Уточняемая функция - Refinable function

В математика, в районе вейвлет анализ, а уточняющая функция это функция, которая выполняет своего рода самоподобие. Функция ${displaystyle varphi }$ называется масштабируемой по маске ${displaystyle h}$ если

${displaystyle varphi (x)=2cdot sum _{k=0}^{N-1}h_{k}cdot varphi (2cdot x-k)}$

Это состояние называется уточняющее уравнение, уравнение растяжения или двухмасштабное уравнение.

С использованием свертка (обозначена звездочкой *) функции с дискретной маской и оператором растяжения ${displaystyle D}$ можно написать более кратко:

${displaystyle varphi =2cdot D_{1/2}(h*varphi )}$

Это означает, что функция снова получается, если вы сворачиваете функцию с дискретной маской, а затем масштабируете ее обратно. системы повторяющихся функций и кривые де Рама.

Оператор ${displaystyle varphi mapsto 2cdot D_{1/2}(h*varphi )}$ линейна. уточняющая функция - это собственная функция этого оператора, его абсолютное значение не определено однозначно, то есть если ${displaystyle varphi }$ - уточняющая функция, то для каждого ${displaystyle c}$ функция ${displaystyle ccdot varphi }$ тоже можно уточнить.

Эти функции играют фундаментальную роль в вейвлет теория как функции масштабирования.

Характеристики

Значения в целых точках

Уточняемая функция определяется только неявно. Также может быть, что существует несколько функций, которые могут быть уточнены по одной и той же маске. ${displaystyle varphi }$ должна иметь конечную опору и требуются значения функции при целочисленных аргументах, тогда двухмасштабное уравнение становится системой совместные линейные уравнения.

Позволять ${displaystyle a}$ быть минимальным индексом и ${displaystyle b}$ быть максимальным индексом ненулевых элементов ${displaystyle h}$, то получаем

${displaystyle {egin{pmatrix}varphi (a)varphi (a+1)vdots varphi (b)end{pmatrix}}={egin{pmatrix}h_{a}&&&&&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&ddots &ddots &ddots &ddots &ddots &ddots &h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&&&&&h_{b}end{pmatrix}}cdot {egin{pmatrix}varphi (a)varphi (a+1)vdots varphi (b)end{pmatrix}}.}$

С использованием дискретизация оператор, назови это ${displaystyle Q}$ здесь и матрица передачи из ${displaystyle h}$, названный ${displaystyle T_{h}}$, кратко это можно записать как

${displaystyle Qvarphi =T_{h}cdot Qvarphi .,}$

Это снова уравнение с фиксированной точкой. Но теперь это можно рассматривать как собственный вектор -собственное значение проблема. То есть масштабирующая функция с конечным носителем существует только (но не обязательно), если ${displaystyle T_{h}}$ имеет собственное значение 1.

Ценности в диадических точках

Из значений в целых точках вы можете получить значения в диадических точках, т.е. точки формы ${displaystyle kcdot 2^{-j}}$, с участием ${displaystyle kin mathbb {Z} }$ и ${displaystyle jin mathbb {N} }$.

${displaystyle varphi =D_{1/2}(2cdot (h*varphi ))}$

${displaystyle D_{2}varphi =2cdot (h*varphi )}$

${displaystyle Q(D_{2}varphi )=Q(2cdot (h*varphi ))=2cdot (h*Qvarphi )}$

Звездочка обозначает свертка дискретного фильтра с функцией. На этом шаге вы можете вычислить значения в точках формы ${displaystyle {frac {k}{2}}}$.Путем повторной замены ${displaystyle varphi }$ к ${displaystyle D_{2}varphi }$ вы получаете значения во всех более мелких масштабах.

${displaystyle Q(D_{2^{j+1}}varphi )=2cdot (h*Q(D_{2^{j}}varphi ))}$

Свертка

Если ${displaystyle varphi }$ уточняется относительно ${displaystyle h}$,и ${displaystyle psi }$ уточняется относительно ${displaystyle g}$,тогда ${displaystyle varphi *psi }$ уточняется относительно ${displaystyle h*g}$.

Дифференциация

Если ${displaystyle varphi }$ уточняется относительно ${displaystyle h}$, а производная ${displaystyle varphi '}$ существует, тогда ${displaystyle varphi '}$ уточняется относительно ${displaystyle 2cdot h}$Это можно интерпретировать как частный случай свойства свертки, когда один из операндов свертки является производной от Импульс Дирака.

Интеграция

Если ${displaystyle varphi }$ уточняется относительно ${displaystyle h}$, и есть первообразная ${displaystyle Phi }$ с${displaystyle Phi (t)=int _{0}^{t}varphi ( au )mathrm {d} au }$, то первообразная ${displaystyle tmapsto Phi (t)+c}$уточняется относительно маски ${displaystyle {frac {1}{2}}cdot h}$где постоянная ${displaystyle c}$ должен выполнить${displaystyle ccdot (1-sum _{j}h_{j})=sum _{j}h_{j}cdot Phi (-j)}$.

Если ${displaystyle varphi }$ имеет ограниченная поддержка, то мы можем интерпретировать интегрирование как свертку с Функция Хевисайда и применить закон свертки.

Скалярные произведения

Вычисление скалярных произведений двух уточняемых функций и их преобразований можно разбить на два вышеуказанных свойства. ${displaystyle T}$ быть оператором перевода. Он держит

${displaystyle langle varphi ,T_{k}psi angle =langle varphi *psi ^{*},T_{k}delta angle =(varphi *psi ^{*})(k)}$

где ${displaystyle psi ^{*}}$ это прилегающий из ${displaystyle psi }$ относительно свертка, т.е. ${displaystyle psi ^{*}}$ это перевернутое и комплексно сопряженный версия ${displaystyle psi }$, т.е. ${displaystyle psi ^{*}(t)={overline {psi (-t)}}}$.

Из-за вышеуказанного свойства ${displaystyle varphi *psi ^{*}}$ уточняется относительно ${displaystyle h*g^{*}}$, а его значения при целочисленных аргументах могут быть вычислены как собственные векторы передаточной матрицы. Эту идею легко обобщить на интегралы от произведений более чем двух масштабирующих функций.^[1]

Гладкость

Уточняемая функция обычно имеет фрактальную форму. Конструкция непрерывных или гладких улучшаемых функций не очевидна. Прежде чем иметь дело с принудительной гладкостью, необходимо измерить гладкость уточняемых функций. Использование машины Виллемоэса^[2]можно вычислить гладкость масштабирующих функций в терминах Соболевские экспоненты.

На первом этапе маска уточнения ${displaystyle h}$ разделен на фильтр ${displaystyle b}$, который является степенью коэффициента гладкости ${displaystyle (1,1)}$ (это биномиальная маска) и отдых ${displaystyle q}$.Грубо говоря, биномиальная маска ${displaystyle b}$ делает гладкость и${displaystyle q}$ представляет фрактальную составляющую, которая снова снижает гладкость. Теперь показатель Соболева примерно равен порядку ${displaystyle b}$ минус логарифм из спектральный радиус из ${displaystyle T_{q*q^{*}}}$.

Обобщение

Концепция масштабируемых функций может быть обобщена на функции более чем одной переменной, то есть на функции от ${displaystyle mathbb {R} ^{d} o mathbb {R} }$.Самое простое обобщение касается тензорные произведения.Если ${displaystyle varphi }$ и ${displaystyle psi }$ могут быть уточнены относительно ${displaystyle h}$ и ${displaystyle g}$соответственно, то ${displaystyle varphi otimes psi }$уточняется относительно ${displaystyle hotimes g}$.

Схема может быть еще больше обобщена для различных коэффициентов масштабирования по отношению к разным измерениям или даже для смешивания данных между измерениями.^[3]Вместо масштабирования скалярным множителем вроде 2, координаты сигнала преобразуются матрицей ${displaystyle M}$ целых чисел.Чтобы схема работала, абсолютные значения всех собственных значений ${displaystyle M}$ должно быть больше единицы. (Возможно, этого достаточно, чтобы ${displaystyle |det M|>1}$.)

Формально двухмасштабное уравнение не сильно меняется:

${displaystyle varphi (x)=|det M|cdot sum _{kin mathbb {Z} ^{d}}h_{k}cdot varphi (Mcdot x-k)}$

${displaystyle varphi =|det M|cdot D_{M^{-1}}(h*varphi )}$

Примеры

• Если определение распространяется на распределения, то Импульс Дирака масштабируемо относительно единичного вектора ${displaystyle delta }$, который известен как Дельта Кронекера. В ${displaystyle n}$-я производная распределения Дирака уточняема по ${displaystyle 2^{n}cdot delta }$.
• В Функция Хевисайда уточняется относительно ${displaystyle {frac {1}{2}}cdot delta }$.
• В усеченные степенные функции с показателем ${displaystyle n}$ могут быть уточнены относительно ${displaystyle {frac {1}{2^{n+1}}}cdot delta }$.
• В треугольная функция - уточняемая функция.^[4] B-шлиц функции с последовательными целыми узлами масштабируемы из-за теоремы о свертке и масштабируемости характеристическая функция для интервала ${displaystyle [0,1)}$ (а функция товарного вагона ).
• Все полиномиальные функции уточняются. Для каждой уточняющей маски существует многочлен, который определяется однозначно с точностью до постоянного множителя. Для каждого полинома степени ${displaystyle n}$ есть много масок уточнения, которые все различаются маской типа ${displaystyle v*(1,-1)^{n+1}}$ для любой маски ${displaystyle v}$ и сверточная мощность ${displaystyle (1,-1)^{n+1}}$.^[5]
• А рациональная функция ${displaystyle varphi }$ уточняется тогда и только тогда, когда он может быть представлен с помощью частичные фракции так как ${displaystyle varphi (x)=sum _{iin mathbb {Z} }{frac {s_{i}}{(x-i)^{k}}}}$, где ${displaystyle k}$ это положительный натуральное число и ${displaystyle s}$ - вещественная последовательность с конечным числом ненулевых элементов (a Многочлен Лорана ) такие, что ${displaystyle s|(suparrow 2)}$ (читать: ${displaystyle exists h(z)in mathbb {R} [z,z^{-1}] h(z)cdot s(z)=s(z^{2})}$). Многочлен Лорана ${displaystyle 2^{k-1}cdot h}$ - соответствующая маска уточнения.^[6]

Рекомендации

1. Дамен, Вольфганг; Микчелли, Чарльз А. (1993). «Использование уточняющего уравнения для вычисления интегралов всплесков». Журнал Численный анализ. СИАМ. 30: 507–537. Дои:10.1137/0730024.
2. Виллемоэс, Ларс. «Соболевская регулярность вейвлетов и устойчивость итерационных банков фильтров». Архивировано из оригинал (PostScript) на 2002-05-11. Проверено 2006 г.. Проверить значения даты в: | accessdate = (Помогите)
3. Бергер, Марк А .; Ван, Ян (1992), «Многомерные двухуровневые уравнения растяжения (глава IV)», в Чуй, Чарльз К. (ред.), Вейвлет-анализ и его приложения, 2, Academic Press, Inc., стр. 295–323. Отсутствует или пусто | название = (Помогите)
4. Натанаэль, Берглунд. «Реконструкция уточняющих функций». Архивировано из оригинал на 2009-04-04. Получено 2010-12-24.
5. Тилеманн, Хеннинг (29 января 2012 г.). «Как уточнить полиномиальные функции». arXiv:1012.2453.
6. Густафсон, Пол; Савир, Натан; Спирс, Эли (14 ноября 2006 г.), «Характеристика уточняемых рациональных функций» (PDF), Американский журнал исследований бакалавриата, 5 (3): 11–20

Смотрите также

• Схема подразделения