Юля набор - Julia set

Набор Джулии

Воспроизвести медиа

Трехмерные срезы (четырехмерного) множества Джулиа функции на кватернионы

В контексте сложная динамика, тема математика, то Юля набор и Набор Fatou два дополнительные наборы (Джулия «шнурки» и Фату «пыль») определяется из функция. Неформально набор Фату функции состоит из значений со свойством, что все соседние значения ведут себя одинаково под повторная итерация функции, а множество Жюлиа состоит из таких значений, что сколь угодно малое возмущение может вызвать радикальные изменения в последовательности повторяемых значений функции. Таким образом, поведение функции на множестве Фату является "обычным", тогда как на множестве Джулиа ее поведение "хаотичный ".

Множество Джулии функции ж обычно обозначается J(ж), а множество Фату обозначено F(ж).^[1] Эти наборы названы в честь французских математиков. Гастон Джулия^[2] и Пьер Фату^[3] чья работа положила начало изучению сложная динамика в начале 20 века.

Формальное определение

Позволять ж(z) быть непостоянным голоморфная функция от Сфера Римана на себя. Такой ж(z) являются в точности непостоянным комплексом рациональные функции, то есть, ${\displaystyle f(z)=p(z)/q(z)}$, куда п(z) и q(z) находятся комплексные полиномы. Предположить, что п и q не имеют общих корней и хотя бы один имеет степень больше 1. Тогда существует конечное число открытые наборы F₁, ..., F_р, которые остаются инвариантными ж(z) и таковы, что:

1. объединение множеств F_я плотно на плоскости и
2. ж(z) ведет себя равномерно и одинаково на каждом из множеств F_я.

Последнее утверждение означает, что концы последовательностей итераций, порожденные точками F_я являются либо в точности одним и тем же множеством, которое в таком случае является конечным циклом, либо они являются конечными циклами круговых или кольцевых множеств, расположенных концентрически. В первом случае цикл привлечение, во втором - нейтральный.

Эти наборы F_я являются Фату домены из ж(z), а их объединение - множество Фату F(ж) из ж(z). Каждый из доменов Фату содержит по крайней мере один критическая точка из ж(z), то есть (конечная) точка z удовлетворение ${\displaystyle f'(z)=0}$, или же ${\displaystyle f(z)=\infty }$, если степень числителя п(z) как минимум на два больше степени знаменателя q(z), или если ${\displaystyle f(z)=1/g(z)+c}$ для некоторых c и рациональная функция грамм(z), удовлетворяющий этому условию.

Дополнение F(ж) - множество Жюлиа J(ж) из ж(z). Если все критические точки предпериодические, то есть они не периодические, но в конечном итоге попадают в периодический цикл, то J(ж) - это вся сфера; иначе, J(ж) нигде не плотное множество (без внутренних точек) и бесчисленный набор (того же мощность как действительные числа). Нравиться F(ж), J(ж) остается инвариантным по ж(z), и на этом наборе итерация является отталкивающей, что означает, что ${\displaystyle |f(z)-f(w)|>|z-w|}$ для всех ш в районе z (в J(ж)). Это означает, что ж(z) ведет себя хаотично на множестве Жюлиа. Хотя в множестве Жюлиа есть точки, последовательность итераций которых конечна, есть только счетный количество таких точек (а они составляют бесконечно малую часть множества Жюлиа). Последовательности, генерируемые точками вне этого набора, ведут себя хаотично, явление, называемое детерминированный хаос.

Было проведено обширное исследование множеств Фату и Джулии. рациональные функции, известные как рациональные карты. Например, известно, что множество Фату рационального отображения имеет либо 0, 1, 2, либо бесконечно много составные части.^[4] Каждый компонент множества Фату рациональной карты может быть отнесен к одному из четыре разных класса.^[5]

Эквивалентные описания множества Джулии

• J(ж) - наименьшее замкнутое множество, содержащее не менее трех точек, полностью инвариантное относительно ж.
• J(ж) это закрытие набора отталкивающих периодические точки.
• Для всех, кроме двух баллов z ∈ Икс, множество Жюлиа - это множество предельных точек полной обратной орбиты ${\displaystyle \bigcup _{n}f^{-n}(z)}$. (Это предлагает простой алгоритм построения множеств Жюлиа, см. Ниже.)
• Если ж является вся функция, тогда J(ж) это граница множества точек, сходящихся к бесконечности при итерации.
• Если ж - многочлен, то J(ж) - граница заполненный Юля набор; то есть те точки, орбиты которых при итерациях ж остаются ограниченными.

Свойства множества Жюлиа и множества Фату

Набор Джулия и набор Фату ж оба полностью инвариантный при итерациях голоморфной функции ж:^[6]

${\displaystyle f^{-1}(J(f))=f(J(f))=J(f),}$

${\displaystyle f^{-1}(F(f))=f(F(f))=F(f).}$

Примеры

За ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ множество Жюлиа - это единичный круг, и на нем итерация задается удвоением углов (операция, которая хаотична в точках, аргумент которых не является рациональной долей ${\displaystyle 2\pi }$). Есть две области Фату: внутренняя и внешняя части круга с итерацией к 0 и ∞ соответственно.

За ${\displaystyle g(z)=z^{2}-2}$ множество Джулии - это отрезок прямой между −2 и 2. Есть один Домен Фату: точки не на отрезке линии повторяются в направлении ∞. (Помимо сдвига и масштабирования области, эта итерация эквивалентна ${\displaystyle x\to 4(x-{\tfrac {1}{2}})^{2}}$ на единичном интервале, который обычно используется как пример хаотической системы.)

Функции f и g имеют вид ${\displaystyle z^{2}+c}$, куда c - комплексное число. Для такой итерации множество Жюлиа, как правило, не простая кривая, а фрактал, и для некоторых значений c он может принимать удивительные формы. Смотрите картинки ниже.

Набор Джулии (в белом) для рациональной функции, связанной с Метод Ньютона за ж : z→z³−1. Раскраска Фату устанавливается по аттрактору (корни ж)

Для некоторых функций ж(z) можно заранее сказать, что множество Жюлиа является фракталом, а не простой кривой. Это связано со следующим результатом на итерациях рациональной функции:

Теорема. Каждая из областей Фату имеет одну и ту же границу, которая, следовательно, является множеством Жюлиа.

Это означает, что каждая точка множества Джулиа является точкой накопления для каждого из доменов Фату. Следовательно, если существует более двух доменов Фату, каждый точка множества Жюлиа должна иметь точки более чем двух различных открытых множеств, бесконечно близких, и это означает, что множество Жюлиа не может быть простой кривой. Это явление происходит, например, когда ж(z) это Итерация Ньютона для решения уравнения ${\displaystyle P(z):=z^{n}-1=0,n>2}$:

${\displaystyle f(z)=z-{\frac {P(z)}{P'(z)}}={\frac {1+(n-1)z^{n}}{nz^{n-1}}}\,.}$

На изображении справа показан корпус п = 3.

Квадратичные многочлены

Юля устанавливает для ${\displaystyle z^{2}+0.7885\,e^{ia}}$, куда а колеблется от 0 до ${\displaystyle 2\pi }$

Воспроизвести медиа

Видео наборов Джулии, как указано выше

Очень популярная сложная динамическая система представлена ​​семейством комплексные квадратичные многочлены, частный случай рациональные карты. Такие квадратичные многочлены могут быть выражены как

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c,}$

куда c - сложный параметр. Исправить некоторые ${\displaystyle R>0}$ достаточно большой, чтобы ${\displaystyle R^{2}-R\geq |c|}$. (Например, если ${\displaystyle c}$ принадлежит множеству Мандельброта, то ${\displaystyle |c|\leq 2}$, поэтому мы можем просто позволить ${\displaystyle R=2}$.) Тогда заполненное множество Жюлиа для этой системы является подмножеством комплексной плоскости, заданной формулой

${\displaystyle K(f_{c})=\left\{z\in \mathbb {C} :\forall n\in \mathbb {N} ,|f_{c}^{n}(z)|\leq R\right\},}$

куда ${\displaystyle f_{c}^{n}(z)}$ это пth повторять из ${\displaystyle f_{c}(z)}$. Набор Юлии ${\displaystyle J(f_{c})}$ этой функции является границей ${\displaystyle K(f_{c})}$.

• 

  Заполненный набор Юля для ж_c, c = 1 - φ, где φ - Золотое сечение

• 

  Юля настроена на ж_c, c = (φ - 2) + (φ - 1)я = −0.4 + 0.6я

• 

  Юля настроена на ж_c, c = 0.285 + 0я

• 

  Юля настроена на ж_c, c = 0.285 + 0.01я

• 

  Юля настроена на ж_c, c = 0.45 + 0.1428я

• 

  Юля настроена на ж_c, c = −0.70176 − 0.3842я

• 

  Юля настроена на ж_c, c = −0.835 − 0.2321я

• 

  Юля настроена на ж_c, c = −0.8 + 0.156я

• 

  Юля настроена на ж_c, c = −0.7269 + 0.1889я

• 

  Юля настроена на ж_c, c = −0.8я

Коллекция наборов Julia размещена в сетке 100 × 100 таким образом, что центр каждого изображения соответствует той же позиции в комплексной плоскости, что и значение набора. В таком виде общий образ напоминает множество Мандельброта.

Плоскость параметров квадратичных многочленов, т. Е. Плоскость возможных c ценности - рождает знаменитые Набор Мандельброта. Действительно, множество Мандельброта определяется как множество всех c такой, что ${\displaystyle J(f_{c})}$ является связаны. Для параметров вне множества Мандельброта множество Жюлиа является Канторовское пространство: в этом случае его иногда называют Fatou пыль.

Во многих случаях набор Джулии c выглядит как множество Мандельброта в достаточно малых окрестностях c. Это верно, в частности, для так называемых Параметры Мисюревича, т.е. параметры c для которого критическая точка предпериодична. Например:

• В c = якомплект Julia, более короткий передний носок передней части стопы, выглядит как разветвленная молния.
• В c = −2, кончик длинного остроконечного хвоста, множество Жюлиа представляет собой отрезок прямой.

Другими словами, множества Джулии ${\displaystyle J(f_{c})}$ локально похожи на Очки Мисюревича.^[7]

Обобщения

Определение множеств Жюлиа и Фату легко переносится на случай некоторых карт, образ которых содержит их область определения; в первую очередь трансцендентные мероморфные функции и Адама Эпштейна отображения конечного типа.

Множества Жюлиа также обычно определяются при изучении динамики нескольких комплексных переменных.

Псевдокод

Приведенные ниже реализации псевдокода жестко кодируют функции для каждого фрактала. Рассмотрите возможность реализации комплексное число операций, чтобы обеспечить более динамичный и повторно используемый код.

Псевдокод для нормальных множеств Жюлиа

${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$

р = побег радиус  # выбираем R> 0 так, чтобы R ** 2 - R> = sqrt (cx ** 2 + cy ** 2)за каждый пиксель (Икс, у) на то экран, делать:   {    zx = масштабированный Икс координировать из пиксель # (шкала между -R и R)       # zx представляет собой действительную часть z.    зы = масштабированный у координировать из пиксель # (шкала между -R и R)       # zy представляет собой мнимую часть z.    итерация = 0    max_iteration = 1000      пока (zx * zx + зы * зы < р**2  И  итерация < max_iteration)     {        xtemp = zx * zx - зы * зы        зы = 2 * zx * зы  + Сай         zx = xtemp + сх            итерация = итерация + 1     }      если (итерация == max_iteration)        возвращаться чернить;    еще        возвращаться итерация;}

Псевдокод для множеств Джулиа

${\displaystyle f(z)=z^{n}+c}$

р = побег радиус # выбираем R> 0 так, чтобы R ** n - R> = sqrt (cx ** 2 + cy ** 2)за каждый пиксель (Икс, у) на то экран, делать:{    zx = масштабированный Икс координировать из пиксель # (шкала между -R и R)    зы = масштабированный у координировать из пиксель # (шкала между -R и R)      итерация = 0    max_iteration = 1000      пока (zx * zx + зы * зы < р**2  И  итерация < max_iteration)     {        xtmp = (zx * zx + зы * зы) ^ (п / 2) * потому что(п * atan2(зы, zx)) + сх;	    зы = (zx * zx + зы * зы) ^ (п / 2) * грех(п * atan2(зы, zx)) + Сай;	    zx = xtmp;            итерация = итерация + 1    }     если (итерация == max_iteration)        возвращаться чернить;    еще        возвращаться итерация;}

Потенциальная функция и реальный номер итерации

Набор Джулии для ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ - единичная окружность, а на внешней области Фату потенциальная функция φ (z) определяется формулой φ (z) = журнал |z|, Эквипотенциальные линии для этой функции представляют собой концентрические окружности. В качестве ${\displaystyle |f(z)|=|z|^{2}}$ у нас есть

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}},}$

куда ${\displaystyle z_{k}}$ - последовательность итераций, порожденная z. Для более общей итерации ${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$, было доказано, что если множество Жюлиа связно (т. е. если c принадлежит (обычному) множеству Мандельброта), то существует биголоморфный отображение ψ между внешней областью Фату и внешней частью единичной окружности такое, что ${\displaystyle |\psi (f(z))|=|\psi (z)|^{2}}$.^[8] Это означает, что потенциальная функция на внешней области Фату, определяемая этим соответствием, задается следующим образом:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}}.}$

Эта формула имеет смысл и в том случае, если множество Жюлиа не связно, так что мы для всех c можно определить потенциальную функцию в области Фату, содержащей ∞, по этой формуле. Для общей рациональной функции ж(z) такая, что ∞ - критическая точка и неподвижная точка, т. е. такая, что степень м числителя как минимум на два больше степени п знаменателя, определим потенциальная функция в области Фату, содержащей ∞:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}},}$

куда d = м − п - степень рациональной функции.^[9]

Если N очень большое число (например, 10¹⁰⁰), и если k - это номер первой итерации, такой что ${\displaystyle |z_{k}|>N}$у нас есть это

${\displaystyle {\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}}={\frac {\log(N)}{d^{\nu (z)}}},}$

для какого-то реального числа ${\displaystyle \nu (z)}$, который следует рассматривать как реальный номер итерации, и у нас есть это:

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}|/\log(N))}{\log(d)}},}$

где последнее число находится в интервале [0, 1).

Для итерации в направлении конечного цикла притяжения порядка р, мы имеем это, если z * точка цикла, то ${\displaystyle f(f(...f(z^{*})))=z^{*}}$ (в р-складная композиция), а число

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\left|(d(f(f(\cdots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}\right|}}\qquad (>1)}$

это Привлечение цикла. Если ш это точка очень близко z * и w ' является ш повторяется р раз у нас есть это

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {|w-z^{*}|}{|w'-z^{*}|}}.}$

Поэтому число ${\displaystyle |z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k}}$ почти не зависит от k. Определим потенциальную функцию в области Фату следующим образом:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{(|z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k})}}.}$

Если ε - очень малое число и k - это номер первой итерации, такой что ${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$у нас есть это

${\displaystyle \varphi (z)={\frac {1}{(\varepsilon \alpha ^{\nu (z)})}}}$

для какого-то реального числа ${\displaystyle \nu (z)}$, который следует рассматривать как реальный номер итерации, и мы имеем:

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\varepsilon /|z_{k}-z^{*}|)}{\log(\alpha )}}.}$

Если притяжение равно ∞, это означает, что цикл равен сверхпривлекательный, что снова означает, что одна из точек цикла является критической, мы должны заменить α на

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |w'-z^{*}|}{\log |w-z^{*}|}},}$

куда w ' является ш повторяется р раз и формулу для φ (z) к:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log(1/|z_{kr}-z^{*}|)}{\alpha ^{k}}}.}$

А теперь реальный номер итерации равен:

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}-z^{*}|/\log(\varepsilon ))}{\log(\alpha )}}.}$

Для раскраски у нас должна быть циклическая шкала цветов (построенная математически, например) и содержащая ЧАС цвета пронумерованы от 0 до ЧАС−1 (ЧАС = 500, например). Умножаем действительное число ${\displaystyle \nu (z)}$ на фиксированное действительное число, определяющее плотность цветов на картинке, и возьмем целую часть этого числа по модулю ЧАС.

Определение потенциальной функции и наш способ раскраски предполагают, что цикл является притягивающим, то есть не нейтральным. Если цикл нейтральный, мы не можем раскрасить домен Фату естественным образом. Поскольку конечной точкой итерации является вращающееся движение, мы можем, например, раскрасить на минимальное расстояние от цикла, оставшееся фиксированным на итерации.

Полевые линии

Эквипотенциальные линии для итерации к бесконечности

Строки поля для итерации формы ${\displaystyle {\frac {(1-z^{3}/6)}{(z-z^{2}/2)^{2}}}+c}$

В каждой области Фату (которая не является нейтральной) есть две системы линий, ортогональных друг другу: эквипотенциальные линии (для потенциальной функции или реального номера итерации) и полевые линии.

Если мы раскрасим область Фату в соответствии с номером итерации (и нет реальный номер итерации ${\displaystyle \nu (z)}$, как определено в предыдущем разделе) полосы итераций показывают курс эквипотенциальных линий. Если итерация стремится к ∞ (как в случае с внешней областью Фату для обычной итерации ${\displaystyle z^{2}+c}$), мы можем легко показать ход линий поля, а именно, изменив цвет в зависимости от того, находится ли последняя точка в последовательности итераций выше или ниже Икс-ось (первое изображение), но в этом случае (точнее: когда область Фату является суперпритягивающей) мы не можем провести линии поля когерентно - по крайней мере, не с помощью метода, который мы здесь описываем. В этом случае полевая линия также называется внешний луч.

Позволять z быть точкой в ​​области притяжения Фату. Если мы повторяем z большое количество раз окончанием последовательности итераций является конечный цикл C, а область Фату (по определению) - это множество точек, последовательность итераций которых сходится к C. Линии поля выходят из точек C и из (бесконечного числа) точек, которые повторяют в точка C. И они заканчиваются на множестве Жюлиа точками, которые не хаотичны (т. Е. Образуют конечный цикл). Позволять р быть порядком цикла C (количество баллов) и пусть z * быть точкой в C. У нас есть ${\displaystyle f(f(\dots f(z^{*})))=z^{*}}$ (r-кратная композиция), и определим комплексное число α как

${\displaystyle \alpha =(d(f(f(\dots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}.}$

Если точки C находятся ${\displaystyle z_{i},i=1,\dots ,r(z_{1}=z^{*})}$, α - произведение р числа ${\displaystyle f'(z_{i})}$. Действительное число 1 / | α | это Привлечение цикла и наше предположение, что цикл не является ни нейтральным, ни сверхпритягивающим, означает, что 1 <1 / | α | <∞. Смысл z * фиксированная точка для ${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$, и около этой точки карта ${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$ имеет (в связи с силовыми линиями) характер вращения с аргументом β элемента α (т. е. ${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{\beta i}}$).

Чтобы раскрасить область Фату, мы выбрали небольшое число ε и задали последовательности итераций ${\displaystyle z_{k}(k=0,1,2,\dots ,z_{0}=z)}$ остановиться, когда ${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$, и мы раскрашиваем точку z по номеру k (или реальный номер итерации, если мы предпочитаем плавную раскраску). Если мы выберем направление от z * заданная углом θ, силовая линия, выходящая из z * в этом направлении состоит из точек z такой, что аргумент ψ числа ${\displaystyle z_{k}-z^{*}}$ удовлетворяет условию, что

${\displaystyle \psi -k\beta =\theta \mod \pi .\,}$

Поскольку, если мы передаем полосу итераций в направлении силовых линий (и от цикла), номер итерации k увеличивается на 1, а число ψ увеличивается на β, поэтому число ${\displaystyle \psi -k\beta \mod \pi }$ постоянно вдоль силовой линии.

Картинки в строках поля для итерации формы ${\displaystyle z^{2}+c}$

Раскраска линий поля области Фату означает, что мы раскрашиваем промежутки между парами линий поля: мы выбираем ряд правильно расположенных направлений, исходящих из z *, и в каждом из этих направлений мы выбираем два направления вокруг этого направления. Поскольку может случиться так, что две линии поля пары не заканчиваются в одной и той же точке множества Джулиа, наши цветные линии поля могут разветвляться (бесконечно) на своем пути к множеству Джулиа. Мы можем раскрашивать на основе расстояния до центральной линии поля, и мы можем смешивать эту раскраску с обычной раскраской. Такие картины могут быть очень декоративными (второй рисунок).

Цветная линия поля (область между двумя линиями поля) разделена полосами итераций, и такая часть может быть поставлена ​​во взаимно однозначное соответствие с единичным квадратом: одна координата (вычисляется из) расстояния от одной из ограничивающих линий поля, другая - это (рассчитывается исходя из) расстояния от внутренней из ограничивающих полос итераций (это число является нецелой частью действительного номера итерации). Поэтому мы можем помещать картинки в линии поля (третье изображение).

Построение множества Джулии

Воспроизвести медиа

Бинарное разложение интерьера в случае внутреннего угла 0

Методы:

• Метод оценки расстояния для множества Жюлиа (DEM / J)
• Обратный итерационный метод (IIM)

Использование обратной (обратной) итерации (IIM)

Сюжет множества Джулии, созданный с использованием случайного IIM

График множества Джулии, созданный с помощью MIIM

Как упоминалось выше, множество Жюлиа может быть найдено как множество предельных точек множества прообразов (по существу) любой данной точки. Итак, мы можем попытаться построить набор Джулии для данной функции следующим образом. Начни с любой точки z мы знаем, что мы находимся в множестве Джулиа, таком как отталкивающая периодическая точка, и вычисляем все прообразы z под какой-то высокой итерацией ${\displaystyle f^{n}}$ из ж.

К сожалению, поскольку количество повторных предварительных изображений растет экспоненциально, это невозможно с вычислительной точки зрения. Однако мы можем настроить этот метод аналогично методу "случайной игры" для системы повторяющихся функций. То есть на каждом шаге мы выбираем случайным образом одно из прообразов ж.

Например, для квадратичного многочлена ж_c, обратная итерация описывается как

${\displaystyle z_{n-1}={\sqrt {z_{n}-c}}.}$

На каждом шаге случайным образом выбирается один из двух квадратных корней.

Обратите внимание, что некоторые части набора Джулии довольно трудны для доступа с помощью обратного алгоритма Джулии. По этой причине необходимо модифицировать IIM / J (он называется MIIM / J) или использовать другие методы для создания лучших изображений.

Использование DEM / J

• Образы множеств Жюлиа для fc (z) = z * z + c
• 

  с = -0,74543 + 0,11301 * я

• 

  с = -0,75 + 0,11 * я

• 

  с = -0,1 + 0,651 * я

• 

  Набор Джулии, нарисованный путем оценки расстояния, итерация имеет вид 1-z ^ 2 + z ^ 5 / (2 + 4z) + c

• 

  Трехмерный рендеринг набора Джулии с использованием оценки расстояния

Поскольку множество Джулии бесконечно тонкое, мы не можем эффективно нарисовать его путем обратной итерации от пикселей. Он будет казаться фрагментированным из-за непрактичности изучения бесконечного числа начальных точек. Поскольку количество итераций сильно меняется около набора Джулии, частичное решение состоит в том, чтобы подразумевать контур набора из ближайших цветовых контуров, но набор будет иметь тенденцию выглядеть мутным.

Лучший способ нарисовать набор Джулии в черно-белом цвете - это оценить расстояние пикселей (ЦМР) от набора и раскрасить каждый пиксель, центр которого находится близко к набору. Формула для оценки расстояния выводится из формулы для потенциальной функции φ (z). Когда эквипотенциальные линии для φ (z) лежать рядом, число ${\displaystyle |\varphi '(z)|}$ велика, и, наоборот, эквипотенциальные линии для функции ${\displaystyle \delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|}$ должен лежать примерно регулярно. Было доказано, что значение, найденное по этой формуле (с точностью до постоянного множителя), сходится к истинному расстоянию для z, сходящегося к множеству Жюлиа.^[9]

Мы предполагаем, что ж(z) рационально, т. е. ${\displaystyle f(z)=p(z)/q(z)}$ куда п(z) и q(z) - комплексные полиномы степеней м и псоответственно, и нам нужно найти производную от приведенных выше выражений для φ (z). И как это только ${\displaystyle z_{k}}$ которая меняется, мы должны вычислить производную ${\displaystyle z'_{k}}$ из ${\displaystyle z_{k}}$ относительно z. Но, как ${\displaystyle z_{k}=f(f(\cdots f(z)))}$ (в k-складная композиция), ${\displaystyle z'_{k}}$ это произведение чисел ${\displaystyle f'(z_{k})}$, и эту последовательность можно вычислить рекурсивно с помощью ${\displaystyle z'_{k+1}=f'(z_{k})z'_{k}}$, начиная с ${\displaystyle z'_{0}=1}$ (перед расчет следующей итерации ${\displaystyle z_{k+1}=f(z_{k})}$).

Для итерации в сторону ∞ (точнее, когда м ≥ п + 2, так что ∞ - суперпритягивающая неподвижная точка), имеем

${\displaystyle |\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }{\frac {|z'_{k}|}{|z_{k}|d^{k}}},}$

(d = м − п) и следовательно:

${\displaystyle \delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }\log |z_{k}||z_{k}|/|z'_{k}|.\,}$

Для итерации в направлении конечного цикла притяжения (который не является сверхпритягивающим), содержащего точку z * и имея порядок р, у нас есть

${\displaystyle |\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }|z'_{kr}|/(|z_{kr}-z^{*}|^{2}\alpha ^{k}),\,}$

и следовательно:

${\displaystyle \delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }|z_{kr}-z^{*}|/|z'_{kr}|.\,}$

Формула суперпритягивающего цикла:

${\displaystyle \delta (z)=\lim _{k\to \infty }\log |z_{kr}-z^{*}|^{2}/|z'_{kr}|.\,}$

Мы вычисляем это число, когда итерация останавливается. Обратите внимание, что оценка расстояния не зависит от привлекательности цикла. Это означает, что он имеет значение для трансцендентных функций «бесконечной степени» (например, sin (z) и загар (z)).

Помимо рисования границы, функция расстояния может быть представлена ​​как 3-е измерение для создания твердого фрактального ландшафта.

Смотрите также

• Кролик дуади
• Ограничение установлено
• Стабильные и нестабильные наборы
• Теорема об отсутствии блуждающей области
• Теория хаоса

Примечания

1. Обратите внимание, что для других разделов математики обозначение J(ж) также может представлять Матрица якобиана действительного отображения ж между гладкие многообразия.
2. Гастон Джулия (1918) "Mémoire sur l'iteration des fonctions rationnelles", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, т. 8, страницы 47–245.
3. Пьер Фату (1917) "Sur les замен rationnelles", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, т. 164, страницы 806–808 и т. 165, страницы 992–995.
4. Бирдон, Итерация рациональных функций, Теорема 5.6.2.
5. Бирдон, Теорема 7.1.1.
6. Бирдон, Итерация рациональных функций, Теорема 3.2.4.
7. Тан Лей, «Сходство между множеством Мандельброта и множеством Жюлиа», Сообщения по математической физике 134 (1990), стр. 587–617.
8. Адриан Дуади и Джон Хаббард, Динамичный этюд комплексов полиномов, Prepublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984/1985)
9. Пайтген, Хайнц-Отто; Рихтер Питер (1986). Красота фракталов. Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN  0-387-15851-0.

Рекомендации

• Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамелен, Сложная динамика, Springer 1993 г.
• Адриан Дуади и Джон Хаббард, "Динамический этюд комплексов полиномов", Предварительные публикации mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
• Джон В. Милнор, Динамика в одной сложной переменной (Третье издание), Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press, 2006 г. (Впервые опубликовано в 1990 г. как Препринт Stony Brook IMS, доступно как arXiV: math.DS / 9201272.)
• Александр Богомольный, "Множество Мандельброта и индексация множеств Жюлиа " в завязать узел.
• Евгений Демидов "Множества Мандельброта и Жюлиа Анатомия " (2003)
• Алан Ф. Бердон, Итерация рациональных функций, Springer 1991, ISBN  0-387-95151-2

внешняя ссылка

• "Юля набор", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Юлия Сет". MathWorld.
• Джулия Set Fractal (2D), Поль Бурк
• Юлия Сеты, Джейми Сойер
• Джулия Джевелс: Исследование наборов Джулии, Майкл МакГудвин
• Круги на полях Julia Set, Люси Прингл
• Интерактивный апплет Julia Set, Джош Грейг
• Джулия и Мандельброт Set Explorer, Дэвид Э. Джойс
• Простая программа для генерации наборов Жюлиа (Windows, 370 кб)
• Сборник апплетов один из которых может отображать наборы Джулии с помощью систем итерированных функций.
• Юлия знакомится с HTML5 Генератор фракталов HTML5 от Google Labs в вашем браузере
• Юля Пакет GNU R для создания набора Джулии или Мандельброта в заданном регионе и разрешении.
• Юля наборы Наглядное объяснение Джулии Сетс.
• FractalTS Мандельброт, Горящий корабль и соответствующий генератор наборов Джулии.
• Юля установила изображения онлайн-рендеринга