Кривая де Рама - De Rham curve

В математика, а кривая де Рама это определенный тип фрактальная кривая назван в честь Жорж де Рам.

В Функция Кантора, Кривая Чезаро, Функция вопросительного знака Минковского, то Кривая Леви C, то кривая бланманже то Кривая Коха и Кривая Осгуда все являются частными случаями общей кривой де Рама.

строительство

Рассмотрим некоторые полное метрическое пространство ${displaystyle (M,d)}$ (в общем ${displaystyle mathbb {R} }$² с обычным евклидовым расстоянием) и пара контрактные карты на M:

${displaystyle d_{0}: M o M}$

${displaystyle d_{1}: M o M.}$

Посредством Теорема Банаха о неподвижной точке, они имеют неподвижные точки ${displaystyle p_{0}}$ и ${displaystyle p_{1}}$ соответственно. Позволять Икс быть настоящий номер в интервале ${displaystyle [0,1]}$, имеющий двоичное расширение

${displaystyle x=sum _{k=1}^{infty }{frac {b_{k}}{2^{k}}},}$

где каждый ${displaystyle b_{k}}$ равно 0 или 1. Рассмотрим карту

${displaystyle c_{x}: M o M}$

определяется

${displaystyle c_{x}=d_{b_{1}}circ d_{b_{2}}circ cdots circ d_{b_{k}}circ cdots ,}$

где ${displaystyle circ }$ обозначает функциональная композиция. Можно показать, что каждый ${displaystyle c_{x}}$ составят карту общей области притяжения ${displaystyle d_{0}}$ и ${displaystyle d_{1}}$ в одну точку ${displaystyle p_{x}}$ в ${displaystyle M}$. Сбор очков ${displaystyle p_{x}}$, параметризованный одним действительным параметром Икс, известна как кривая де Рама.

Условие непрерывности

Когда фиксированные точки спарены так, что

${displaystyle d_{0}(p_{1})=d_{1}(p_{0})}$

то можно показать, что полученная кривая ${displaystyle p_{x}}$ является непрерывной функцией Икс. Когда кривая непрерывная, она, как правило, не дифференцируема.

В оставшейся части этой страницы мы будем предполагать, что кривые непрерывны.

Характеристики

Кривые Де Рама по построению самоподобны, поскольку

${displaystyle p(x)=d_{0}(p(2x))}$ за ${displaystyle xin [0,1/2]}$ и

${displaystyle p(x)=d_{1}(p(2x-1))}$ за ${displaystyle xin [1/2,1].}$

Самосимметрии всех кривых де Рама задаются уравнением моноид который описывает симметрии бесконечного двоичного дерева или Кантор набор. Этот так называемый моноид удвоения периода является подмножеством модульная группа.

В изображение кривой, т. е. множество точек ${displaystyle {p(x),xin [0,1]}}$, может быть получен Система повторяющихся функций используя набор сжимающих отображений ${displaystyle {d_{0}, d_{1}}}$. Но результатом итерированной системы функций с двумя сжимающими отображениями является кривая де Рама тогда и только тогда, когда сжимающие отображения удовлетворяют условию непрерывности.

Подробные проработанные примеры самоподобия можно найти в статьях на Функция Кантора и дальше Функция вопросительного знака Минковского. Точно так же моноид самоподобия, диадический моноид, обратиться к каждый кривая де Рама.

Классификация и примеры

Кривые Чезаро

Кривая Чезаро для а = 0.3 + я 0.3

Кривая Чезаро для а = 0.5 + я 0,5. Это Кривая Леви C.

Кривые Чезаро (или же Кривые Чезаро – Фабера) - кривые Де Рама, порожденные аффинные преобразования сохранение ориентация, с неподвижными точками ${displaystyle p_{0}=0}$ и ${displaystyle p_{1}=1}$.

Из-за этих ограничений кривые Чезаро однозначно определяются комплексное число ${displaystyle a}$ такой, что ${displaystyle |a|<1}$ и ${displaystyle |1-a|<1}$.

Сжимающие отображения ${displaystyle d_{0}}$ и ${displaystyle d_{1}}$ затем определяются как сложные функции в комплексная плоскость от:

${displaystyle d_{0}(z)=az}$

${displaystyle d_{1}(z)=a+(1-a)z.}$

Для стоимости ${displaystyle a=(1+i)/2}$, результирующая кривая - это Кривая Леви C.

Кривые Коха – Пеано

Кривая Коха – Пеано для а = 0.6 + я 0,37. Это близко, но не совсем Кривая Коха.

Кривая Коха – Пеано для а = 0.6 + я 0,45. Это Кривая Осгуда.

Аналогичным образом мы можем определить семейство кривых Коха – Пеано как множество кривых Де Рама, порожденных аффинными преобразованиями, обращающими ориентацию, с неподвижными точками ${displaystyle p_{0}=0}$ и ${displaystyle p_{1}=1}$.

Эти отображения выражаются на комплексной плоскости как функция ${displaystyle {overline {z}}}$, то комплексно сопряженный из ${displaystyle z}$:

${displaystyle d_{0}(z)=a{overline {z}}}$

${displaystyle d_{1}(z)=a+(1-a){overline {z}}.}$

Название семьи происходит от двух самых известных ее членов. В Кривая Коха получается установкой:

${displaystyle a_{ ext{Koch}}={frac {1}{2}}+i{frac {sqrt {3}}{6}},}$

в то время Кривая Пеано соответствует:

${displaystyle a_{ ext{Peano}}={frac {(1+i)}{2}}.}$

Общие аффинные карты

Общая аффинная кривая де Рама

Общая аффинная кривая де Рама

Общая аффинная кривая де Рама

Общая аффинная кривая де Рама

Кривые Чезаро – Фабера и Пеано – Коха являются частными случаями общего случая пары аффинных линейных преобразований на комплексной плоскости. Зафиксировав один конец кривой на 0, а другой на одном, общий случай получается путем повторения двух преобразований

${displaystyle d_{0}={egin{pmatrix}1&0&0�&alpha &delta �&eta &varepsilon end{pmatrix}}}$

и

${displaystyle d_{1}={egin{pmatrix}1&0&0alpha &1-alpha &zeta eta &-eta &eta end{pmatrix}}.}$

Существование аффинные преобразования эти преобразования действуют на точку ${displaystyle (u,v)}$ двумерной плоскости, действуя на вектор

${displaystyle {egin{pmatrix}1uvend{pmatrix}}.}$

Как видно, середина кривой расположена в ${displaystyle (u,v)=(alpha ,eta )}$; остальные четыре параметра можно изменять для создания большого количества кривых.

В кривая бланманже параметра ${displaystyle w}$ можно получить, установив ${displaystyle alpha =eta =1/2}$, ${displaystyle delta =zeta =0}$ и ${displaystyle varepsilon =eta =w}$. Это:

${displaystyle d_{0}={egin{pmatrix}1&0&0�&1/2&0�&1/2&wend{pmatrix}}}$

и

${displaystyle d_{1}={egin{pmatrix}1&0&01/2&1/2&01/2&-1/2&wend{pmatrix}}.}$

Поскольку кривая Бланманже параметра ${displaystyle w=1/4}$ парабола уравнения ${displaystyle f(x)=4x(1-x)}$, это иллюстрирует тот факт, что в некоторых случаях кривые де Рама могут быть гладкими.

Функция вопросительного знака Минковского

Функция вопросительного знака Минковского порождается парой отображений

${displaystyle d_{0}(z)={frac {z}{z+1}}}$

и

${displaystyle d_{1}(z)={frac {1}{z+1}}.}$

Обобщения

Это определение легко обобщить, используя более двух сжимающих отображений. Если использовать п сопоставления, затем п-арное разложение Икс должен использоваться вместо двоичное разложение действительных чисел. Условие непрерывности следует обобщить на:

${displaystyle d_{i}(p_{n-1})=d_{i+1}(p_{0})}$, за ${displaystyle i=0ldots n-2.}$

Это условие непрерывности можно понять на следующем примере. Допустим на работает в базе-10. Тогда есть (как известно), что 0.999...= 1.000... которое является уравнением неразрывности, которое должно выполняться в каждом таком промежутке. То есть с учетом десятичных цифр ${displaystyle b_{1},b_{2},cdots ,b_{k}}$ с ${displaystyle b_{k}eq 9}$, надо

${displaystyle b_{1},b_{2},cdots ,b_{k},9,9,9,cdots =b_{1},b_{2},cdots ,b_{k}+1,0,0,0,cdots }$

Такое обобщение позволяет, например, получить Кривая наконечника стрелы Серпинского (чье изображение Серпинский треугольник ), используя сжимающие отображения системы повторяющихся функций, которая дает треугольник Серпинского.

Мультифрактальные кривые

Орнштейн и другие описывают мультифрактальная система, где вместо работы с фиксированной базой работают с переменной базой.

Рассмотрим пространство продукта переменной базы-${displaystyle m_{n}}$ дискретные пространства

${displaystyle Omega =prod _{nin mathbb {N} }A_{n}}$

за ${displaystyle A_{n}=mathbb {Z} /m_{n}mathbb {Z} ={0,1,cdots ,m_{n}-1}}$ то циклическая группа, за ${displaystyle m_{n}geq 2}$ целое число. Любое действительное число в единичный интервал может быть расширен в последовательности ${displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},cdots )}$ так что каждый ${displaystyle a_{n}in A_{n}}$. Точнее реальное число ${displaystyle 0leq xleq 1}$ записывается как

${displaystyle x=sum _{n=1}^{infty }{frac {a_{n}}{prod _{k=1}^{n}m_{k}}}}$

Это расширение не уникально, если все ${displaystyle a_{n}=0}$ мимо какой-то точки ${displaystyle K<n}$. В этом случае

${displaystyle a_{1},a_{2},cdots ,a_{K},0,0,cdots =a_{1},a_{2},cdots ,a_{K}-1,m_{K+1}-1,m_{K+2}-1,cdots }$

Такие точки аналогичны диадическим рациональным числам в диадическом разложении, и в этих точках необходимо применять уравнения неразрывности на кривой.

Для каждого ${displaystyle A_{n}}$, необходимо указать две вещи: набор из двух точек ${displaystyle p_{0}^{(n)}}$ и ${displaystyle p_{1}^{(n)}}$ и набор ${displaystyle m_{n}}$ функции ${displaystyle d_{j}^{(n)}(z)}$ (с участием ${displaystyle jin A_{n}}$). Тогда условие непрерывности такое же, как указано выше,

${displaystyle d_{j}^{(n)}(p_{1}^{(n+1)})=d_{j+1}^{(n)}(p_{0}^{(n+1)})}$, за ${displaystyle j=0,cdots ,m_{n}-2.}$

Использован оригинальный пример Орнштейна

${displaystyle Omega =left(mathbb {Z} /2mathbb {Z} ight) imes left(mathbb {Z} /3mathbb {Z} ight) imes left(mathbb {Z} /4mathbb {Z} ight) imes cdots }$

Смотрите также

• Система повторяющихся функций
• Уточняемая функция
• Модульная группа
• Фуксова группа

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Жорж де Рам, О некоторых кривых, определяемых функциональными уравнениями (1957), перепечатано в Классика о фракталах, изд. Джеральд А. Эдгар (Addison-Wesley, 1993), стр. 285–298.
• Жорж де Рам, Sur quelques Courbes определяет парные уравнения fonctionnelles. Univ. e Politec. Турин. Ренд. Сем. Матем., 1957, 16, 101–113
• Линас Вепстас, Галерея кривых де Рама, (2006).
• Линас Вепстас, Симметрии карт удвоения периода, (2006). (Общее исследование симметрии модульной группы фрактальных кривых.)