N-хлопья - N-flake

An пхлопья, полифлейк, или Серпинский п-угольник,^[1]^:1 это фрактал построен, начиная с п-угольник. Эта п-гон заменен отщепом более мелкого п-угольники, так что масштабированные многоугольники помещаются в вершины, а иногда и в центре. Этот процесс повторяется рекурсивно, чтобы получить фрактал. Как правило, также существует ограничение, что п-угольники должны соприкасаться, но не перекрываться.

В двух измерениях

Самая распространенная разновидность п-флейка двумерна (с точки зрения топологическая размерность ) и состоит из многоугольников. Четыре наиболее распространенных частных случая состоят из треугольников, квадратов, пятиугольников и шестиугольников, но их можно расширить до любого многоугольника.^[1]^:2 Его границей является кривая фон Коха разного типа - в зависимости от п-gon - и внутри содержится бесконечно много кривых Коха. Фракталы занимают нулевую площадь, но имеют бесконечный периметр.

Формула масштаб р для любого п-флейк это:^[2]

{ displaystyle r = { frac {1} {2 left (1+ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { lfloor n / 4 rfloor} { cos { frac {2 pi k}) {n}}} right)}}}

где косинус выражается в радианах и п это количество сторон п-гон. В Хаусдорфово измерение из п-флейк это ${ displaystyle textstyle { frac { log m} { log r}}}$ , где м - количество полигонов в каждой отдельной пластине, а р - коэффициент масштабирования.

Треугольник Серпинского

В Треугольник Серпинского является п- чешуйка, образованная последовательными хлопьями трех треугольников. Каждая пластинка формируется путем размещения треугольников с масштабом 1/2 в каждом углу треугольника, который они заменяют. это Хаусдорфово измерение равно ${ displaystyle textstyle { frac { log (3)} { log (2)}}}$ ≈ 1,585. В ${ displaystyle textstyle { frac { log (3)} { log (2)}}}$ получается, потому что каждая итерация имеет 3 треугольника, масштабированных на 1/2.

Шестая итерация треугольника Серпинского.
Треугольник Серпинского, созданный игра хаос.

Фрактал Вичека

Пятая итерация фрактала Вичека

Если бы 4-угольник Серпинского был построен из данного определения, масштабный коэффициент был бы 1/2, а фрактал был бы просто квадратом. Более интересная альтернатива, Фрактал Вичека, редко называемый четырехлепестковым, образован последовательными хлопьями из пяти квадратов с масштабом 1/3. Каждая чешуйка формируется путем размещения масштабированного квадрата в каждом углу и по одному в центре или по одному с каждой стороны квадрата и по одному в центре. Его размерность Хаусдорфа равна ${ displaystyle textstyle { frac { log (5)} { log (3)}}}$ ≈ 1,4650. В ${ displaystyle textstyle { frac { log (5)} { log (3)}}}$ получается, потому что каждая итерация имеет 5 квадратов, масштабированных на 1/3. Граница фрактала Вичека - это Квадратичная кривая Коха типа 1.

Пентафлейк

Увеличение границы пентафлейка

Пентафлейка, или пятиугольник Серпинского, образована последовательными чешуйками шести правильных пятиугольников.^[3]Каждая пластинка формируется путем размещения пятиугольника в каждом углу и одного в центре. Его размерность Хаусдорфа равна ${ displaystyle textstyle { frac { log (6)} { log (1+ varphi)}}}$ ≈ 1.8617, где ${ displaystyle textstyle { varphi = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}}}}$ (Золотое сечение ). В ${ displaystyle textstyle { frac { log (6)} { log (1+ varphi)}}}$ получается, потому что каждая итерация имеет 6 пятиугольников, масштабируемых на ${ displaystyle textstyle { frac {1} {1+ varphi}}}$ . Граница пентафлейка - кривая Коха в 72 градуса.

Существует также разновидность пентафлейка без центрального пятиугольника. Его размерность Хаусдорфа равна ${ displaystyle textstyle { frac { log (5)} { log (1+ varphi)}}}$ ≈ 1,6723. Этот вариант по-прежнему содержит бесконечно много кривых Коха, но они несколько более заметны.

3-я итерация, с центральными пятиугольниками
4-я итерация, с центральными пятиугольниками
5-я итерация, с центральными пятиугольниками

2-я итерация, без центральных пятиугольников
3-я итерация, без центральных пятиугольников
4-я итерация, без центральных пятиугольников
5-я итерация, без центральных пятиугольников

Hexaflake

А гексафлейк, образован последовательными чешуйками семи правильных шестиугольников.^[4] Каждая пластинка формируется путем размещения масштабированного шестиугольника в каждом углу и одного в центре. Его размерность Хаусдорфа равна ${ displaystyle textstyle { frac { log (7)} { log (3)}}}$ ≈ 1,7712. В ${ displaystyle textstyle { frac { log (7)} { log (3)}}}$ получается потому, что каждая итерация имеет 7 шестиугольников, масштабированных на 1/3. Граница гексафлейка - это стандартная кривая Коха в 60 градусов и бесконечное множество Снежинки Коха содержатся внутри. Также проекция кантор куб на самолет ортогональный к его главной диагонали - гексафлейк.

Как и пентафлейк, существует также разновидность гексафлейка, называемая шестиугольником Серпинского, у которого нет центрального шестиугольника.^[5] Его размерность Хаусдорфа равна ${ displaystyle textstyle { frac { log (6)} { log (3)}}}$ ≈ 1,6309. Этот вариант по-прежнему содержит бесконечно много кривых Коха с углом 60 градусов.

Hexaflake
Первые шесть итераций гексафлейка.
Четвертая итерация шестиугольника Серпинского.
Ортогональная проекция канторного куба с изображением гексафлейка.

Полифлейк

п-хлопья более высоких полигонов также существуют, хотя они менее распространены и обычно не имеют центрального многоугольника. Некоторые примеры показаны ниже; от 7-чешуек до 12-чешуек. Хотя это может быть неочевидно, эти более высокие полихлопья все еще содержат бесконечно много кривых Коха, но угол кривых Коха уменьшается по мере п увеличивается. Их размерность Хаусдорфа вычислить немного сложнее, чем меньшие п-хлопья, потому что их масштабный коэффициент менее очевиден. Однако размерность Хаусдорфа всегда меньше двух, но не меньше единицы. Интересный п-flake - это ∞-чешуйка, потому что как значение п увеличивается, празмерность Хаусдорфа -flake приближается к 1,^[1]^:7

Первые четыре итерации гептафлейка или 7-чешуйки.
Первые четыре итерации октофлейка или 8-чешуйки.
Первые четыре итерации enneaflake или 9-flake.
Первые четыре итерации декафлейка или 10-флейка.
Первые четыре итерации hendecaflake или 11-flake.
Первые четыре итерации додекафлейка или 12-чешуйки.

В трех измерениях

п-хлопья могут быть обобщены на более высокие измерения, в частности на топологическая размерность из трех.^[6] Вместо полигонов правильные многогранники заменяются итеративно. Однако, хотя существует бесконечное количество правильных многоугольников, есть только пять правильных выпуклых многогранников. Из-за этого трехмерные n-чешуйки еще называют платонические твердые фракталы.^[7] В трех измерениях объем фракталов равен нулю.

Тетраэдр Серпинского

А Тетраэдр Серпинского образован последовательными хлопьями четырех правильных тетраэдров. Каждая пластинка формируется путем размещения тетраэдр масштабируется на 1/2 в каждом углу. Его размерность Хаусдорфа равна ${ displaystyle textstyle { frac { log (4)} { log (2)}}}$ , что в точности равно 2. На каждой грани есть треугольник Серпинского, а внутри их бесконечно много.

Третья итерация тетраэдра Серпинского.

Чешуйка шестигранника

Шестигранник, или куб, чешуйка, определяемая так же, как тетраэдр Серпинского, - это просто куб.^[8] и не интересен как фрактал. Однако есть две приятные альтернативы. Один из них Губка Менгера, где каждый куб заменен трехмерным кольцом кубиков. Его размерность Хаусдорфа равна ${ displaystyle textstyle { frac { log (20)} { log (3)}}}$ ≈ 2.7268.

Еще одна чешуйка шестигранника может быть изготовлена аналогично Фрактал Вичека расширен до трех измерений. Каждый куб разделен на 27 кубиков меньшего размера, и центральный крест сохраняется, что является противоположностью Губка менгера где крест снимается. Однако это не дополнение Menger Sponge. Его размерность Хаусдорфа равна ${ displaystyle textstyle { frac { log (7)} { log (3)}}}$ ≈ 1,7712, потому что крест из 7 кубиков, каждый в масштабе 1/3, заменяет каждый куб.

Четвертая версия губки Менгера.
Третья итерация 3D фрактал Вичека.

Отщеп октаэдра

Чешуйка октаэдра, или октаэдр Серпинского, образована последовательными чешуями шести правильных октаэдров. Каждая чешуйка формируется путем размещения октаэдр масштабируется на 1/2 в каждом углу. Его размерность Хаусдорфа равна ${ Displaystyle textstyle { гидроразрыва { log (6)} { log (2)}}}$ ≈ 2,5849. На каждой грани есть треугольник Серпинского, а внутри их бесконечно много.

Третья итерация чешуйки октаэдра.

Додекаэдр чешуйки

Чешуйка додекаэдра, или додекаэдр Серпинского, образована последовательными хлопьями из двадцати правильных додекаэдров. Каждая пластинка формируется путем размещения додекаэдр масштабируется ${ displaystyle textstyle { frac {1} {2+ varphi}}}$ в каждом углу. Его размерность Хаусдорфа равна ${ displaystyle textstyle { frac { log (20)} { log (2+ varphi)}}}$ ≈ 2.3296.

Вторая итерация фрактальной чешуи додекаэдра.

Икосаэдр чешуйчатый

Чешуйка икосаэдра, или икосаэдр Серпинского, образована последовательными хлопьями двенадцати правильных икосаэдров. Каждая чешуйка формируется путем размещения икосаэдр масштабируется ${ displaystyle textstyle { frac {1} {1+ varphi}}}$ в каждом углу. Его размерность Хаусдорфа равна ${ displaystyle textstyle { frac { log (12)} { log (1+ varphi)}}}$ ≈ 2.5819.

Третья итерация фрактальной чешуи икосаэдра.

Смотрите также

Список фракталов по размерности Хаусдорфа

использованная литература

^ ^а ^б ^c Деннис, Кевин; Шликер, Стивен, Серпинский п-Гоны (PDF)
^ Загадка, Ларри. "Серпинские н-угольники". Получено 9 мая 2011.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Пентафлейк». MathWorld.
^ Choudhury, S.M .; Матин, М.А. (2012), "Влияние плоскости заземления FSS на вторую итерацию гексафлейк-фрактальной патч-антенны", 7-я Международная конференция по электронной вычислительной технике (ICECE 2012), стр. 694–697, Дои:10.1109 / ICECE.2012.6471645.
^ Девани, Роберт Л. (Ноябрь 2004 г.), "Хаос правит!" (PDF), Математические горизонты: 11–13.
^ Куннен, Эйми; Шликер, Стивен, Правильные многогранники Серпинского (PDF)
^ Поль Бурк (декабрь 2005 г.). «Платоновые твердые фракталы и их дополнения». Архивировано из оригинал 9 декабря 2014 г.. Получено 4 декабря 2014.
^ Куннен, Эйми; Шликер, Стивен, Правильные многогранники Серпинского (PDF), п. 3

внешние ссылки

Quadraflakes, Pentaflakes, Hexaflakes и многое другое - включает код Mathematica для генерации этих фракталов

[DennisSchlicker-1] а ^б ^c Деннис, Кевин; Шликер, Стивен, Серпинский п-Гоны (PDF)

[ecademy-2] Загадка, Ларри. "Серпинские н-угольники". Получено 9 мая 2011.

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Пентафлейк». MathWorld.

[4] Choudhury, S.M .; Матин, М.А. (2012), "Влияние плоскости заземления FSS на вторую итерацию гексафлейк-фрактальной патч-антенны", 7-я Международная конференция по электронной вычислительной технике (ICECE 2012), стр. 694–697, Дои:10.1109 / ICECE.2012.6471645.

[5] Девани, Роберт Л. (Ноябрь 2004 г.), "Хаос правит!" (PDF), Математические горизонты: 11–13.

[6] Куннен, Эйми; Шликер, Стивен, Правильные многогранники Серпинского (PDF)

[7] Поль Бурк (декабрь 2005 г.). «Платоновые твердые фракталы и их дополнения». Архивировано из оригинал 9 декабря 2014 г.. Получено 4 декабря 2014.

[8] Куннен, Эйми; Шликер, Стивен, Правильные многогранники Серпинского (PDF), п. 3

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Фракталы
Характеристики	Фрактальные измерения Ассуад Подсчет коробок Корреляция Хаусдорф Упаковка Топологический Рекурсия Самоподобие
Итерированная функция система	Папоротник Барнсли Кантор набор Коха снежинка Губка менгера Ковер Серпинского Треугольник Серпинского Кривая заполнения пространства Кривая Бланманже Кривая де Рама Минковский Кривая дракона Кривая Гильберта Кривая Коха Кривая Леви C Кривая Мура Кривая Пеано Кривая Серпинского Т-образный квадрат н-хлопья
Странный аттрактор	Мультифрактальная система
L-система	Фрактальный навес Кривая заполнения пространства H дерево
Время побега фракталы	Пылающий корабль фрактал Юля набор Заполнено Фрактал Ньютона Фрактал Ляпунова Набор Мандельброта Точка Мисюревича Фрактал Ньютона Треуголка Mandelbox Mandelbulb
Рендеринг техники	Буддхаброт Орбитальная ловушка Подъемник
Случайный фракталы	Броуновское движение Броуновское дерево Броуновский мотор Фрактальный пейзаж Леви рейс Теория перколяции Самостоятельная прогулка
люди	Георг Кантор Феликс Хаусдорф Гастон Джулия Хельге фон Кох Поль Леви Александр Ляпунов Бенуа Мандельброт Льюис Фрай Ричардсон Вацлав Серпинский
Другой	"Какова длина побережья Британии? " Парадокс береговой линии Список фракталов по размерности Хаусдорфа Красота фракталов (Книга 1986 года) Фрактальное искусство Хаос: создание новой науки (Книга 1987 года) Фрактальная геометрия природы (Книга 1982 г.) Калейдоскоп Теория хаоса