Гипотеза Каплана – Йорка - Kaplan–Yorke conjecture

В прикладной математике Гипотеза Каплана – Йорка касается измерение из аттрактор, с помощью Показатели Ляпунова.^[1][2] Расставив показатели Ляпунова по порядку от наибольшего к наименьшему ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \dots \geq \lambda _{n}}$, позволять j быть индексом, для которого

${\displaystyle \sum _{i=1}^{j}\lambda _{i}\geqslant 0}$

и

${\displaystyle \sum _{i=1}^{j+1}\lambda _{i}<0.}$

Тогда предполагается, что размерность аттрактора равна

${\displaystyle D=j+{\frac {\sum _{i=1}^{j}\lambda _{i}}{|\lambda _{j+1}|}}.}$

Эта идея используется для определения Ляпуновское измерение.^[3]

Примеры

Гипотеза Каплана – Йорка является полезным инструментом, особенно для хаотических систем, для оценки фрактальная размерность и Хаусдорфово измерение соответствующего аттрактора.^[4][3]

• В Карта Энона с параметрами а = 1,4 и б = 0,3 имеет упорядоченные показатели Ляпунова ${\displaystyle \lambda _{1}=0.603}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}=-2.34}$. В этом случае находим j = 1 и формула размерности сводится к

${\displaystyle D=j+{\frac {\lambda _{1}}{|\lambda _{2}|}}=1+{\frac {0.603}{|{-2.34}|}}=1.26.}$

• В Система Лоренца показывает хаотическое поведение при значениях параметров ${\displaystyle \sigma =16}$, ${\displaystyle \rho =45.92}$ и ${\displaystyle \beta =4.0}$. Результирующие показатели Ляпунова равны {2.16, 0.00, −32.4}. Отмечая, чтоj = 2, находим

${\displaystyle D=2+{\frac {2.16+0.00}{|-32.4|}}=2.07.}$

Рекомендации

1. Kaplan, J .; Йорк, Дж. (1979). «Хаотическое поведение многомерных разностных уравнений» (PDF). In Peitgen, H.O .; Вальтер, Х. О. (ред.). Функционально-дифференциальные уравнения и приближение неподвижных точек.. Конспект лекций по математике. 730. Берлин: Springer. п. 204–227. ISBN  978-0-387-09518-9.
2. Frederickson, P .; Kaplan, J .; Yorke, E .; Йорк, Дж. (1983). «Ляпуновское измерение странных аттракторов». J. Diff. Уравнения. 49 (2): 185–207. Bibcode:1983JDE .... 49..185F. Дои:10.1016/0022-0396(83)90011-6.
3. Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2020). Оценка размерности аттрактора для динамических систем: теория и вычисления. Чам: Спрингер.
4. Wolf, A .; Свифт, А .; Джек, B .; Swinney, H.L .; Вастано, Дж. А. (1985). "Определение показателей Ляпунова из временного ряда". Physica D. 16 (3): 285–317. Bibcode:1985PhyD ... 16..285Вт. CiteSeerX  10.1.1.152.3162. Дои:10.1016/0167-2789(85)90011-9.