Вектор Ляпунова - Lyapunov vector

В прикладной математике и динамическая система теория Ляпуновские векторы, названный в честь Александр Ляпунов, описывают характерные направления расширения и сжатия динамической системы. Они использовались при анализе предсказуемости и в качестве начальных возмущений для ансамблевое прогнозирование в численный прогноз погоды.^[1] В современной практике их часто заменяют на выведенные векторы для этого.^[2]

Математическое описание

Изображение асимметричного роста возмущений по эволюционирующей траектории.

Векторы Ляпунова определены вдоль траекторий динамической системы. Если систему можно описать d-мерным вектором состояния ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$ векторы Ляпунова ${\displaystyle v^{(k)}(x)}$, ${\displaystyle (k=1\dots d)}$ точки в направлениях, в которых бесконечно малое возмущение будет расти асимптотически, экспоненциально со средней скоростью, определяемой Показатели Ляпунова ${\displaystyle \lambda _{k}}$.

• При расширении по векторам Ляпунова возмущение асимптотически выравнивается с вектором Ляпунова в этом разложении, соответствующем наибольшему показателю Ляпунова, поскольку это направление перерастает все остальные. Следовательно, почти все возмущения асимптотически совпадают с вектором Ляпунова, соответствующим наибольшему показателю Ляпунова в системе.^[3]
• В некоторых случаях векторы Ляпунова могут не существовать.^[4]
• Векторы Ляпунова не обязательно ортогональны.
• Векторы Ляпунова не совпадают с локальными главными направлениями расширения и сжатия, т.е.собственными векторами Якобиан. В то время как последние требуют только местного знания системы, векторы Ляпунова находятся под влиянием всех якобианов вдоль траектории.
• Векторы Ляпунова для периодической орбиты - это Векторы Флоке этой орбиты.

Численный метод

Если динамическая система дифференцируема и векторы Ляпунова существуют, их можно найти путем прямых и обратных итераций линеаризованной системы вдоль траектории.^[5][6] Позволять ${\displaystyle x_{n+1}=M_{t_{n}\to t_{n+1}}(x_{n})}$ сопоставить систему с вектором состояния ${\displaystyle x_{n}}$ вовремя ${\displaystyle t_{n}}$ государству ${\displaystyle x_{n+1}}$ вовремя ${\displaystyle t_{n+1}}$. Линеаризация этого отображения, т.е. матрица Якоби ${\displaystyle ~J_{n}}$ описывает изменение бесконечно малого возмущения ${\displaystyle h_{n}}$. То есть

${\displaystyle M_{t_{n}\to t_{n+1}}(x_{n}+h_{n})\approx M_{t_{n}\to t_{n+1}}(x_{n})+J_{n}h_{n}=x_{n+1}+h_{n+1}}$

Начиная с единичной матрицы ${\displaystyle Q_{0}=\mathbb {I} ~}$ итерации

${\displaystyle Q_{n+1}R_{n+1}=J_{n}Q_{n}}$

куда ${\displaystyle Q_{n+1}R_{n+1}}$ дается QR-разложение Грама-Шмидта из ${\displaystyle J_{n}Q_{n}}$, будет асимптотически сходиться к матрицам, зависящим только от точек ${\displaystyle x_{n}}$ траектории, но не при первоначальном выборе ${\displaystyle Q_{0}}$. Строки ортогональных матриц ${\displaystyle Q_{n}}$ определить локальный ортогональный опорный кадр в каждой точке и в первом ${\displaystyle k}$ строки охватывают то же пространство, что и векторы Ляпунова, соответствующие ${\displaystyle k}$ крупнейшие показатели Ляпунова. Верхнетреугольные матрицы ${\displaystyle R_{n}}$ описывают изменение бесконечно малого возмущения от одной локальной ортогональной системы отсчета к другой. Диагональные записи ${\displaystyle r_{kk}^{(n)}}$ из ${\displaystyle R_{n}}$ - локальные факторы роста в направлениях векторов Ляпунова. Показатели Ляпунова даются средними темпами роста

${\displaystyle \lambda _{k}=\lim _{m\to \infty }{\frac {1}{t_{n+m}-t_{n}}}\sum _{l=1}^{m}\log r_{kk}^{(n+l)}}$

и в силу растяжения, поворота и ортогонализации по Граму-Шмидту показатели Ляпунова упорядочены как ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \dots \geq \lambda _{d}}$. При повторении вперед во времени случайный вектор, содержащийся в пространстве, охватываемом первым ${\displaystyle k}$ столбцы ${\displaystyle Q_{n}}$ почти наверняка будет асимптотически расти с наибольшим показателем Ляпунова и выровняться с соответствующим вектором Ляпунова. В частности, первый столбец ${\displaystyle Q_{n}}$ будет указывать в направлении вектора Ляпунова с наибольшим показателем Ляпунова, если ${\displaystyle n}$ достаточно большой. При повторении назад во времени случайный вектор, содержащийся в пространстве, охватываемом первым ${\displaystyle k}$ столбцы ${\displaystyle Q_{n+m}}$ почти наверняка асимптотически выровняется с вектором Ляпунова, соответствующим ${\displaystyle k}$-й наибольший показатель Ляпунова, если ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$ достаточно большие. Определение ${\displaystyle c_{n}=Q_{n}^{T}h_{n}}$ мы нашли ${\displaystyle c_{n-1}=R_{n}^{-1}c_{n}}$. Выбор первого ${\displaystyle k}$ записи ${\displaystyle c_{n+m}}$ случайным образом, а остальные элементы равны нулю, и повторяя этот вектор назад во времени, вектор ${\displaystyle Q_{n}c_{n}}$ почти точно совпадает с вектором Ляпунова ${\displaystyle v^{(k)}(x_{n})}$ соответствующий ${\displaystyle k}$-й наибольший показатель Ляпунова, если ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ достаточно большие. Так как итерации будут экспоненциально увеличивать или уменьшать вектор, его можно повторно нормализовать в любой точке итерации без изменения направления.

Рекомендации

1. Калнай, Э. (2007). Атмосферное моделирование, ассимиляция данных и предсказуемость. Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
2. Kalnay, E .; Corazza, M .; Цай, М. (2002). "Разводимые векторы - это то же самое, что и векторы Ляпунова?". EGS XXVII Генеральная Ассамблея. Архивировано из оригинал на 2010-06-05.
3. Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах (Второе изд.). Издательство Кембриджского университета.
4. Ott, W .; Йорк, Дж. А. (2008). «Когда не существует показателей Ляпунова». Phys. Ред. E. 78 (5): 056203. Bibcode:2008PhRvE..78e6203O. Дои:10.1103 / PhysRevE.78.056203. PMID  19113196.
5. Ginelli, F .; Poggi, P .; Turchi, A .; Chaté, H .; Livi, R .; Полити, А. (2007). «Характеризация динамики ковариантными векторами Ляпунова». Phys. Rev. Lett. 99 (13): 130601. arXiv:0706.0510. Bibcode:2007ПхРвЛ..99м0601Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.99.130601. PMID  17930570.
6. Купцов, Павел В .; Парлитц, Ульрих (2012). «Теория и вычисление ковариантных векторов Ляпунова». Журнал нелинейной науки. 22 (5): 727–762. arXiv:1105.5228. Bibcode:2012JNS .... 22..727K. Дои:10.1007 / s00332-012-9126-5.