Карта палатки - Tent map

График функции карты палатки

Пример итерации начального условия x₀= 0,4 по карте палатки с μ = 1,9.

В математика, то карта палатки с параметром μ - вещественная функция f_μ определяется

${\displaystyle f_{\mu }:=\mu \min\{x,\,1-x\},}$

название из-за палатка -подобная форма график выключенный_μ. Для значений параметра μ в пределах 0 и 2 f_μ карты то единичный интервал [0, 1] в себя, таким образом определяя дискретное время динамическая система на нем (эквивалентно отношение повторения ). Особенно, повторение точка x₀ в [0, 1] порождает последовательность ${\displaystyle x_{n}}$ :

${\displaystyle x_{n+1}=f_{\mu }(x_{n})={\begin{cases}\mu x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}<{\frac {1}{2}}\\\\\mu (1-x_{n})&\mathrm {for} ~~{\frac {1}{2}}\leq x_{n}\end{cases}}}$

где μ - положительная вещественная постоянная. Выбирая, например, параметр μ = 2, влияние функции f_μ можно рассматривать как результат операции сворачивания единичного интервала пополам с последующим растяжением результирующего интервала [0,1 / 2], чтобы снова получить интервал [0,1]. Повторяя процедуру, любая точка x₀ интервала занимает новые последующие позиции, как описано выше, генерируя последовательность x_п в [0,1].

В ${\displaystyle \mu =2}$ случай карты палатки является нелинейным преобразованием как битовая карта сдвига и р= 4 случай логистическая карта.

Поведение

Орбиты карты палатки единичной высоты

Бифуркационная диаграмма для карты палатки. Более высокая плотность указывает на повышенную вероятность того, что переменная x получит это значение для данного значения параметра μ.

Карта палатки с параметром μ = 2 и логистическая карта с параметром r = 4 являются топологически сопряженный,^[1] и, таким образом, поведение двух карт в этом смысле идентично при повторении.

В зависимости от значения μ карта палатки демонстрирует диапазон динамического поведения от предсказуемого до хаотического.

• Если μ меньше 1, точка Икс = 0 является привлекательный фиксированная точка системы для всех начальных значений Икс т.е. система будет сходиться к Икс = 0 от любого начального значения Икс.
• Если μ равно 1, все значения Икс меньше или равно 1/2 - фиксированные точки системы.
• Если μ больше 1, система имеет две неподвижные точки: одна в 0, а другая в μ / (μ + 1). Обе фиксированные точки нестабильны, т.е. значение Икс рядом с любой фиксированной точкой будет двигаться от нее, а не к ней. Например, когда μ равно 1,5, имеется фиксированная точка в Икс = 0,6 (поскольку 1,5 (1 - 0,6) = 0,6), но начиная с Икс = 0,61 получаем

${\displaystyle 0.61\to 0.585\to 0.6225\to 0.56625\to 0.650625\ldots }$

• Если μ находится между 1 и квадратный корень из 2 система отображает набор интервалов между μ - μ²/ 2 и μ / 2 себе. Этот набор интервалов является Юля набор карты, то есть это наименьшее инвариантное подмножество реальной прямой под этой картой. Если μ больше квадратного корня из 2, эти интервалы сливаются, и множество Жюлиа представляет собой весь интервал от μ - μ²/ 2 до μ / 2 (см. Бифуркационную диаграмму).
• Если μ находится между 1 и 2, интервал [μ - μ²/ 2, μ / 2] содержит как периодические, так и непериодические точки, хотя все орбиты нестабильны (т.е. близлежащие точки удаляются от орбит, а не к ним). Орбиты большей длины появляются при увеличении μ. Например:

${\displaystyle {\frac {\mu }{\mu ^{2}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{2}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{2}+1}}{\mbox{ appears at }}\mu =1}$

${\displaystyle {\frac {\mu }{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu ^{3}}{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{3}+1}}{\mbox{ appears at }}\mu ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {\mu }{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{3}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{4}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{4}+1}}{\mbox{ appears at }}\mu \approx 1.8393}$

• Если μ равно 2, система отображает интервал [0,1] на себя. Теперь есть периодические точки с любой длиной орбиты в пределах этого интервала, а также непериодические точки. Периодические точки плотный в [0,1], поэтому карта стала хаотичный. На самом деле динамика будет непериодической тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x_{0}}$ иррационально. Это можно увидеть, отметив, что делает карта, когда ${\displaystyle x_{n}}$ выражается в двоичной системе счисления: сдвигает двоичную точку на одну позицию вправо; затем, если то, что появляется слева от двоичной точки, является «единицей», она заменяет все единицы на нули и наоборот (за исключением последнего бита «единицы» в случае конечного двоичного расширения); начиная с иррационального числа, этот процесс продолжается бесконечно, не повторяясь. Инвариантная мера для Икс - равномерная плотность на единичном интервале.^[2] В автокорреляционная функция для достаточно длинной последовательности {${\displaystyle x_{n}}$} покажет нулевую автокорреляцию при всех ненулевых задержках.^[3] Таким образом ${\displaystyle {x_{n}}}$ нельзя отличить от белый шум с помощью автокорреляционной функции. Отметим, что в случае r = 4 логистическая карта и ${\displaystyle \mu =2}$ случай палатки карты гомеоморфный друг к другу: обозначая логистически развивающуюся переменную как ${\displaystyle y_{n}}$, гомеоморфизм равен

${\displaystyle x_{n}={\tfrac {2}{\pi }}\sin ^{-1}(y_{n}^{1/2}).}$

• Если μ больше 2, множество Джулии карты отключается и распадается на Кантор набор в интервале [0,1]. Множество Жюлиа по-прежнему содержит бесконечное количество как непериодических, так и периодических точек (включая орбиты для любой длины орбиты), но почти каждый точка в пределах [0,1] теперь в конечном итоге будет расходиться в сторону бесконечности. Канонический Кантор набор (полученный путем последовательного удаления средних третей из подмножеств единичной линии) - это множество Жюлиа карты палатки для μ = 3.

Числовые ошибки

Временной ряд карты Tent для параметра m = 2.0, который показывает числовую ошибку: «график временного ряда (график переменной x по отношению к количеству итераций) перестает колебаться, и значения не наблюдаются после n = 50». Параметр m = 2,0, начальная точка случайна.

Увеличение диаграммы орбиты

Увеличение возле наконечника показывает больше деталей.

• Более пристальный взгляд на диаграмму орбиты показывает, что есть 4 разделенных области при μ ≈ 1. Для дальнейшего увеличения 2 контрольные линии (красные) проведены от наконечника до подходящего x при определенном μ (например, 1,10), как показано.

Дальнейшее увеличение показывает 8 отдельных областей.

• Если расстояние измеряется от соответствующих опорных линий, в верхней и нижней части карты отображаются дополнительные детали. (всего 8 разделенных областей при некотором μ)

Карта асимметричной палатки

Карта асимметричной палатки - это, по сути, искаженная, но все же кусочно-линейная версия ${\displaystyle \mu =2}$ корпус палатки карта. Это определяется

${\displaystyle v_{n+1}={\begin{cases}v_{n}/a&\mathrm {for} ~~v_{n}\in [0,a]\\\\(1-v_{n})/(1-a)&\mathrm {for} ~~v_{n}\in [a,1]\end{cases}}}$

для параметра ${\displaystyle a\in [0,1]}$. В ${\displaystyle \mu =2}$ случай палатки карта настоящий случай ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$. Последовательность {${\displaystyle v_{n}}$} будет иметь такую ​​же функцию автокорреляции ^[3] как и данные первого порядка авторегрессионный процесс ${\displaystyle w_{n+1}=(2a-1)w_{n}+u_{n+1}}$ с {${\displaystyle u_{n}}$} независимо и одинаково распределены. Таким образом, данные с карты асимметричной палатки нельзя отличить с помощью функции автокорреляции от данных, созданных процессом авторегрессии первого порядка.

Смотрите также

• Сдвиг пробела
• Код Грея

Рекомендации

1. Сопряжение палатки и логистических карт, Джеффри Раух, Университет Мичигана
2. Коллетт, Пьер и Экманн, Жан-Пьер, Итерированные карты на интервале как динамические системы, Бостон: Birkhauser, 1980.
3. Брок, В. А., «Различение случайных и детерминированных систем: сокращенная версия», Журнал экономической теории 40, октябрь 1986 г., 168–195.

внешняя ссылка

• ChaosBook.org