Многочлен Лорана - Laurent polynomial

В математика, а Многочлен Лорана (названный в честь Пьер Альфонс Лоран ) от одной переменной над поле ${\displaystyle \mathbb {F} }$ это линейная комбинация положительных и отрицательных степеней переменной с коэффициентами при ${\displaystyle \mathbb {F} }$. Многочлены Лорана в Икс сформировать звенеть обозначенный ${\displaystyle \mathbb {F} }$[Икс, Икс⁻¹].^[1] Они отличаются от обычных многочлены в том смысле, что они могут иметь отрицательную степень. Построение многочленов Лорана можно повторять, что приводит к кольцу многочленов Лорана от нескольких переменных. Многочлены Лорана имеют особое значение при изучении комплексные переменные.

Определение

А Многочлен Лорана с коэффициентами в поле ${\displaystyle \mathbb {F} }$ является выражением формы

${\displaystyle p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F} }$

куда Икс - формальная переменная, индекс суммирования k является целое число (не обязательно положительный) и только конечное число коэффициентов п_k не равны нулю. Два полинома Лорана равны, если их коэффициенты равны. Такие выражения можно складывать, умножать и возвращать к той же форме, сокращая аналогичные термины. Формулы для сложения и умножения точно такие же, как и для обычных многочленов, с той лишь разницей, что как положительные, так и отрицательные степени Икс могут присутствовать:

${\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i}b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i}(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

и

${\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k}\left(\sum _{i,j:i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}.}$

Поскольку только конечное число коэффициентов а_я и б_j отличны от нуля, все суммы фактически содержат только конечное число членов и, следовательно, представляют собой многочлены Лорана.

Характеристики

• Полином Лорана над C можно рассматривать как Серия Laurent в котором только конечное число коэффициентов отличны от нуля.
• Кольцо многочленов Лорана р[Икс, Икс⁻¹] является продолжением кольцо многочленов р[Икс] полученный "инвертированием Икс". Более строго, это локализация из кольцо многочленов в мультипликативном множестве, состоящем из неотрицательных степеней Икс. Многие свойства кольца многочленов Лорана следуют из общих свойств локализации.
• Кольцо многочленов Лорана является подкольцом рациональные функции.
• Кольцо многочленов Лорана над полем есть Нётерян (но нет Артиниан ).
• Если р является областью целостности, единицы кольца многочленов Лорана р[Икс, Икс⁻¹] имеют вид uX^k, куда ты это единица р и k целое число. В частности, если K это поле тогда единицы K[Икс, Икс⁻¹] имеют вид aX^k, куда а является ненулевым элементом K.
• Кольцо многочленов Лорана р[Икс, Икс⁻¹] изоморфен групповое кольцо группы Z из целые числа над р. В более общем смысле, кольцо полиномов Лорана в п переменных изоморфна групповому кольцу свободная абелева группа ранга п. Отсюда следует, что кольцо многочленов Лорана можно снабдить структурой коммутатора кокоммутативный Алгебра Хопфа.

Смотрите также

• Многочлен Джонса

Рекомендации

• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, MR 1878556

1. Вайсштейн, Эрик В. «Полином Лорана». MathWorld.