlight.
• [3]^{[постоянная мертвая ссылка ]} Лаборатория программного обеспечения для математических воссозданий доктора Рональда Джо Рекорда включает графический клиент X11, lyap, для графического исследования показателей Ляпунова вынужденной логистической карты и других карт единичного интервала. В содержание и справочные страницы^{[постоянная мертвая ссылка ]} лаборатории программного обеспечения mathrec.
• [4] Программное обеспечение на этой странице было разработано специально для эффективного и точного расчета полного спектра показателей. Сюда входит LyapOde для случаев, когда уравнения движения известны, а также Lyap для случаев, связанных с данными экспериментальных временных рядов. LyapOde, который включает исходный код, написанный на "C", также может вычислять условные показатели Ляпунова для связанных идентичных систем. Он предназначен для того, чтобы позволить пользователю предоставить свой собственный набор уравнений модели или использовать одно из включенных. Нет никаких внутренних ограничений на количество переменных, параметров и т. Д. Lyap, который включает исходный код, написанный на Fortran, также может вычислять векторы направления Ляпунова и может характеризовать сингулярность аттрактора, что является основной причиной трудностей при вычислении более отрицательные показатели по данным временных рядов. В обоих случаях есть обширная документация и образцы входных файлов. Программное обеспечение может быть скомпилировано для работы в системах Windows, Mac или Linux / Unix. Программное обеспечение работает в текстовом окне и не имеет графических возможностей, но может генерировать выходные файлы, которые можно легко построить с помощью такой программы, как excel.

внешние ссылки

• Эффекты Перрона инверсии знака показателя Ляпунова